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热点 09 尺规作图
中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：
一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）
二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）
三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）
尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考
察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不
用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，
实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做
题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹
【题型1线段中垂线的尺规作图痕迹】
1、线段垂直平分线的画图痕迹：
2、线段垂直平分线的性质：
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线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
1．（2025·山东济南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=36°，分别以点A和B为圆心，
1
以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD，再以点A为
2
圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE．若AD=4，则BC的长为（ ）
A．2√5+2 B．2√5+1 C．3+√5 D．4+√5
【答案】C
【分析】证明出△EAD∽△EBA，求出ED，再由三线合一求出DC，即可求解BC．
【详解】解：由题意得，直线MN垂直平分AB，AD=AE=4，
∴DA=DB=4，
∴∠DAB=∠B=36°，
∴∠AED=∠ADE=∠B+∠DAB=72°，
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=36°，
∴∠DAE=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，
EA ED
∴ = ，
EB EA
4 ED
∴ = ，
ED+4 4
解得：ED=2√5−2（舍负），
∵AD=AE=4，AC⊥ED
1
∴DC= DE=√5−1，
2
∴BC=BD+DC=4+√5−1=3+√5，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性
质，三角形的内角和、外角定理等知识点，运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
1
2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，
2
两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E．若D为BC的中点，
AC=8,CD=5，则△ABC的面积为（ ）
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A．40 B．36 C．24 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知
识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键．
1
如图：连接AD，由题意可得DE垂直平分线段AC可得AE=CE= AE=4，DE⊥AC，即
2
∠DEC=90°；再运用勾股定理可得DE=3；然后说明DE是△ABC的中位线可得AB=2DE=6、
DE∥AB，即∠DEC=∠A=90°；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意可得DE垂直平分线段AC，
1
∴AE=CE= AE=4，DE⊥AC，即∠DEC=90°
2
∵CD=5，
∴DE=√CD2−CE2=3，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，DE∥AB，
∴∠DEC=∠A=90°，
1 1
∴△ABC的面积为 AB⋅AC= ×6×8=24．
2 2
故选C．
3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD．
若∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．18° D．22°
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性
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质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠DBC，根据线段垂直平分线的性质
得到DB=DC，得到∠DCB=∠DBC=30°，然后计算即可解答．
【详解】解：∵∠A=70°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−70°−60°=50°，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，
1
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
2
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=30°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=20°。
故选：B.
4．（2025·河南周口·一模）如图，在△ABC(ACAC．
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕
迹）
(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的
值）
【答案】(1)见详解
(2)6√2
【分析】（1）作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，先利用角平分线的性质定
理证明四边形AEDF为正方形，设AE=AF=ED=DF=x，则BE=7−x，FC=5−x，以DB=DC
为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．
【详解】（1）解：如下图：AD即为所求．
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（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED=∠AFD=90°，
又∵∠BAC=90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE=AF=ED=DF，
设AE=AF=ED=DF=x，
∴BE=AB−AE=7−x，FC=AC−AF=5−x，
在Rt△BED中，BD2=ED2+BE2=x2+(7−x) 2，
在Rt△CFD中，CD2=DF2+FC2=x2+(5−x) 2，
∵DB=DC
∴DB2=DC2
∴x2+(7−x) 2=x2+(5−x) 2
解得：x=6，
∴AD=√AF2+DF2=√62+62=6√2．
【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股
定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
3．（2024·广西·模拟预测）如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
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(1)在边AC上找一个D点，使得D点到边AB的距离等于DC（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若BC=6，AC=8，求线段AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌
握知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）作∠ABC的角平分线即可；
（2）由勾股定理求得AB，根据角平分线的性质得BE=BC，即可求得AE，设DC=DE=x，则
AD=8−x，根据勾股定理建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10，
如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由（1）可得：DE=DC，
∵BD=BD,DC=DE,∠C=∠DEB=90°，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE=BC=6，
∴AE=AB−BE=10−6=4，
设DC=DE=x，则AD=8−x，
在Rt△ADE中，x2+42=(8−x) 2，
解得：x=3，
∴AD=8−3=5．
4．（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°．
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(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解
题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理可得DE=DC，由DE是半径，DE⊥AB，
可证AB与⊙D相切．
【详解】（1）解：如图1，AD即为所作；
（2）证明：如图2，作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAD的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵DE是半径，DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切．
5．（2024·河南周口·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°．
(1)尺规作图：作∠A的角平分线AD交BC于点D；（不写作图过程，需保留作图痕迹）
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(2)若点D到AB的距离为√3，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)3√3
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形
两个锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点D作DH⊥AB于点H，则DH=√3，由角平分线的性质可得DC=DH，在Rt△BDH中，
∠B=30°，可得BD=2DH，最后根据BC=CD+BD即可得答案．
【详解】（1）如图，AD即为所求
（2）过点 D作DH⊥AB于点H
∴DH=√3
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°
∴DC=DH=√3
∵∠C=90°，∠BAC=60°
∴∠B=90°−∠BAC=30°
在Rt△BDH中，∠B=30°
∴BD=2DH=2√3
∴BC=CD+BD=√3+2√3=3√3
【题型5作一个三角形一边上的高线】
作一个三角形一边上的高线的画图步骤：
1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）；
2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点；
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3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。
1．（2025·河南开封·一模）如图，BD是△ABC中AC边上的高．
(1)利用尺规作△ABC中AB边上的高CE，交BD于点O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若OB=OC，求证：AE=AD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作三角形的高，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌
握相关知识．
1
（1）以C为圆心，适当长度为半径画弧，交AB于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于 GH的
2
长为半径画弧，两弧交于点P，最后连接CP，交AB于点E，CE即为所求；
（2）根据三角形高的定义可得：∠BEC=∠CDB=90°，由OB=OC可得∠BCE=∠CBD，证明
△BCE≌△CBD(AAS)得到∠CBE=∠BCD，BE=CD，推出AB=AC，即可得证．
【详解】（1）解：如图，CE即为所求；
（2）证明：∵ BD是△ABC中AC边上的高，CE是△ABC中AB边上的高，
∴ ∠BEC=∠CDB=90°，
∵ OB=OC，
∴ ∠BCE=∠CBD，
在△BCE和△CBD中，
¿，
∴ △BCE≌△CBD(AAS)，
∴ ∠CBE=∠BCD，BE=CD，
∴ AB=AC，
∴ AB−BE=AC−CD，即AE=AD．
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2．（2023·广东江门·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
(1)根据要求用尺规作图：作AB边上的高CD交AB于点D；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4.8
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图；
（2）利用面积相等求解．
【详解】（1）解：如图：
CD
即为所求；
（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵CD⋅AB=AC⋅BC，
∴CD=8×6÷10=4.8．
【点睛】本题考查了基本作图，利用面积法计算是解题的关键．
3．（2022·陕西西安·三模）已知△ABC，如图所示，∠C>90°，求作BC边上的高AD．（保留作图痕迹，
不写作法）
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【答案】见解析
【分析】延长BC，过点A以大于A到BC的距离，作弧交BC的延长线于点M,N两点，分别以M,N
为圆心，AM为半径在BC下方作弧，两弧交于点P，连接AP，交BC的延长线于点D，则AD即为所
求．
【详解】如图，延长BC，过点A以大于A到BC的距离，作弧交BC的延长线于点M,N两点，分别以
M,N为圆心，AM为半径在BC下方作弧，两弧交于点P，连接AP，交BC的延长线于点D，则AD
即为所求
【点睛】本题考查了作三角形的高线，掌握基本作图，三角形的高的定义是解题的关键．
考向三：网格问题中的作图设计
【题型6 利用网格找符合题意的点】
1、找中点：则找矩形对角线交点；
2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比；
1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C
均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC=2∠A．
AQ 1
(2)如图2，在线段AC上找一点Q，使得 = ．
CQ 2
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键
是理解题意，灵活运用所学知识．
（1）分别作线段AB、BC的垂直平分线，相交于点P，连接PB、PC，则点A、B、C在以点P为圆
心，BP的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
（2）分别取格点E，F，使AE:CF=1:2，且AE∥CF，连接EF，交AC于点Q，结合相似三角形
的判定与性质，即可求解；
【详解】（1）如图2，分别作线段AB、BC的垂直平分线，相交于点P，连接PB、PC，则点A、B、
C在以点P为圆心，BP的长为半径的圆上，
∴ ∠BPC=2∠A，
则点P即为所求．
（2）解：如图1，分别取格点E，F，使AE:CF=1:2，且AE∥CF，连接EF，交AC于点Q，
则△AQE∽△CQF，
AQ AE 1
∴ = = ，
QC CF 2
则点Q即为所求；
2．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个
小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上，点D为线段AC的中点．仅用无刻度的直
尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹．
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1
(1)在图①中，在线段BC上作点M，连结DM，使DM= AB；
2
1
(2)在图②中，在线段BC上作点E，连结DE，使DE= AC；
2
1
(3)在图③中，在线段AB上作点F，连结DF，使DF= AC．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线和直角三角形斜边中线的性质，解题关键是利用格点作线段中
点或垂直的线段．
1
（1）取BC的中点M，由三角形中位线性质可得DM= AB，
2
1
（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，则DE是直角三角形斜边中线，DE= AC，
2
1
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接DF，则DF是直角三角形斜边中线，DF= AC，
2
【详解】（1）解：如图，DM为所求，
（2）解：如图，DE为所求，
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（3）解：如图，DF为所求．
3．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点E是线段BC上一点．在射线BM上截取BA=3BE，在射线CN
上截取CD=CE−BE．
(1)用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）；
(2)若BC=8，CD=2．
①求AB的长；
②若AG=2，探究BG的长；
(3)连接AD，在四边形ABCD内找一点O，使它到A、B、C、D四个顶点的距离之和最小，并说明理
由．
【答案】(1)图形见解答
(2)①AB=9；②7≤BG≤11
(3)图形见解答，理由：两点之间线段最短
【分析】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，两点之间线段最短，解决本题的关键是掌握尺规作
图方法．
（1）根据题意利用尺规即可画出符合题意的图形；
（2）①结合（1）根据线段的和差即可求出AB；
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②分两种情况：点G在点A的上方或者下方，计算即可；
（3）根据两点之间线段最短，即可在四边形ABCD内找一点O，使它到A、B、C、D四个顶点的距
离之和最小．
【详解】（1）解：（1）如图1，即为符合题意的图形；
（2）①∵BC=8，CF=CD=2．
∴BF=BC−CF=6，
1
∴BE= BF=3，
2
∴AB=3BE=9；
②∵AG=2，
∴BG≥AB−AG=9−2=7或BG≤AB+AG=9+2=11；
所以7≤BG≤11；
（3）如图2，连接AC，BD交于点O，
∴OA+OC+OB+OD=AC+BD
，最短，
因为两点之间线段最短，
所以点O到A、B、C、D四个顶点的距离之和最小．
【题型7 利用网格画符合题意的线】
1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图；
2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图；
1．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E．
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(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线交AD于点F．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查作角平分线和平行四边形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）根据作角平分线作法画图即可；
（2）由平行四边形性质可得∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再证明BF∥DE即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠CBF=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CBF=∠CED，
∴BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点△ABC，请仅
用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：
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(1)在图1中线段AB上画点D，使∠ACD=∠ABC，并画出点A关于BC的对称点M；
(2)在图1中线段BC上画点E，使DE⊥BC；
(3)如图2，点F为线段AB上任意一点，在线段BC上画点G，使FG∥AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）构造等腰直角三角形ACT，CT交AB于点D，点D即为所求，在点B的正下方取点M，使得
BM=BA=5，点M即为所 求；
（2）如图1中，连接DM交BC一点J，连接AJ，延长AJ交BM于点E，连接DE即可；
（3）利用网格的特点作△ABC的中线BD，连接CF交BD一点O，连接AO，延长AO交BC一点G，
连接FG即可．
【详解】（1）解：如图1，点D，点M为所求；
（2）解：如图1，DE为所求；
（3）解：如图2，点G，线段GF为所求．
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（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长
度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以
大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么
四边形AFGB的面积为（ ）
27 45 45
A．18 B． C． D．
2 8 2
【答案】B
【分析】过点B作BH∥FG，易得四边形BHFG为平行四边形，根据作图可知MN垂直平分AB，FG
AD AK
垂直平分AE，证明△ABE≌△DAE，得到AH=DE，根据cos∠DAE= = ，求出AF的长，
AE AF
进而求出HF的长，利用梯形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BH∥FG，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD=6,∠DAB=∠D=90°,AD∥BC，
1
由作图可知：MN垂直平分AB，FG垂直平分AE，则：四边形ADEL为矩形，DE=AL= AB=3，
2
1
AK= AE，
2
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∴AE=√AD2+DE2=3√5，
3
∴AK= √5，
2
AK AD 6
∵cos∠DAE= = = ，
AF AE 3√5
15
∴AF= ，
4
∵BH∥FG，HF∥BG，
∴四边形BHFG为平行四边形，
∴BG=HF,BH⊥AE，
∴∠HAE+∠AHB=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AHB=∠AED，
又∵∠D=∠DAB=90°,AB=AD，
∴△ABE≌△DAE，
∴AH=DE=3，
3
∴BG=HF=AF−AH= ，
4
1 1 (3 15) 27
∴四边形AFGB的面积为 (BG+AF)⋅AD= × + ×6= ；
2 2 4 4 2
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，尺规作图---作垂线，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知
识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知a∥b，直线l与直线a,b分别交于点A，B．按如下步骤作图：
（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线a,l于点P,Q；（2）分别以点P,Q为圆心，大于
1
PQ的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线AG交直线b于点c；（3）分别以点A,C为圆心，大
2
1
于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，作直线BM．若∠ACB=55°，则∠ABM的度数是
2
（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
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【分析】连接MA,MC，先证明∠QAC=∠ACB=55°，则∠ABC=180°−55°×2=70°，结合等
角对等边证明△ABM≌△CBM(SSS)，则∠ABM=∠CBM，即可求解．
【详解】解：连接MA,MC，
由题意得AC平分∠PAQ，MA=MC
∴∠PAC=∠QAC，
∵a∥b，
∴∠PAC=∠ACB，
∴∠QAC=∠ACB=55°
∴BA=BC，∠ABC=180°−55°×2=70°
∵BM=BM，
∴△ABM≌△CBM(SSS)，
1
∴∠ABM=∠CBM= ∠ABC=35°，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判
定，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）小明借助尺规作图，在线段AB上作一点C．若AB=48，则BC=
．
【答案】32
【分析】本题考查平行线分线段成比例，由作图痕迹可得，AD=DE=EF，∠ADC=∠AFB，得出
2
BC= AB，即可得解．
3
【详解】解：由作图痕迹可得，AD=DE=EF，∠ADC=∠AFB，
∴CD∥BF，
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BC DF 2
∴ = = ，
AB AF 3
2 2
∴BC= AB= ×48=32．
3 3
故答案为：32．
4．（2025·新疆和田·模拟预测）如图在矩形ABCD中，AB=4√2，以A为圆心，适当长为半径画弧，交
1
AB，AD边于点M，N，分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线
2
AP交BC边于点E，再以A为圆心，AE长为半径画弧，交AD边于点F，将扇形EAF剪下来做成圆锥，
则该圆锥底面半径为 ．
【答案】1
【分析】由作图可知，AE为∠BAD的平分线，结合矩形的性质可得
∠BAE=∠DAE=∠AEB=45°，则AB=BE=4√2，再利用勾股定理求出AE的长，利用弧长公式
求出E´F的长，可知E´F的长即为该圆锥底面的周长，根据圆的周长公式可得答案．
【详解】解：由作图可知，AE为∠BAD的平分线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠B=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE=4√2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=√AB2+BE2=8，
45π×8
∴E´F= =2π，
180
设该圆锥的底面半径为r，
则2πr=2π，
解得：r=1，
∴该圆锥底面半径为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，圆锥的弧长公式等
知识，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题
5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．请用尺规作图法，在BC边上作
出D，E两点，使得△AED为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关
键．分别作AB，AC的垂直平分线，交BC于D、E，结合垂直平分线的性质根据“三个角相等的三
角形是等边三角形”即可求解．
【详解】解：作AB，AC的垂直平分线，交BC于D、E，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
1
∴∠B=∠C= (180°−120°)=30°，
2
∵D、E分别在AB，AC的垂直平分线上，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠B=30°，∠C=∠CAE=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°，同理：∠AED=60°，
∴△ADE为等边三角形，
如图所示，△AED即为所求．
6．（2025·河南信阳·三模）如图，在△ABC中，BC=24，点D在边AB上，且AD=2BD．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作BC的平行线，交AC于点E(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)求线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，掌
握作图方法是关键．
（1）利用同位角相等，两直线平行，在点D处作一个角等于∠B即可；
DE AD
（2）由（1）知DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，得到 = ，根据AD=2BD，即可求解．
BC AB
【详解】（1）解：作图如图所示．
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（2）解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
DE AD
∴ = ．
BC AB
∵AD=2BD，
AD 2
∴ = ，
AB 3
DE 2
∴ = ，
BC 3
2 2
∴DE= BC= ×24=16．
3 3
7．（2025·河南郑州·一模）如图，已知平行四边形ABCD．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的平分线BP．（要求：不写作法，保留作图痕
迹）
(2)E为BC上一点，设（1）中∠ABC的平分线BP交AD于点F，连接EF，若EC=FD，判断四边形
ABEF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图；
（2）先证明四边形ABEF是平行四边形，然后证明AB=AF，即可证明为菱形．
【详解】（1）解：如图：BP即为所作：
（2）解：四边形ABEF是菱形，理由如下，
证明：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC，
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∴∠AFB=∠EBF，
∵EC=FD，
∴AD−FD=BC−EC，即AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵∠AFB=∠EBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌
握各知识点是解题的关键．
8．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰△ABC中，已知AC=BC，M是AB的中点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作腰BC上的高，交BC于点D．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接CM交AD于点N，若AD=CD，求证：DN=BD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，作垂线，等腰三角形三线合一性质和全等三角形的判定与性质等知识，
判定△CDN≌△ADB(ASA)是解题的关键．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）证明△CDN≌△ADB(ASA)得出DN=BD，从而的得解．
【详解】（1）如图所示，AD即为所求作BC上的高；
（2）如图所示，连接CM交AD于点N，
由（1）得，AD⊥BC
∵AC=BC，M是AB的中点
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∴CM⊥AB
∴∠AMN=∠CDN=90°
∵∠ANM=∠CND
∴∠DCN=∠DAB
∵AD=CD，∠CDN=∠ADB
∴△CDN≌△ADB(ASA)
∴DN=BD．
9．（2025·广东深圳·一模）在矩形ABCD中，连接AC．
(1)如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC=AD；（不写作法，保留作图痕
迹）
(2)如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC=AD，连接PB，交AC于点Q，若AB=6，AD=8，求
AQ的长．
【答案】(1)见解析
250
(2)
57
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作AC的垂直平分线交AD于P，点P即为所求；
25
（2）设PA=AC=x，则PD=8−x，由勾股定理可得x= ，证明△APQ∽CBQ，再由相似三角形
4
的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：AP=PC，
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∴PC+PD=AP+PD=AD；
（2）解：如图，
，
∵PD+PC=AD，又PD+PA=AD，
∴PA=AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，
∵AD=8，
∴AC=10，
设PA=AC=x，
∴PD=8−x，
∴x2=(8−x) 2+62，
25
解得x= ，
4
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△APQ∽CBQ，
AP AQ
∴ = ，
BC CQ
AQ 25
∴ = ，
CQ 32
又AQ+CQ=AC=10，
250
∴AQ= ．
57
10．（2025·广东·模拟预测）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥BE．
(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若CD=AD，求证：四边形ABCD是菱形
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
【分析】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平
行四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用基本作图作∠CAE的平分线即可；
（2）根据题意得到∠B=∠ACB，进而得到∠EAD=∠B，AD∥BC，得证四边形ABCD是平行
四边形，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，AD为所作；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠CAE=∠B+∠ACB，
∴∠CAD+∠EAD=∠B+ACB，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
11．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E．
(1)实践与操作：过点A作BE的垂线，分别交BE，BC于点F，G；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，
不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与AB的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)AE=AB，证明见解析
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定．
（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图；
（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明．
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【详解】（1）解：如图，AG即为所求；
（2）解：AE=AB，证明如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE．
12．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在△ABC中，
(1)实践与操作：用尺规作图法作BC边的高AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AD=3，∠B=30°，∠C=45°，求BC的长．
【答案】(1)图见解析
(2)3√3+3
【分析】本题考查尺规作图—作垂线及解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角
函数值是解题关键．
（1）过A点作BC边的垂线，垂足为D，AD即为所求；
（2）利用∠B、∠C的正切值分别求出BD、CD的长即可得答案．
【详解】（1）解：如图所示：AD为所要求作的高．
（2）∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
AD 3
在Rt△ABD中，tanB= ，即tan30°= ，
BD BD
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3 3
BD= = =3√3
∴ tan30° √3 ，
3
AD 3
在Rt△ACD中，tanC= ，即tan45°= ，
CD CD
3 3
∴CD= = =3，
tan45° 1
∴BC=BD+CD=3√3+3．
13．（2024·河南郑州·三模）如图，ABC是一张锐角三角形纸片．
(1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分线，交BC于点D；
②作AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E和F．
(2)连接DE，若AB=3，AC=4，求DE的长．
【答案】(1) 图见解析 图见解析
12
① ②
(2)
7
【分析】本题主要考查作图（角平分和垂直平分线）和菱形的判定和性质，
（1）①根据作已知角的角平分线作图即可，②根据作垂直平分线的作图即可；
（2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证得四边形AEDF为平行四边形，进一步得到为菱形，
CF FD AC−ED ED
则 = ，即 = 即可．
AC AB AC AB
【详解】（1）解：如图，
（2）解：连接DE和FD，如图，
∵BC平分∠BAC，
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∴∠FAD=∠DAE，
∵EF垂直平分AD，
∴AE=ED,FD=FA，
∴∠EDA=∠EAD，
则∠FDA=∠EAD，
∴ED∥AF，
同理AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AE=ED，
∴四边形AEDF为菱形，
CF FD AC−ED ED
则 = ，AF=AE=ED=FD，即 = ，
AC AB AC AB
∵AB=3，AC=4，
4−ED ED 12
∴ = ，解得ED= ．
4 3 7
14．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使
CE=CD．
(1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求证：BM=EM．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图
题要注意保留做题痕迹．证得BD=DE是正确解答本题的关键．
（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；
（2）要证BM=EM可证BD=DE，根据三线合一得出BM=EM．
【详解】（1）作图如下：
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（2）∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点
∴BD平分∠ABC（三线合一）
∴∠ABC=2∠DBE
∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠ACB=2∠E
又∵∠ABC=∠ACB
∴2∠DBC=2∠E
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵DM⊥BE
∴BM=EM．
51
