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专题 12 尺规作图题型总结
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进
一步推理计算(或证明)。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 尺规作图是中考必考知识点之一，
复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；
（2）作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的
直尺作图。
模型01 作相等角
①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
②作射线O'A'；
③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N；
⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角.
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等
延伸：
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作平行线
模型02 作角平分线
①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线.
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等
延伸：
② 到两边的距离相等的点
②作三角形的内切圆
模型03 作线段垂直平分线
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；
②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线.
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
延伸：
①到两点的距离相等的点
②作三角形的外接圆
③ 找对称轴（旋转中心）
④ 找圆的圆心
模型04 作垂直（过一点作垂线或圆切线）
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（点P在直线上）
①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；
③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线.
原理：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线
延伸：确定点到直线的距离（内切圆半径）
（点P在直线外）
①以点P为圆心，大于P到直线l的距离为
半径作弧，分别交直线l于A，B两点；
②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧交于点N；
③过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线.
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
模型05 仅用无刻度直尺作图
无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点
结合，熟练掌握相关性质是解题关键.
模型01 作相等角
考｜向｜预｜测
做相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考
试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意熟练应用尺规作图，一般考试中涉及的做相等角
包含角相等或者作平行线，需要我们很好的理解题意，根据题意画图，保留清晰的作图痕迹。
答｜题｜技｜巧
第一步： 作任一射线；
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第二步： 以所作角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，然后以同样长为半径，以射线端点为圆心画
弧；
第三步： 以原角中所画弧中一个交点为圆心，到另一个交点的距离为半径画弧；
第四步： 以射线中的交点为圆心，同样长为半径画弧，交于一点，连接射线端点与弧的交点，所得角
即为所求；
例1. （2023·吉林四平·三模）如图，用尺规作图完成下列作图步骤：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线 、 于点C、D；
②以点B为圆心，以 长为半径画 ，交射线 于点 ，点F与点C在 的异侧）；
③以点E为圆心，以 长为半径画 ，交 于点N，作射线 即可得到 ，连接 、 ．
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． ， D． 的依据是
【答案】D
【详解】解：由作图可知， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
例2．（2023·陕西）尺规作图（不写作法，只保留作图痕迹）
如图，已知点 在 的边 上，过点 作直线 ，使得 ．
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【答案】作图见详解
【详解】解：如图所示，作 即可，
根据同位角相等，两直线平行，作 ，
以点 圆心，以任意长（这里以线段 ）为半径画弧，交 于点 ，连接 ；
以点 为圆心，以线段 为半径画弧，交 于点 ；
以点 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于点 ，过点 作直线 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即为所求直线．
模型02 作角平分线
考｜向｜预｜测
作角平分线该题型主要以选择、填空形式出现，在解答题中主要考查角平分线的性质，根据性质作对
应图形，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握角平分线的性质是考试的重点，在应用题型
中，根据题意会进行尺规作图画角平分线，有时依据题意画平行线时也是画角平分线。
答｜题｜技｜巧
第一步： 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两点M、N；
第二步： 以M点为圆心，MN的距离为半径画弧，再以N点为圆心，同样长为半径画弧，两弧相交于
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点P；
第三步： 连接角的顶点和P点，所画直线即为所求；
例1．（2024·山东泰安·一模）如图，在 中， ， ．小明按以下操作进行尺规作图：
以 为圆心，任意长为半径画弧，交 、 于点 、点 ，分别以 、 为圆心，大于 的长
为半径画弧，两弧交于点 ，画射线 交 于点 ；分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧交于 、 点，作直线 交 于 ，交 于 ，连接 ．可以求得 度．
【答案】25
【详解】解：∵ ， ．
∴ ，
根据作法得： 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由作法得： 平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
例2．（2023·福建）如图， ， 平分 ，且交 于点C．
(1)作 的角平分线交 于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
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(2)根据（1）中作图，连接 ，若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图， 为所作；
（2） 平分 ，
，
∵ ，
，
，
，
同理可得 ，
，
而 ，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 是菱形．
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴
∴四边形 的面积为 ．
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模型03 作线段垂直平分线
考｜向｜预｜测
作线段垂直平分线该题型近年在尺规作图题型中主要考①到两点的距离相等的点；②作三角形的外接
圆；③找对称轴（旋转中心）；④找圆的圆心等几个方面。让学生真正理解线段垂直平分线的性质是本
节内容的重心，尺规作线段垂直平分线是中考的必考内容之一。考题常以选择、填空等形式出现，该题型
主要难点在熟练应用线段垂直平分线的性质，会画线段的垂直平分线，难度系数不是很大，属于容易得分
项。
答｜题｜技｜巧
第一步： 以线段任一端点为圆心，大于一半的长为半径上下画弧；
第二步： 以线段另一端点为圆心，同样长为半径画弧，所画弧交于两点MN；
第三步： 连接MN，MN所在直线即为所求；
例1．（2024·山东泰安·一模）如图，在 中， ， ．小明按以下操作进行尺规作图：
以 为圆心，任意长为半径画弧，交 、 于点 、点 ，分别以 、 为圆心，大于 的长
为半径画弧，两弧交于点 ，画射线 交 于点 ；分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧交于 、 点，作直线 交 于 ，交 于 ，连接 ．可以求得 度．
【答案】25
【详解】解：∵ ， ．
∴ ，
根据作法得： 垂直平分线段 ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
由作法得： 平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
例2．（2024·广东东莞·一模）如图， 在四边形 中， 是对角线.
(1)尺规作图，作 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，交 于点O（不写作法，保留作图痕迹，
并标明字母）；
(2)若 ， 求证： .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，直线 即为所求；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
由作图过程可知： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
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模型04 作垂线（过一点作垂线或圆的切线）
考｜向｜预｜测
作垂线（过一点作垂线或圆的切线）该题型主要包括①过直线上一点作垂线；②过直线外一点作垂线；
③过圆上一点作切线；④作高等。几种题型的核心点均是作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性
质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质进行解题。
答｜题｜技｜巧
第一步： 以所过点为圆心，以一定长度为半径截取线段长（如果点在线段上以任意长度为半径，如果
点在线段外以大于点到线段的长为半径）；
第二步： 作该线段的垂直平分线；
第三步： 过该点的线段垂直平分线即为所求；
例1．（2023·江苏）在矩形纸片 中， ， ，现将矩形纸片折叠，使点 与点 重
合，折痕交 于 点
(1)尺规作图，画出折痕 ；
(2)判断四边形 是什么特殊四边形？并证明；
(3)求折痕 的长度？
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形．证明见解析
(3) ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
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；
（2）解：四边形 是菱形．理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
设 与 交于点 ，
由题意可得， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
由折叠可知， ，
∴四边形 是菱形
（3）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ ．
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由（2）知，四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
模型05 仅用无刻度直尺作图
考｜向｜预｜测
仅用无刻度直尺作图该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与几
何相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。无刻度直尺作图，掌握全等三角形的性质与判定，等腰
直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识点是解题的关键。
答｜题｜技｜巧
第一步： 确定所求结论（一般作角相等或垂直）；
第二步： 无刻度直尺只能连线，根据题意连接线段长或射线；
第三步： 注意利用几何知识点的性质，比如说角相等的判定、圆的相关知识点等；
例1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图，是 正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在图中画出等腰 ，使得点 在格点上， ，且 ；
(2)仅用无刻度直尺作出 的中位线 ，使得点 分别在 上，并保留作图痕迹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
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【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
例2．（2024·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形 内接于圆，
且顶点 ， 均在格点上．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）若点 在圆上， 与 相交于点 ，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，使
为等边三角形，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析．
【详解】解：（Ⅰ）由网格可知， ，
故答案为： ；
（Ⅱ）如图，取格点 ，连接 交 于点 ，取 与网格线的交点 ，连接 并延长与网格线
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相交于点 ；连接 与网格线相交于点G，连接 并延长与网格线相交于点 ，连接 并延长与圆相
交于点 ，分别连接 并延长相交于点 ，则点 即为所求．
理由：由作图可得： ， ，
，
，
， ，
，
是等边三角形．
1．（2023·广西）如图，在 中， ，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，
再分别以点 ， 为圆心 的长为半径画弧，两弧交于点 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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【详解】解：根据尺规作图可知， 是角平分线，
，
在 中， ，
，
，
故选 ．
2．（2023·广西）如图，在 中，分别以点B和点C为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点
M，N．作直线 ，交 于点D，交 于点E，连接 ．若 ，则 的
周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
垂直平分 ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长是19，
故选：C．
3．（2023·四川）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明 ，需要证
明 （写出全等的简写）．
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【答案】
【详解】解：根据作图可知： ， ， ，从而可以利用 判定其全等．
故答案为： ．
4．（2023·山东）如图，在 中， ．按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于点D和E， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，如图：
由作图可得， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
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，
故答案为： ．
5．（2023·广东）如图，点A是 边OM上一点，点P是 边 上一点．
(1)尺规作图：在射线 的上方，作 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若 且 与 交于点B，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
6．（2023·山西）如图，已知 ，
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(1)请以点B为顶点，射线 为一边，在 边的下方利用尺规作 ，使得 （不要求写作
法，保留作图痕迹）；
(2)直接写出直线 与直线 的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解： 即为所求；
（2）解： ，理由如下
由作图知： ，
， ，
，
，
．
7．（2023·福建）如图，已知在 中，点D在边 上，且 ．
(1)用尺规作图法，作 的平分线 ，交 于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 、求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图， 为所作；
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（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
8．（2023·湖南）如图， 的斜边 ， ．
(1)用尺规作图作线段 的垂直平分线l，分别交 于点D，E（保留作图痕迹，不要求写作法、证
明）；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图，线段 的垂直平分线l，为所求；
（2）解：由作图可得： ，
在 中， ，
∴ ，
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，
∵l是 的垂直平分线，
，
，
∴ ，
∴ ．
9．（2023·江苏）如图，已知在 中， ，以A为圆心， 的长为半径作圆， 是 的切
线与 的延长线交于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作 的垂线交 的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 ．
①试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， 的半径为3，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① 与 相切，理由见解析；②6
【详解】（1）
如图， 为所作垂线；
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（2）① 与 相切，理由如下∶
在 中， 是 的垂线，
，且 是 的垂直平分线，
，
，
与 相切于点 ，
，即 ，
与 相切；
②在 中，
根据勾股定理，得：
在 中，
10．（2023·安徽）如图，在 中， ，D是 上一点（D与C不重合）．
(1)尺规作图：过点D作 的垂线 交 于点E．作 的平分线 交 于点F，交 于点H
（保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）如图， 即为所求的垂线．
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即为所求的角平分线．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AF为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11．（2023·湖北）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，三角形 中任意一
点 经平移后对应点为 ，将三角形 作同样的平移得到三角形 ．
(1)画出平移后的三角形 ；
(2)线段 在平移的过程中扫过的面积为________；
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(3)连接 ，仅用无刻度直尺在线段 上画点D使 ；
(4)若 ，点E在直线 上，则 的最小值为________．
【答案】(1)见解析
(2)18
(3)见解析
(4)
【详解】（1）解： 点 经平移后对应点为 ，
可知三角形的平移方式为：向右平移4个单位，向上平移3个单位，
三角形 如下图：
（2）由图可知，线段 在平移的过程中扫过的面积为四边形 的面积，
由平移性质可得：四边形 为平行四边形，
；
（3）如图，连接 ，将 平移至 处，作 交 于点D，
即为所求；
（4）由垂线段最短可知当 时， 最短，
，即 ，
解得： ．
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12．（2023·江西）如图，在 中， ，点D是 边的中点， 交于点E，请仅用无刻
度直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，过点C作 边上的高线 ；
(2)在图②中，过点E作 的平行线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：连接 ，交 于 ，再连接 ，并延长交 于F，
∵ ，点D是 边的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴点 为三角形三条高的交点，
∴ ，
如图所示，线段 即为所求；
（2）解： ∵ ，D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ 分别是 的高，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图所示，直线 即为所求．
1．（2024·贵州黔南·一模）如图，已知 ，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交
于点E，F，再以点E为圆心，以 的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线 ，若
，则 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ，
根据作图过程可知： ， ，
在 和 中，
，
，
，
，
故选：C．
2．（2024·天津·一模）如图，在 中， ，分别以A， 为圆心，大于 长为半径作弧
（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于 ， 两点，直线 分别交 ， 于点 ， ，连接 ，
则下列结论一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据作法可知： 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，则
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选B．
3．如图，在 中，以点A为圆心AB长为半径作弧交 于点F，分别以点B、F为圆心，大于
的长度为半径作弧，交于点G，连接 并延长交 于点E，若 ， ，则 的长为
．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ，
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由作图可知： ， ，
， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ．
故答案为： ．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 与 的值；
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(2)请用无刻度的直尺和圆规作直线 ，使 ，且与反比例函数图象在第一象限内交于点 ；（要
求：不写作法，保留作图痕迹，使用 铅笔作图）
(3)求点 的坐标．
【答案】(1)k的值为 ，m的值为12；
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：将点 代入 得， ，
解得： ，
一次函数关系式为 ，
将点 代入 ，得 ，
解得： ，
，
将 代入 ，得 ，
的值为 ， 的值为 ；
（2）如图所示：
（3） 一次函数关系式为 ， ，
直线 的函数关系式为 ，
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可联立方程组，得 ，
解得： ， (舍去)，
点 的坐标为 ．
5．（2024·湖北黄石·一模）如图， 平分 ，且交 于点C．
(1)作 的平分线交 于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，射线 为所求；
（2）证明：
∵ ，
，
平分 ，
．
，
，
同理可证 ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
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四边形 是菱形．
6．（2024·湖南长沙·一模）阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线 外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．
（1）在直线 上任取一点 ，画线段 ．
（2）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交直线 于点 ．
（3）分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧交于点 ，画射线
（4）以点A为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ，画直线 ．
(1)利用 ，可得到 平分 ，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依
据 ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）解：由作图可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
综上所述：这两个三角形全等的判定依据 ；
故答案为： ；
（2）解：过点A作 ，由作图得 ，
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∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
7．如图， 点O为 的对角线 的中点．
(1)使用直尺和圆规，依以下作法补全图形 （保留作图痕迹）；作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③过点O、P画直线l， 分别交边 ， 于点E，F，连接 ， ．
(2)求证：四边形 是菱形；
(3)若 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【详解】（1）解：补全图形，如图所示
（2）证明：在 中， ，
∴ ， ，
又∵点 是 的中点，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
由作图可知， ，即： ，
∴四边形 是菱形；
（3）∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
8．如图， 是菱形 的对角线．
(1)在线段 上确定一点 ，使得 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图所示，作线段 的垂直平分线交 于F，点F即为所求；
（2）解： 四边形 是菱形，
， ，
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∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图， 是菱形 的对角线， ，
(1)请用尺规作图作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接 ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图所示，直线 即为所求；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
作 于 ，则 ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ．
10．如图，平面直角坐标系中点 ， ，反比例函数 的图象与线段 交于点 ，
．
(1)求反比例函数表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（ ）中所作的垂直平分线分别与 、线段 交于点 ．连接 ，求证： 是
的平分线．
【答案】(1) ；
(2)作图见解析；
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(3)证明见解析．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点 ，
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：如图，以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 、点 ，连接 ，
则 为所求；
（3）解：如图，过点 作 于 ，
∵ ， ，
∴点 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 是 的平分线．
11．（2024·江苏南通·一模）如图，已知矩形 ．
(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形 ，使点 分别在 边上，（不写作法，保留作图痕迹，
并给出证明．）
(2)若 ，求菱形 的周长．
【答案】(1)图见解析
(2)20
【详解】（1）解：如图，菱形 即为所求作；
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垂直平分 ，
， ，
矩形 ，
，
，
又 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）解：设菱形边长为x，
，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
解得 ，
菱形 周长 ．
12．（2024·北京·一模）如图， 是 的直径， 是 上一点，连接 ．
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(1)使用直尺和圆规，在图中过点A作 的切线 ，补全图形（点P在 上方，保留作图痕迹）；
(2)点D是弧 的中点，连接 并延长，分别交 ， 于点E，F，若 ， ，求线段
的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图， 为 的切线：
（2）解：∵ 是 的直径，
∴
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ 即
∴
∴
∴
∴ ，
又
∴AB=10，
∴
∵ 是 的中点，
∴
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∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴
13．如图，在平行四边形 中，连接对角线 ，过点B作 于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作 的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）证明： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
．
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．
∴ ．
在 和 中：
．
∴ ．
， ．
∴四边形 是平行四边形．
14．（2024·江西吉安·一模）如图，在菱形 中，连接 ， 是 的中点，请仅用无刻度的直尺按
要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的 上找一点 ，连接 ，使得 ．
(2)在图2中的 上找一点 ，连接 ，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：如图，即为所求作；
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连接 、 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，
四边形 是菱形，
， 垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
是 的中位线，
即 ．
15．（2024·吉林长春·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 均落在
格点上，以 为直径的半圆的圆心为 ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中线段 上确定一点 ，使得 ；
(2)在图2中作出 的 边上的高 ；
(3)在图3中作出 的切线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
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【详解】（1）解：如图，线段 即为所求；
（2）解：如图，线段 即为所求；
（3）解：如图，直线 即为所求．
16．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，单位长度为1， 的顶点均在正方形网格的
格点上，其中 ．
(1)画出 统点O逆时针旋转 的图形 ；
(2)在x轴上画出一个格点D，使 ；
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(3)在线段 上画出点E，使 的长度最短．
（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图， ；
（2）解：如图，D点为所画的点；
（3）解：如图，E点为所画的点．
17．（2024·江苏淮安·一模）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图
过程，实线表示画图结果）
(1)如图1， 内接于 ， ，请在图中画一个含有 圆周角的直角三角形；
(2)如图2， 为 的内接三角形，D是 的中点，E是 的中点，请画出 的角平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：连接 ， ， ,由圆周角定理可知 ，
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∵ ，
∴ ，
延长 交 于 ， 即为所求；
（2）连接 ， 交于点 ，连接 并延长交 于 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，
∵D是 的中点，E是 的中点，
∴ 为 的重心，则 为 中 边上的中线，
∴ 为 的中点，
∴ 垂直弦 且平分 ，
∴ ，
则射线 即为所求．
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