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→➌题型突破←→➍专题训练←
题型一尺规作角
1.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写
作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 =2，求 的值．
【解析】（1）如图，∠ADE为所作．
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴ =2．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．
2.如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使
∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
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【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°
即可．
【详解】解：如图，点P即为所求．
作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3.如图， 为线段 外一点．
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（1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作
法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形 中， ， 相交于点 ， ， 的中点分别为
，求证： 三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；(2)通过证明角度之间的大小关系，得到
，即可说明 三点在同一条直线上．
【详解】解：（1）
则四边形 就是所求作的四边形．
（2）∵ ，∴ ， ，∴ ，∴
．
∵ 分别为 ， 的中点，∴ ， ，∴ ．
连接 ， ，又∵ ， ∴ ，∴ ，
∵点 在 上∴ ，∴ ，
∴ 三点在同一条直线上．
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【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，
考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
题型二尺规作角平分线
4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于
点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边
BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为
1，
所以△ACG的面积= ×4×1=2．故选C．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交
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BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 P，
作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD C．S ∶S =1∶3 D．CD= BD
△CBD △ABD
【答案】C
【解析】由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°=∠A，∴AD=BD，所以B选项的结论
正确；
∵∠CBD= ∠ABC=30°，∴BD=2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD=2CD，∴S =2S ，所以C选项的结论错误．故选C．
△ABD △CBD
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．
6.如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
于点 ，再分别以点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ，
作射线 交边 于点 ，则 的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为
1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【详解】解：由作法得 平分 ， 点到 的距离等于 的长，即 点到
的距离为 ，
所以 的面积 ．故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了交平分线的性质．
7.如图1，已知 ，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，
第一步：以 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
第二步：分别以 ， 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；
第三步：画射线 ．射线 即为所求．下列正确的是（ ）
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A． ， 均无限制 B． ， 的长
C． 有最小限制， 无限制 D． ， 的长
【答案】B
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】第一步：以 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
∴ ；
第二步：分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点
；
∴ 的长；第三步：画射线 ．射线 即为所求．综上，答案为： ；
的长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
8.如图，在 中， ，观察图中尺规作图的痕迹，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作
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图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】∵在 中， ，∴
，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，
熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
9.如图，在 中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离 的长 等于PC的长；
利用尺规作图，作出 中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
【答案】 作图见解析； （2）作图见解析.
【分析】 由点P到AB的距离 的长 等于PC的长知点P在 平分线上，再根
据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于
一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，
过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）； 根据过直线外一点作已知直
线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB
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交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一
侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．
【详解】 如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
10.如图，已知 是锐角三角形 ．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线 ，使 上的各点到 、 两点的距
离相等；设直线 与 、 分别交于点 、 ，作一个圆，使得圆心 在线段
上，且与边 、 相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ，则 的半径为________．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意知直线 为线段BC的垂直平分线，若圆心 在线段 上，且与边
、 相切，则再作出 的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点 作 ，垂足为 ，根据 即可求解．
【详解】解：（1）①先作 的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于 的长为半
径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交 、 于 、 ；
②再作 的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与 的两条边分
别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点
B，即为 的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为 ；
③以 为圆心， 为半径画圆，圆 即为所求；
（2）过点 作 ，垂足为 ，设
∵ ， ，∴ ，∴ 根据面积法，∴
∴ ，解得 ，故答案为： ．
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【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、
角平分线的尺规作图．
11.如图，已知▲ABC，CA=CB,∠ACD是▲ABC的一个外角。
请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB.（保留作图痕迹，不写做法）
【解析】解：如图所示，射线CP即为所求
12.如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图在BC边上
求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
A
B D C
【分析】：要满足条件：在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长，则DP
为∠BDC的角平分线．
【答案】解：如图所示，点P即为所求．
A
11
P
B D C关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型三尺规作垂直平分线
13.已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分别以O、C为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交
于G．那么， 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
【详解】如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM平分 ，∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，∴△OMD≌△ONG，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C.
【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全
等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的
关键.
14.如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．
【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点， BD=3，故选B
【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和
三线合一的性质.
15.如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】由作法得CG⊥AB，∵AC=BC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°-40°-
40°=100°，
∴∠BCG= ∠ACB=50°．故选C．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直
线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
16.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解析】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．故选B．
【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
17.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直
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线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【解析】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
18.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为
半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是
A．20° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可
知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选
B．
【名师点睛】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大
于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC
的中点，则CD的长为
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A． B．4 C．3 D．
【答案】A
【解析】如图，连接FC，则AF=FC．
∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中， ，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，
∴CD= ．故选A．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全
等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
20.如图，在矩形 中， ．分别以点 为圆心，以大于 的长
为半径画弧，两弧相交于点 和 ．作直线 分别与 交于点 ，则
__________．
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【答案】2 ．
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过
程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，
在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【详解】如图，连接DN，
在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴BD= ，
根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，OB=OD=2 ，∴AN=AB-BN=AB-
DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON= ，
∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON= ，∴MN=2 ．故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解
决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
21.如图，在△ABC中，AC
