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第二章 有理数及其运算压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．﹣2的平方等于（ ）
A．±4 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【详解】﹣2的平方是：4，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
2．规定 a※b= ，则（-2）※ =（ ）
A． 12 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】运用新定义运算法则进行计算．
【详解】解：（-2）※ = ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题属于新定义运算，主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算
顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如
果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
3．已知某种型号的纸100张的厚度约为1cm，那么这种型号的纸13亿张的厚度约为（ ）
A．1.3×105km B．1.3×104km C．1.3×103km D．1.3×102km
【答案】D
【详解】试题解析：根据题意得：13×108÷100÷105=1.3×102（km），
故选D.
4．若m与3互为相反数，则|m﹣3|的值为（ ）
A．0 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值，再代入
即可．
【详解】解：根据题意得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，
把m＝﹣3代入|m﹣3|＝6，
故选：B．
【点睛】此题考查相反数及绝对值的问题，关键是互为相反数两数之和为0．
5．已知|a|＝5，|b|＝2，|a－b|＝b－a，则a＋b的值是（ ）．
A．－7 B．－3 C．－7或－3 D．以上都不对
【答案】C
【详解】由绝对值的定义可知，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0
的绝对值是0，
本题中，|a|＝5，所以a=±5，|b|＝2，
所以b=±2，
又因为|a－b|＝b－a，
所以a-b≤0，
所以a≤b，a的取值只能为-5，
当b=2时，a+b=-5+2=-3，
当b=-2时，a+b=-5-2=-7．
所以a＋b的值是－7或－3．
故本题选C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．0是最小的整数
B．若 ，则
C．互为相反数的两数之和为零
D．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远
【答案】C
【分析】根据各个选项中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题.
【详解】解：0不是最小的整数，故选项A错误，
若 ，则 ，故选项B错误，
互为相反数的两个数的和为零，故选项C正确，
数轴上两个有理数，绝对值较大的数离原点较远，故选项D错误，
故选C.
【点睛】本题考查了数轴、有理数，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的各种说法
是否正确.
7．如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．A． ， ，0，2，4 B． ， ，2，4
C．0 D． ，0，4
【答案】D
【分析】分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，
两个负数，④a、b、c有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解．
【详解】①a、b、c均是正数，原式= = ；
②a、b、c均是负数，原式= = ；
③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式= = ；
④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式= = ；
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．
8．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是
（ ）
①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点
右边的数为正数．从图中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可．
【详解】根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根据有理数的加法法则，可知a+b＜0，故正确；
②∵b＜a，∴b-a＜0，故错误；
③∵|a|＜|b|，
∴
∵ <0, ， ，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小
∴ ，故正确；
④3a﹣b=3a+（- b）
∵3a>0,-b>0
∴3a﹣b>0，故正确；
⑤∵﹣a>b
∴- a﹣b>0.故①③④⑤正确，选C.
【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左
边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.
评卷人 得分
二、填空题
9．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.00000001s，把0.00000001s用科学记数法表
示为 ．
【答案】1×10-8.
【详解】试题解析：0.00000001=1×10-8.
考点：科学记数法—表示较小的数．
10．把下列各数﹣1.5，0， ，2.5，﹣（﹣1），﹣|﹣4|按从小到大的顺序用“ ”连
接起来 ．
【答案】
【分析】根据有理数的大小比较，先计算 便可比较了
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的比较大小，负数小于0，0小于正数，掌握这个是关键．
11．已知4个有理数： ，在这4个有理数之间用“ ”连接进行四则运
算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据“24点”游戏规则列出算式即可．
【详解】解：
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解题的关键
12．如图1，在一条可以折叠的数轴上有A，B，C三点，其中点A，点B表示的数分别为
－8和＋5，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点 落在B的右边；如图2，
再以点B为折点，将数轴向左折叠，点 对应的点 落在B的左边．若 ，B两点之间的
距离为1，设B，C两点之间的距离为x，则x＝ ．【答案】6
【分析】由折叠得， ，根据 ，B两点之间的距离为1，得出 ，
再根据BC= 求解即可．
【详解】解：由折叠得： ，
∵ ，B两点之间的距离为1，
∴ ，
∵A表示-8，B表示+5，
∴AB=5-(-8)=5+8=13，
∴ ，
∴ ，
∴BC= ，
∴x=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关
键．
13．绝对值不大于4且绝对值大于1.5的所有整数和为. .
【答案】0
【详解】分析：
根据绝对值的几何意义进行分析解答即可.
详解：
∵绝对值不大于4且绝对值大于1.5的所有整数是数轴上表示1.5的点到表示4的点（包括
4）之间的所有整数，和数轴上表示-1.5的点到表示-4的点（包括-4）之间的所有整数，
∴符合条件的整数有：2，3，4和-2，-3，-4共6个，
∵-2+(-3)+(-4)+2+3+4=0.
∴符合条件的所有整数的和为0.
故答案为0.
点睛：能根据：“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离”找到所有符
合条件的整数是正确解答本题的关键.
14．已知，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，将点A向右移动1个单位得到点B，将点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C所表示的有理数分别是a、b、c，且abc＞0，
若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 ．
【答案】﹣2或﹣
【详解】试题解析：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，
当x+x+1+x+3=x时，x=﹣2，
a=﹣2，b=﹣1，c=1，
abc＞0，符合题意；
当x+x+1+x+3=x+1时，x=﹣ ，
a=﹣ ，b=﹣ ，c= ，
abc＞0，符合题意；
当x+x+1+x+3=x+3时，x=﹣ ，
a=﹣ ，b= ，c= ，
abc＜0，不合题意，
故答案为﹣2或﹣ ．
15．已知有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】b+1
【分析】根据图示，可知有理数a，b的取值范围b＞a，a＜-1，然后根据它们的取值范围
去绝对值并求|b-a|-|a+1|的值．
【详解】解：根据图示知：b＞a，a＜-1，
∴|b-a|-|a+1|
=b-a-（-a-1）
=b-a+a+1
=b+1．
故答案为：b+1．
【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，绝对值的知识，正确把
握相关知识是解题的关键．评卷人 得分
三、解答题
16．暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出
发，一整天都王这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向北行驶为正，那么这辆警车这
天处理交通事故行车的里程（单位：千米）如下： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ．
请问：
(1)第几个交通事故刚好发生在该交警大队门口？
(2)当交警处理完最后一个事故时，该警车在哪个位置？
(3)如果警车的耗油量为每千米0.1升，那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗
油多少？
【答案】(1)第5个交通事故刚好发生在某交警大队门口
(2)当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队南边6千米的位置
(3)这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油4.2升
【分析】（1）处理交通事故行车的里程和为0时，表示交通事故刚好发生在某交警大队门
口；
（2）求出处理交通事故行车的里程之和，即可得到答案；
（3）求出警车从出发执勤到回到交警大队所行驶的路程，再乘耗油量即可得到答案．
【详解】（1）∵ ，
∴第 个交通事故刚好发生在某交警大队门口；
（2）∵ ，
∴当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队南边 千米的位置；
（3） （升），
答：这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油 升．
【点睛】本题考查有理数的加法、有理数的乘法应用，解题的关键是掌握加法法则及理解
正负数的意义．
17．计算题．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．（5） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）5；（5）1
【分析】（1）利用加法交换律和结合律进行简便运算即可；
（2）先算乘方，然后再按四则混合运算法则计算即可；
（3）将 写成100- ，然后再按乘法分配律解答即可；
（4）直接运用法分配律解答即可；
（5）先算乘方，然后再按四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式=
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数的四则混合运算和有理数的简便运算，掌握相关
运算法则是解答本题的关键．18．已知： 是最小的正整数，且 满足 ，
请回答问题：
（1）请直接写出 的值， _________， __________， _________．
（2） 所对应的点分别为 ，点 在数轴上运动，点 到点 的距离是
______，点 到点 的距离是__________，点 到点 的距离之和的最小值是_____．
（3）在（1）（2）的条件下，点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长
度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向
右运动，假设 秒钟过后，若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表
示为 ．请问： 的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不
变，请求其值．
【答案】（1）-1，1，5；（2）2，4，6；（3）不变，定值为2
【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非
负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，c的值；
（2）先根据数轴上两点之间的距离可得点A到点B的距离以及点B到点C的距离，再根据
绝对值的几何意义回答即可；
（3）先用t表示出BC和AB，从而得出BC-AB=2．
【详解】解：（1）∵ 是最小的正整数，
∴b=1，
∵ ，
∴c-5=0，a+b=0，
∴c=5，a=-1，
故答案为：-1，1，5；
（2）由题意可得：
点A到点B的距离是1-（-1）=2，
点B到点C的距离是5-1=4，
当点P与点B重合时，点P到A、B、C三点的距离之和最小，
且为：2+4+0=6，
故答案为：2，4，6；
（3）由题意可得：点B始终在点C左侧，
则t秒后，
点A：-1-t，点B：1+2t，点C：5+5t，
BC=5+5t-（1+2t）=3t+4，
AB=1+2t-（-1-t）=3t+2，∴BC-AB=3t+4-（3t+2）=2，
∴BC-AB的值不随着时间 的变化而改变，定值为2．
【点睛】本题考查了绝对值与数轴，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和
“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学
习中要注意培养数形结合的数学思想．
19．已知： 是最小的两位正整数，且 满足 ，请回答问题：
（1）请直接写出 的值： ， = ．
（2）在数轴上 所对应的点分别为A、B、C ，点P为该数轴上的动点，其对应的数
为 ，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP＝ ，PC＝ ．
（3）在（1）（2）的条件下，若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移
动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C
点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M 移动时间为t秒，当点N开始运动后，请用
含t的代数式表示M、N两点间的距离．
【答案】（1）a=-26，b=-10，c=1；
（2）AP=m+26，PC=10-m；
（3）分五种情况：①当16＜t≤24时， MN= -2t+48；②当24＜t≤28时， MN=2t-48；③当
28＜t≤30时， MN=-4t+120；④当30＜t≤36时， MN=4t-120；⑤当36＜t≤40时，
MN=3t-84.
【分析】（1）根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题；
（2）根据数轴上两点的距离公式：AB=x -x ，可以表示AP和PC的长；
B A
（3）先计算t的取值，因为点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，且
AC=36，所以需要36秒完成，又因为当点M运动到B点时，即16秒后，点N从A出发，
以每秒3个单位长度向C点运动，所以点N还需要运动24秒，所以一共需要40秒，再分
别计算M、N两次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示
MN的长．
【详解】解：（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足（a+26）2+|b+c|=0，
∴c=10，a+26=0，b+c=0，
∴a=-26，b=-10，c=10，
故答案为-26，-10，10；
（2）∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x( )，
∴AP=m+26，PC=10-m；
故答案为m+26，10-m；
（3）点N运动的总时间为：2（36÷3）=12×2=24，
此时，t=24+16=40，
设t秒时，M、N第一次相遇，3（t-16）=t，
t=24，
分五种情况：
①当16＜t≤24时，如图1，M在N的右侧，此时MN=t-3（t-16）=-2t+48，
②当24＜t≤28时，如图2，M在N的左侧，此时MN=3（t-16）-t=2t-48，
③M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：t+3（t-16）=36×2，
t=30，
当28＜t≤30时，如图3，点M在N的左侧，此时MN=36×2-t-3（t-16）=-4t+120，
④当30＜t≤36时，如图4，点M在N的右侧，此时MN=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120，
⑤当36＜t≤40时，如图5，点M在点C处，此时MN=3（t-16）-36=3t-84，
【点睛】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的
性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型．
20．在数学活动中，小明为了求 的值(结果用n表示)，设计如图所
示的几何图形．
请你利用这个几何图形求 的值．【答案】
【分析】把一个面积为1的正方形分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形
分成两个面积为 的正方形，再把面积为 的正方形分成两个面积为 的三角形，…，由
图形揭示的规律进行解答即可得.
【详解】由图可知 ，
，
，
…
，
所以 .
【点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，认真观察，通过计算从中发现规律是解题
的关键.
21．点 在数轴上分别表示有理数 两点之间的距离表示为 ，在数轴上
A、B两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是_______；数轴上表示1和 的两点之间的距离是
_______．
(2)若x表示一个有理数，则 的最小值 ________．
(3)若x表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数x的和为________．
(4)若x表示一个有理数，当x为______，式子 有最小值为________．
【答案】(1)
(2)
(3) 或0或1或2或3
(4)3，6
【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
（2）根据绝对值几何意义即可得出结论；（3）根据绝对值几何意义即可得出结论；
（4）式子 可看作是数轴上表示 的点到 、3、4三点的距离之和，
据此即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，
数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ．
故答案为：4，5；
（2）解：根据绝对值的定义有： 可表示为点 到1与 两点距离之和，根
据几何意义分析可知：
当 在 与1之间时， 的最小值为5．
故答案为：5；
（3）解：当 时， ，
解得： ，
此时不符合 ，舍去；
当 时， ，
此时 或 ， ， ， ；
当 时， ，
解得： ，
此时不符合 ，舍去．
故答案为： 或0或1或2或3；
（4）解： 式子 可看作是数轴上表示 的点到 、3、4三点的距
离之和，
当 为3时， 有最小值，
的最小值 ．
故答案为：3，6．
【点睛】考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，（4）中明确
的几何意义是解题的关键．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点
P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ，设运动时间为t（t＞0）
秒．
（1）数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是 ．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同
时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
【答案】(1)﹣14，8﹣5t；(2)11；(3)若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰
好等于2；(4)点P运动11秒时追上点Q．
【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-22；点P表示的数为8-5t；（2）分①当点P
在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时两种情况求MN的长即可；
（3）点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2，分①点P、Q相遇之前和
②点P、Q相遇之后两种情况列方程求解即可；（4）点P运动x秒时，在点C处追上点
Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可．
【详解】(1)∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，
∴点B表示的数是8﹣22=﹣14，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t
（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
(2)①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×22=11，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP﹣NP= AP﹣ BP= （AP﹣BP）= AB=11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
(3)若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
(4)设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC=5x，BC=3x，
∵AC﹣BC=AB，
∴5x﹣3x=22，解得：x=11，
∴点P运动11秒时追上点Q．
【点睛】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，根据题意画出图形是解决问题的关键，
解题时注意分情况进行讨论，不要漏解．
23．如图，在数轴上有两个长方形 和 ，这两个长方形的宽都是 个单位长度，
长方形 的长 是 个单位长度，长方形 的长 是 个单位长度，点 在数
轴上表示的数是5．且 、 两点之间的距离为 个单位长度．
(1)填空：点 在数轴上表示的数是 ；点 在数轴上表示的数是 ；
(2)若线段 的中点为 ，线段 上一点 ， ，点 以每秒4个单位的速度
向右匀速运动，点 以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为 秒，
当 时，求 ；
(3)若长方形 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形 固定不动，当两个
长方形重叠部分的面积为 时，求长方形 运动的时间．
【答案】(1) ，
(2) 或3
(3)4秒或 秒
【分析】（1）由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数；
（2）首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解决；
当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得x的值；
（3）分两种情况： 边在长方形 的边 的左边且距离 1个单位长度时；
边在长方形 的边 的右边且距离 1个单位长度时；无论哪种情况均可求得长
方形 运动的距离，则可求得运动的时间．
【详解】（1）解：由题意知， ，则点H对应的有理数为： ；
由于点 在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为 个单位长度， ，
则 ，
所以点A表示的数为： ，
故答案为： ，
（2）解：因 ， ，则点M、N对应的数为 、
， ，由题意知，它们运动x秒后M、N点对应的数分别为： 、 ，
当 时有两种情况：
若M、N两点相遇，则两点运动的距离之和= ，即 ，解得 ；
若M、N两点在原点的两侧，则它们对应的数互为相反数，即 ，
解得： ；
综上，当 时，x的值为 或3；
（3）解：当 边在长方形 的边 的左边且距离 1个单位长度时，即 时，
如图1所示；则 ，重叠部分面积为 ；
此时长方形 的运动距离为： ，运动时间为： （秒）；
当 边在长方形 的边 的右边且距离 1个单位长度时，即 时；
，重叠部分面积为 ；
此时长方形 的运动距离为： ，运动时间为： （秒）；
综上，长方形 的运动的时间为4秒或 秒．
【点睛】本题是数轴动点问题，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，有理
数的运算等知识，有一定的难度，注意数形结合．
