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热点 09 尺规作图
中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：
一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）
二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）
三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）
尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考
察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不
用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，
实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做
题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹
【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】
满分技巧
1、线段垂直平分线的画图痕迹：
2、线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于 AB为半径画弧，
两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
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A．20° B．30° C．40° D．50°
2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作
弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线
B．CD＝ AB
C．DE＝ BC
D．S△ADE ：S四边形DBCE ＝1：4
3．（2023•随州）如图，在 ABCD中，分别以B，D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧相交于点
M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（ ）
▱
A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC
4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于
M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
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A．40° B．50° C．80° D．100°
5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 ．
6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点 E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若
∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 ．
【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】
满分技巧
1、角平分线的画法：
2、角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等
1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．
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分别以点D，E为圆心，大于 长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点
G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，
分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部
相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
3．阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交
BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C
作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
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A． B． C． D．4
5．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交
AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射
线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画
弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作
射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE ：S△CDE 是（ ）
A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8
7．如图，在 ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分
▱
别以点A，E为圆心，以大于 AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD
于点F，则 的值为 ．
8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，
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以大于 的长为半径作弧，两弧在∠ACB 内交于点 F，作射线 CF，交 AB 于点 M，过点 M 作
MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 ．
9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以
适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径画
弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 °．
10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，
AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG
交CD于点H，则线段DH的长是 ．
考向二：尺规作图画图
【题型3 作一条线段的垂直平分线】
满分技巧
线段垂直平分线的画图步骤：
1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个
交点；
2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
1．（2023•陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB
＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
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2．（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交边AC于点D，连接BD，过点C
作CE∥AB．
⊙
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作 O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，
标明字母）
⊙
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
【题型4 作一个角的角平分线】
满分技巧
一个角的角平分线的画图步骤：
1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点；
2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点；
3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。
1．（2023•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作 O，使得圆心O在边AB上， O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，
标明相应的字母，不写作法）；
⊙ ⊙
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求 O与△ABC重叠部分的面积．
⊙
2．（2023•无锡）如图，△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5．
（1）尺规作图：作菱形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、AC上；
（2）题（1）中所作的菱形ADEF的周长为 ．
3．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作 O，使得 O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
⊙ ⊙
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（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的 O的劣弧 与PM、PN所围成图形的面
积是 ．
⊙
4．（2023•常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．
①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接PQ，则PQ与BE的关系是 ．
【题型5 作一个三角形一边上的高线】
满分技巧
一个三角形一边上的高线的画图步骤：
1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）；
2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点；
3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。
1．（2023•广东）如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
▱
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
2．（2023•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．
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3．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形 ABCD中，E是AD边上的一点，
试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转
化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的
作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴ ①
∵AD∥BC，
∴ ②
又 ③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 ④
∴S△BCE ＝S△EFB +S△EFC ＝ S矩形ABFE + S矩形EFCD ＝ S矩形ABCD ．
考向三：网格问题中的作图设计
【题型5 利用网格找符合题意的点】
满分技巧
1、找中点：则找矩形对角线交点；
2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比；
1．（2023•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方
形的顶点称为格点．点 A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作
△ABC，点C在格点上．
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（1）在图①中，△ABC的面积为 ；
（2）在图②中，△ABC的面积为5；
（3）在图③中，△ABC是面积为 的钝角三角形．
2．（2023•江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【题型6 利用网格画符合题意的线】
满分技巧
1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图；
2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图；
1．（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆
心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交 O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
⊙
（1）求证：DB为 O的切线；
（2）求AE的长度．
⊙
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2．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB
的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、
直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
3．（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合
要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所
拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
（建议用时：30分钟）
1．（2023•乐至县）下列说法不正确的是（ ）
A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根
B．若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
2．（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为
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圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于 的长
为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023•黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半
径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点
D；③分别以点D，C为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交
于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四
边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
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5．（2023•兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：
“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西
方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图
方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，
交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其
中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（
）
A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（2023•通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作 O．
O即为所求作的圆．
⊙
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
⊙
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A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
7．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则 的值为 ．
8．（2023•荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2 ，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作
图痕迹推断，点P到OA的距离为 ．
9．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC
于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于 PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点
E；分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于
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点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则 ＝ ．
10．（2023•营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C
和点D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝
6，则AE＝ ．
11．（2023•威海）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于
点E，连接DE，则∠CDE＝ °．
12．（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B
均在格点上．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 Q，使
△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）
．
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13．（2023•眉山）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于 长为半径作弧，两
弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若
DG＝2，则CF的长为 ．
14．（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
15．（2023•襄阳）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．
16．（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
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（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（2023•金昌）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一
切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何
学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 O，A是 O上一点，只用圆规将 O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕
迹）
⊙ ⊙ ⊙
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在 O上逆时针方向顺次截取 ＝ ＝ ；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于 O上方点E；
⊙
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交 O于G，H两点．即点A，G，D，H将 O的圆周四等分．
⊙
⊙ ⊙
18．（2023•陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边
BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2023•朝阳）如图1，在 ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于 ABCD的面积的一半，且点
E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
▱ ▱
小明的作法
①如图2，连接AC，BD相交于点O．
②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．
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③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．
④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
20．（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图
▱
痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，
写出已知、求证与证明）
21．（2023•巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，
交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线
DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．
（建议用时：30分钟）
1．（2023•扶余市四模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到
点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023•镇平县模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（
）
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A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．（2023•衡阳模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠ 的度数为（ ）
α
A．68° B．56° C．45° D．54°
4．（2024•潮州模拟）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，
相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2024•广平县模拟）在给定的平行四边形ABCD中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：如图（1），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，以点B为圆心，AB长为半
径画弧，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM是菱形．
乙：如图（2），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，分别以点B，E为圆心，大
于 的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交BC于点K，连接EK，则四边形
ABKE是菱形．
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下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
6．（2024•台安县一模）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①
分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好
经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（ ，﹣5） B．（﹣5， ） C．（1，﹣4﹣ ）D．（﹣4﹣ ，1）
7．（2023•临淄区一模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的
度数是（ ）
A．35° B．60° C．70° D．85°
8．（2023•三亚模拟）如图，已知AB∥CD，∠BFC＝126°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度
数为（ ）
A．22° B．26° C．27° D．36°
9．（2024•平舆县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，且A（0，2），C（4，
0）．点E为OC上一点，连接AE，射线AF⊥AE．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AE，AF
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于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC
于点G．若OE＝1，则点G的坐标为（ ）
A．（4， ） B．（4，1） C．（4， ） D．（4， ）
10．（2024•河东区模拟）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径
作圆，点M为 的中点．
（Ⅰ）线段AB的长度等于 ．
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP＝3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找
到的（不要求证明）．
11．（2024•广东一模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，DE是△ABC的中位线，其中点D在AB边上，
点E在AC边上．
（1）用圆规和直尺在△ABC中作出中位线DE．（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝6，求DE的长．
12．（2024•碑林区校级二模）如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以
AC为对角线的四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
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13．（2024•偃师区模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，
线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．
（2）在图②中，在线段AB上画出点N，使AN＝2BN．
（3）在图③中，在线段AB上画出点Q，使PQ⊥AB．
（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）
14．（2024•郑州模拟）已知 O及圆外一点A，连接线段OA，请用无刻度直尺和圆规完成操作并解答．
（1）过点A作出 O的两条切线AP，AQ，切点分别为点P、点Q；（保留作图痕迹，不写作法和证
⊙
明）
⊙
（2）在（1）的条件下，若点E为优弧 上不与端点重合的一点，且∠PEQ＝64°．求∠PAQ的度数．
15．（2024•浙江模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的
三角形为整点三角形．如图，已知整点A（1，3），B（3，4），请在所给网格区域（含边界）上按要
求画整点三角形．
（1）在图1中画一个等腰三角形ABC，使得点C的横、纵坐标之和为偶数；
（2）在图2中画一个Rt△ABP，使得点P在坐标轴上．
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16．（2024•宿迁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F（保留作图痕迹，不要求写作
法）；
（2）在（1）的条件下，求EF的长度．
17．（2024•南昌一模）如图是7×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为
格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）图1中，在AB边上找一点D，作线段CD，使得S△ACD ＝ ；
（2）图2中，在AB边上找一点E，作线段CE，使得S△ACE ＝ ．
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