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专题 01 数轴的三种常见考法
【知识点精讲】
1. 数轴的概念
1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴
2）三要素：
①原点—参考点，正负数分界点；
②方向—一般选取向右为正方向；
③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致
2. 数轴的读数与画法
[来源:Z&xx&k.Com]
1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。
2）画数轴步骤：a.直线 b.确定原点 c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向） d.
选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个
点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…） e.标
数（用实心点标数）.
3. 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）
1）数轴上的点并不是都是有理数
2） 正方向可以不按照常规方向选取
3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是±a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
4. 数轴与数的大小
1）正方向上，离原点越远，数越大
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）
注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
类型一、利用数轴比较大小
例．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据图示知： ，
， ， ， ．故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的知识以及不等式的基本性质，解题的关键是利用数形结合的思
想得出a，b与1， 的大小关系．
【变式训练1】已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4个结论：①；② ；③ ；④ ；其中正确的结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，再根
据数轴的位置关系逐一判断即可．
【详解】解：由数轴可知： ，故① 正确；
② ，②正确；
③ ，③错误；
④ ，④正确；
故正确的结论有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的性质及实数如何比较大小，关键在于学生要理解知识并灵活
运用．
【变式训练2】如图，点 、 均在数轴上，且点 所对应的实数分别为 、 ，若
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，可知 可能同号，也可能异号，而 恒成立，即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，即在数轴上， 在 的左侧，
∴ 或 ，
∴ 可能同号，也可能异号，而 恒成立，
∴ 一定正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上点的位置及其大小关系，熟练掌握数轴上右边的数总比左边的
数大是解题的关键．
【变式训练3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出a、b、 、 的正负，然后再比较出a、
b、 、 的大小，最后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴选项B不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴选项C符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和
“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，掌握
数形结合的数学思想是解题的关键．
类型二、基本动点问题
例．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点
O，点A重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ，即
，例如：当点P是线段 的中点时，因为 ，所以 ．若数轴上的点P
满足 ，则 的值是________．
【答案】 或
【分析】首先分类讨论P的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可．【详解】
因为 ，所以P在 或 处，所以 ， 或
所以 或
故答案为： 或
【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置．
例2．如图，已知线段 ，点O为线段AB上一点，且 ．动点P以
1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以
4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向
运动到点B停止．设P的运动时间为t s．
(1)OA=__________cm，OB=__________cm；
(2)当Q从O向A运动时，若 ，求t的值．
(3)当 时，直接写出t的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）直接按比例求解即可；
（2）根据数量关系列方程即可；
（3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可．
【详解】（1） ，点O为线段AB上一点，且 ，
那么 ．
故答案为： ；
（2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则 ，
点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停
留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止，
则 从 到 时， ，
从 到 时， ．
因为当Q从O向A运动时，若 ，所以 ，解得 ．
（3）当则 从 到 时， ，
，
可得 ，解得 ，
从 到 时， 在 左侧时， ．
，
可得 ，解得 ，
从 到 时， 在 右侧时， ．
， 可得 ，解得 ．
综上所述：
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后
找出等量关系列方程．
【变式训练1】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再
向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单
位长度得到的？
【答案】(1)见解析
(2)A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是
(3)向左爬行4个单位长度
【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解；
（2）根据（1）中所画数轴写出即可；
（3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答．
【详解】（1）如图所示：
（2）A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是 ；
（3）∵C点坐标是 ，
∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的．
【点睛】本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现
了数形结合的优点．【变式训练2】如图，在数轴上点A表示的有理数为 ，点B表示的有理数为6，点P从
点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立
即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：
秒）．
(1) 时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是 的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)0
(2)2.5 或7.5
(3) 或
(4)
【分析】（1）当 时，点P的路程与 的和即为点表示的有理数；
（2）求出 的长，分两种情况：由A到B方向运动时点P是 的中点；由B到A方向
运动时点P是 的中点；
（3）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中，点P到点A的距离即点P的运动路程；
点P由点B到点A的运动过程中，点P到点A的距离为 与点P运动路程的差；
（4）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中；点P由点B到点A的运动过程中；
由（3）的结果及两点间的距离即可求得点P表示的有理数．
【详解】（1）解：点P表示的有理数为 ；
故答案为：0；
（2）解： ，
，
当由A到B方向运动时， ，
当由B到A方向运动时， ．
综上，点P是 的中点时 或 ；
（3）解：当点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离 的长度为 ；
当点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离为 ；
（4）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是 ；
在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是 ．
【点睛】本题考查了数轴上动点问题，两点间距离，数轴上的点表示有理数等知识，注意
数形结合．【变式训练3】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第 次向右跳 个单位长度，第 次向左跳
个单位长度，第 次向右跳 个单位长度，第 次向左跳 个单位长度，…依此规律跳下
去，当它跳第 次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度．
【答案】
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可．
【详解】解： ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学
习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．
类型三、两点之间的距离
例1．在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是________．
【答案】5或
【分析】根据数轴上两点间的距离的意义解答即可．
【详解】解：设这个数为 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：5或 ．
【点睛】本题考查数轴上两点距离的意义，还可以根据相反数的特点解答，即在数轴上到
原点的距离相等的点有两个，这两个点表示的数互为相反数．
【变式训练1】数轴上A、B两点对应的数分别为 和 ，P为数轴上一点，若
，则点P表示的数是________．
【答案】 或
【分析】分情况讨论，①当点P在线段 上时，设点P表示的数是x，根据数轴上A、B
两点对应的数分别为 和 得 ， ，即可得
；②当点P在线段 延长线上时，设点P表示的数是x，根据数轴上
A、B两点对应的数分别为 和 得 ， ，即可得
；分别计算并检验，即可得．
【详解】解：①当点P在线段 上时，
设点P表示的数是x，
∵数轴上A、B两点对应的数分别为 和 ，
∴ ， ，
∴，
经检验， 符合题意；
②当点P在线段 延长线上时，
设点P表示的数是x，
∵数轴上A、B两点对应的数分别为 和 ，
∴ ， ，
∴
，
经检验， 符合题意；
综上，点P表示的数是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是分情况讨论，正确计算．
【变式训练2】在数轴上，点 表示的数为 ，点 以每秒3个单位长度的速度从点
出发沿数轴向右运动经过________秒，点 与原点 的距离为 个单位长度．
【答案】3或7
【分析】根据题意可得出点 在 和 的时候与原点 的距离为 个单位长度，然后利用
路程除以速度即可得出时间．
【详解】 点 与原点 的距离为 个单位长度，点 表示的数为
在 和 的时候与原点 的距离都为 个单位长度
， ，
， ，
故答案为： 或
【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点 的位置．
课后训练
1．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若 ，则
（ ）
A． B．小于6 C．等于6 D．大于6
【答案】D
【分析】由 ，A在D的右边，C在B的右边，利用加数与和的关系可知 与6
的大小关系．
【详解】解：∵A在D的右边，C在B的右边，
∴ ， ，
∵ ，∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴、有理数的加法，属于中等题型．
2．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是 和2，C是 的中点，则点C所表示的
数是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据A，B两点所表示的数分别是 和2，利用中点公式求出线段 的中点所表
示的数即可．
【详解】解：∵A，B两点所表示的数分别是 和2，
∴线段 的中点所表示的数 ．
即点C所表示的数是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴，熟记中点公式是解题的关键．
3．规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则
遥控小汽车两次运动后的结果是（ ）
A．向东行驶5个单位长度 B．向西行驶3个单位长度 C．向东行驶2个
单位长度 D．向西行驶1个单位长度
【答案】C
【分析】根据图象得最后停在 的位置，起始位置为 ，然后即可得出结果．
【详解】解：根据图象得最后停在 的位置，起始位置为 ，
∴两次运动后的结果是向东行驶2个单位长度，故选：C．
【点睛】题目主要考查数轴上点的运动，理解题意是解题关键．
8．如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用a，b的位置，进而得出： ， ，即可分析得出答案．
【详解】解：如图所示： ， ，
A、 ，正确，不合题意；
B、 ，正确，不合题意；
C、 ，故此选项错误，符合题意；
D、 ，正确，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4．有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据数轴判断m与n与0的大小关系，进而逐一判断即可．
【详解】解：根据数轴可得 且 ，
∴ ， ，即①正确，②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即③正确；
∵ 且 ，
∴
∴ ，即④正确；
∵
∴ ，即⑤正确；
∴①③④⑤正确，正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是将m与n与0的大小关系判断出来．
5．点 ， 在数轴上的位置如图，则 ______ ， ______
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出 与 的正负即可．【详解】解：根据数轴上点的位置得： ，且 ，
则 ， ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．
7．如图，把半径为1的圆从数轴上表示 的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A
到达点 ，则点 表示的数为______．
【答案】
【分析】由圆的周长为 ，再结合数轴上两点之间的距离可得答案．
【详解】解：∵圆的周长为 ，
∴点 表示的数为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴上的点运动之后所表示的数，数形结合、正确分析题意，是解题
的关键．
8．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后
在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为 ，则折
痕处对应的点所表示的数可能是_________
【答案】4或5或6
【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．
【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为 ，
，
∴这三条线段的长度分别为2，2，4，
若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2，
则折痕表示的数为： ；
若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4，
则折痕表示的数为： ；
若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2，
则折痕表示的数为： ；
∴折痕表示的数为4或5或6，
故答案为：4或5或6．【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键．
9．A、B两个动点在数轴上同时出发，分别向左、向右做匀速运动，它们的运动时间以及
在数轴上的位置记录如下．
时
0 5 7
（秒）
A点位置 19
B点位置 ___ 17 27
(1)根据题意，填写表格；
(2)A、B两点能否相遇，如果能相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，
请说明理由；
(3)A、B两点能否相距9个单位长度，如果能，求相距9个单位长度的时刻；如不能，请说
明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能相遇，在第3秒时相遇，此时在数轴上7的位置
(3)能在第2或4秒时相距9个单位
【分析】（1）根据两点之间的距离，从而可填写表格；
（2）根据相遇的路程和时间的关系，求解即可；
（3）根据两种情况分别列式求解即可．
【详解】（1）解： ， ；
， ．
故填表如下：
时（秒） 0 5 7
A点位置 19
B点位置 17 27
（2）解：能相遇，理由如下：根据题意可得： （秒 ， ，
答：能在第3秒时相遇，此时在数轴上7的位置；
（3）解：一种： 、 相遇前相距9个单位． ，
第二种： 、 相遇后相距9个单位． ，
∴能在第2或4秒时相距9个单位．
