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第二章 有理数及其运算 章末检测卷（北师大版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河南省直辖县级单位·七年级期末）截至2021年12月14日，31个省（自治区、直辖市）和新
疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗263020.4万剂次，其中263020.4万用科学记数法表示为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：263020.4万=2630204000=2.630204×109．故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．（2022·天津·模拟预测） 的相反数是（ ）
A． B．2022 C． D．
【答案】B
【分析】先计算，再根据相反数的概念解答即可．
【详解】解： ，
的相反数为2022，故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的概念及有理数的减法，掌握只有符号不同的两个数叫做相反数是解题关键．
3．（2022·山东德州·七年级期末）某种零件质量标准是(20±0.2)g，下列零件质量不符合标准的是（ ）
A．19.7g B．19.9g C．20g D．20.1g
【答案】A
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量即可得出答案．
【详解】解：∵零件质量标准是：20g±0.2g，
∴质量最低为19.8g，质量最高为20.2g，
∴不符合标准的为19.7g，故选：A．【点睛】本题主要考查正负数的意义，关键是要牢记正负数可以表示具有相反意义的量．
4．（2022·广东云浮·七年级期中）现有以下六个结论：①有理数不是整数就是分数；②若两个数（0除
外）互为相反数，则它们相除的商等于-1；③正整数、负整数统称为整数；④最大的负有理数是-1；⑤几
个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．⑥ 不是有理数．其中正确的有（ ）
A．3个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】C
【分析】根据有理数的分类、整数的概念、有理数的乘法、除法法则及相反数和有理数的概念求解可得．
【详解】解：①整数和分数统称为有理数，此结论正确；
②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于 ，此结论正确；
③正整数、零、负整数统称为整数，原结论错误；
④最大的负整数是-1，最大的负有理数不是-1，原结论错误；
⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误．
⑥ 是有理数，原结论错误；
正确的有①②共2个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，整数的概念、有理数的乘法、除法法则及相反数概念，解题的关
键是理解相应的知识点的概念．
5．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在计算 时，佳佳的板演过程如下：
解：原式 ．
老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”
甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；
乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；
丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．
下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对
【答案】C
【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可．
【详解】解：由 到 既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律， ，
，是解题的关键．
6．（2022·河南安阳·七年级期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A．7 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后相加计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：x-3=0，y+4=0，
解得：x=3，y=-4．
则x+y=3+（-4）=-1．故选D．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非
负数都为0．
7．（2022·湖北荆州·七年级期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图，下列式子：①a＞0＞b；②b
＞a；③ab＜0；④a﹣b＞a+b，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由 在数轴上的位置可得a＜0＜b，从而可判断①②，再结合有理数的运算结果的符号确定可判
断③④，从而可得答案．
【详解】解：由数轴可得：a＜0＜b，故①不符合题意；
则b＞a，故②符合题意；
∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故③符合题意；
∵b＞0，
∴a﹣b＜a+b，故④不符合题意；
符合题意的有2个，故选：B．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的加减运算，乘法运算的符号确定问题，掌握
“有理数运算的运算结果的符号确定”是解本题的关键．8．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动
到OA的中点 处，第二次从点 跳动到 的中点 处，第三次从点 跳动到 的中点 处，如此不
断跳动下去，则第6次跳动后，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A 处，即在离原点的 处，第二次从A 点跳动到A 处，即
1 1 2
在离原点的 处，则跳动n次后，即跳到了离原点的 处，依此即可求解．
【详解】解：第一次跳动到OA的中点A 处，即在离原点的 处，
1
第二次从A 点跳动到A 处，即在离原点的 处，……
1 2
则跳动n次后，即跳到了离原点即跳到了离原点的 处，
则第6次跳动后，则 的长度是 故选D
【点睛】本考查了数轴，有理数乘方的应用，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题的关键．
9．（2022·重庆·七年级专题练习）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方
案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第
一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（ ）km．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8休息 0 0 0 0 0
A．35 B．36 C．37 D．38
【答案】B
【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强
度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时
的距离即可．
【详解】 “高强度”要求前一天必须“休息”，
“高强度”的徒步距离 前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最
远.
,
适合选择“高强度”的是第三天和第四天.
又 第一天可选择“高强度”,
方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强
度”,
此时，徒步的距离为 (千米).
方案②第一天选择“高强度”，第二天“低强度”，第三天选择“休息”，第四天“高强度”和第五天选
择“低强度”,
此时，徒步的距离为 (千米).
综上，徒步的最远距离为36千米.故选B．
【点睛】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．
10．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）观察下列两个等：1﹣ =2×1× ﹣1，2﹣ =2×2× ﹣1给出定义如下：
我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，
），（2， ）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
A．（﹣3， ） B．（4， ） C．（﹣5， ） D．（6， ）
【答案】D
【分析】根据题意“同心有理数对”的定义，一次检验四个选项是否符合定义，即可得出答案．
【详解】根据“同心有理数对”的定义判断即可．解：∵ ， ，
∴数对（﹣3， ）不是“同心有理数对”；故选项A不合题意；
∵
∴（4， ）不是“同心有理数对”，故选项B不合题意；
∵
∴（﹣5， ）不是“同心有理数对”，故选项C不合题意；
∵ ∴（6， ）是“同心有理数对”，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了有序数对，熟练的掌握有理数的运算法则进行计算以及正确的理解题目给出的定
义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·湖南株洲·七年级期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.某仓库运进面粉
记做 ，那么运出面粉 应记做_________.
【答案】
【分析】根据正数和负数的定义，以及相反意义的量来求解即可．
【详解】解：如果运进面粉25t记作＋25，那么运出面粉18t应记作−18．
故答案为：
【点睛】本题考查的是正数和负数，关键是要正确理解相反意义的量，“运进面粉”和“运出面粉”具有
相反意义，如果把“运进面粉”记作“＋”那么“运出面粉”就应该记作“−”．
12．（2022·广东江门·七年级期末）某城市11月份一天中的最高气温为12℃，当天的日温差是15℃，这
一天的最低气温是___℃．
【答案】-3
【分析】根据题意可得算式12−15，然后再根据有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
12−15=−3（℃），
∴这一天的最低气温是−3℃．
故答案为：−3．【点睛】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数．
13．（2022·河南信阳·七年级期末）有理数5.6149精确到百分位的近似数为 ____．
【答案】5.61
【分析】把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】解：5.6149精确到百分位，得到的近似数为5.61．
故答案为5.61．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确
到哪一位，保留几个有效数字等说法．
14．（2021·山东泰安·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的负数，则
的值为________．
【答案】13
【分析】先根据相反数性质、倒数定义及绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，m=-4，再代入计算即可．
【详解】根据题意知a+b=0，cd=1，m=-4，
故答案为：13
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则、相反数性
质、倒数定义及绝对值的性质．
15．（2022·江苏·七年级期中）如图，圆的周长为4个单位长．数轴每个数字之间的距离为1个单位长，
在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数
轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示
﹣2020的点与圆周上表示数字______的点重合．
【答案】1
【分析】根据题意得到-2会和3重合，-3会和2重合，-4会和1重合，-5又会和0重合，发现这是四个数
一个循环，利用解循环问题的方法求解．
【详解】解：根据题意，数轴按逆时针方向环绕在圆上，-2会和3重合，-3会和2重合，-4会和1重
合，-5又会和0重合，所以这就形成了一个循环，-1、-2、-3、-4，四个数一循环，
-1到-2020之间一共2020个点，
，
∴-2020会和1重合．
故答案是：1．
【点睛】本题考查找规律，解题的关键是利用数轴的性质结合解循环问题的方法进行求解．
16．（2022·北京朝阳·七年级期末）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目
都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成
绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（ ，a，
b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和，该年级共有四个班，若这四个班在本
次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则 ______，a的值为______．
【答案】 8 5
【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和 最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出
的值，再结合 ， 、 、 均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符
合题意的值．
【详解】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为 ，则 ，
四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，
．
，
．
， 、 、 均为正整数，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为 分，不符合题
意舍去；
当 时， ，则 ，不满足 ，舍去；
当 时， ，则 ，不满足 ，舍去．
综上所得： ， ， ．
故答案为：8，5．
【点睛】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和 四个班总成绩的和，是
解决本题的关键．17．（2022·全国·七年级期中）若 、 、 都是非零有理数，其满足 ，则
的值为__________．
【答案】
【分析】分 中有一个数为负数和 中有两个数为负数两种情况，再化简绝对值求值即可得．
【详解】 都是非零有理数，且 ，
中有一个或两个数为负数，
因此，分以下两种情况：
（1）当 中有一个数为负数时，则 ，
①若 为负数， 为正数，
则 ；
②若 为负数， 为正数，
则 ；
③若 为负数， 为正数，
则 ；
（2）当 中有两个数为负数时，则 ，
①若 为负数， 为正数，
则 ；
②若 为负数， 为正数，
则 ；
③若 为负数， 为正数，
则 ；综上， 的值为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的乘方与加减乘除法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
18．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，A，B，C是数轴上三点，对应的数分别是1，-12，4，点B和点
C分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，设运动的时间为t秒，若BC+n•AB-3n
的值在某段时间内不随t的变化而变化，则n=_____．
【答案】- 或
【分析】先表示出t秒时点B和点C的数，再代入BC+n•AB-3n中求出n即可．
【详解】解：t秒时点B表示的数为-12+2t，点C表示的数为4+t，
∴BC=|4+t+12-2t|=|16-t|，AB=|1+12-2t|=|13-2t|，
∴BC+n•AB-3n=|16-t|+n|13-2t|-3n，
当t＜ 时，
|16-t|+n|13-2t|-3n=16-t+13n-2nt-3n，
∴-2n=1，n=− ，
当 t 16，
|16-t|+n|13-2t|-3n=16-t-13n+2nt-3n，
∴2n=1，n= ，
当t＞16，
|16-t|+n|13-2t|-3n=t-16-13n+2nt-3n，
∴2n=-1，n=− ，
∴n的值为- 或 ，
故答案为：- 或 ．【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，关键是要能把AB和BC的长度用含t的式子表示出来．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·河北保定·七年级期末）老师课下给同学们留了一个式子：3×□＋9－○，让同学自己出题，并
写出答案．
(1)嘉嘉提出问题：若□代表－1，○代表5，则计算： ；
(2)琪琪提出问题：若3×□＋9－○＝1，当□代表－3时，求○所代表的有理数；
(3)嘉琪提出问题：在等式：3×□＋9－○＝1中，若□和○所代表的有理数互为相反数，求□所代表的有理
数．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）按照有理数混合运算法则计算即可．
（2）设○所代表的数为x，将算式转化为一元一次方程，解方程即可．
（3）设○所代表的数为y，则□代表的数为-y，将算式转化为一元一次方程，解方程即可．
(1)
(2)
设◯所代表的有理数为 ，
则
．
所以，◯所代表的有理数为 ．
(3)
设口所代表的有理数为 ，
则：所以，口所代表的有理数为 ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意并正确进行计算．
20．（2022·黑龙江·七年级期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再计算即可；
（2）先把除法转化为乘法，再计算乘法运算即可；
（3）先计算乘除法运算，再计算加减运算即可；
（4）先计算乘方运算，再计算乘除运算，同步按照乘法的分配律计算乘法运算，最后计算加减运算即可．
(1)
解：
(2)
(3)(4)
【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘除运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理
数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
21．（2022·山东烟台·期末）周末，小亮一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出
发，向南走了2千米到超市买东西，然后继续向南走了5千米到爷爷家．下午从爷爷家出发向北走了16千
米到达外公家，傍晚返回自己家中．
(1)若以小亮家为原点，向南为正方向，用1个单位长度表示2千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外
公家的位置在数轴上分别用A，B，C表示出来；
(2)外公家与超市间的距离为多少千米？
(3)若轿车每千米耗油0.1升，求小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量．
【答案】(1)见解析
(2)11千米
(3)3.2升
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示出A、B、C的位置即可；
（2）点A表示的数减去点C表示的数就得AC表示的单位长度，然后再乘以2即可；
（3）根据“总耗油量＝路程×小轿车每千米耗油量”计算即可．
(1)
解：点A、B、C如图所示：(2)
解：1-（-4.5）=5.5，5.5×2=11（千米）．
答：外公家与超市间的距离为11千米．
(3)
解：小亮一家走的路程为1+2.5+|-8|+4.5=16，16×2=32（千米），
共耗油：0.1×32=3.2（升）．
答：小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量为3.2升．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用、数轴及其应用，理解数轴和正负数的意义是解答本题的关键．
22．（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小
的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．
（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．
【答案】（1）0， ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）根据c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，即可得到 ， ；
（2）由 ，则 ，由此求解即可；
（3）根据数轴上的位置可得 ，则 ， ， ，由此进行化简即可．
【详解】解：（1）∵c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，
∴ ， ，
故答案为：0， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）根据数轴上的位置可得 ，
∵ ，
∴ ， ， ，∴
．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握
化简绝对值的相关方法．
23．（2022·陕西西安·七年级期末）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒
左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这
根木棒的长为 cm．
(2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
(3)实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，
奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”请问妙妙
现在多少岁了？
【答案】(1)8
(2)22
(3)14岁
【分析】（1）由图象可知3倍的AB长为30-6=24，即可求AB得长度．
（2）A点在6的右侧，距离6有8个单位长度，故A点为14；B点在A的左侧，距离A有8个单位长度，
故B点为22．
（3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示妙妙的年龄，B端表示奶奶的年龄，则木棒的长度表示二人的
年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为30﹣6＝24(cm)，则这根木棒的长为24÷3＝8(cm)，故答案为：
8．
（2）由（1）可知这跟木棒的长为8cm，所以A点表示为6+8＝14，B点表示的数是6+8+8＝22．
（3）由题意可知：当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为(﹣32)岁，所以奶奶与妙妙的年龄差为岁，所以现在妙妙的年龄为106﹣46﹣46＝14(岁)
【点睛】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题
的关键．
24．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，已知数轴上有 、 、 三点，点 为原
点，点 、点 在原点的右侧，点 在原点左侧，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 与 满足
， ．
(1)直接写出 、 的值， ___________， ___________；
(2)动点 从点 出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点 从点 出发，以每秒3个
单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为 秒，请用含 的式子表示线段 的长度；
(3)在（2）的条件下，若点 为 的中点，点 为 的中点，求 为何值时，满足 ．
【答案】(1)4；10
(2)
(3)当 或 时，满足
【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性可直接进行求解；
（2）由题意可得 ，然后根据数轴上两点距离公式可进行分类求解；
（3）由（1）（2）可得：点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示的数为 ，点A
表示的数为4，点B表示的数为10，点C表示的数为-20，则有 ， ，然后可得， ，进而分当点P、M都在点O的左侧时，当点P、M都在
点O的右侧且在点A的左侧，当点P、M都在点A的右侧且在点P、Q没有重合，最后问题可求解．
(1)
解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为4；10；
(2)
解：∵ ，且点A表示的数为4，
∴点C所表示的数为-20，
由题意可得： ，则有点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示的数为
，
∴ ；
(3)
解：由（1）（2）可得：点P在数轴上所表示的数为 ，点Q在数轴上所表示的数为 ，点A
表示的数为4，点B表示的数为10，点C表示的数为-20，
∴ ， ，
∵点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ ， ，
①当点P、M都在点O的左侧时，可得： ，如图所示：
∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得： ；
②当点P、M都在点O的右侧且在点A的左侧，即 ，如图所示：
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得： （不符合题意，舍去）；
③当点P、M都在点A的右侧且在点P、Q没有重合，即 ，如图所示：
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
④当点P在点Q的右侧时，显然是不符合 ；
∴综上所述：当 ， 或 ．
【点睛】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及分类讨论思想
是解题的关键．
25．（2022·四川·成都实外七年级期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如
2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且
2 2
a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格
数”，记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）
【答案】（1） ；（2）L（4）+L(16)=L(64)；（3） ；（4）
2 2 2【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【详解】（1）
L（4）=2，L(16)=4，L(64)=6
2 2 2
故答案为：
（2）
L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
故答案为：L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
（3）设
则
即La(M)+La(N)= La(M N)
故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．
26．（2022·江西赣州·七年级期中）阅读下面材料，回答问题：
已知点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ．
（1）当 、 两点中有一点在原点时，不妨设点 在原点，如图1， ．
（2）当 、 两点都不在原点时，①如图2，点 、 都在原点的右边， ；
②如图3，点 、 都在原点的左边， ；
③如图4，点 、 在原点的两边， ．
综上，数轴上 、 两点的距离 ，如数轴上表示4和 的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数 和 的两点之间的距离是5，那么 ______；
（2）若数轴上表示数 的点位于 与8之间，则 的值为______；
（3）若 表示一个有理数，且 ，求有理数 的取值范围；
（4）若未知数 ， 满足 ，求代数式 的最小值和最大值．
【答案】（1）2或﹣8；（2）9；（3）x＞2或x＜﹣4；（4）最大值为6，最小值为﹣5
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）根据题意得出a+1＞0，a﹣8＜0，再化简绝对值即可；
（3）根据题意，分x≥2、﹣4≤x＜2、x＜﹣4三种情况进行讨论求解即可；
（4）分别求出 和 的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解．
【详解】解：（1）由题意，∣a﹣（﹣3）∣=5，
∴a+3=5或a+3=﹣5，
解得：a=2，a=﹣8，
故答案为：2或﹣8；
（2）∵数轴上表示数 的点位于 与8之间，
∴a+1＞0，a﹣8＜0，∴ =（a+1）﹣（a﹣8）=9，
故答案为：9；
（3）由题意，分三种情况：
当x≥2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离∣﹣4﹣2∣=6，
当﹣4≤x＜2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和等于﹣4与2的距离6，舍去；
当x＜﹣4时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离6，
综上，有理数 的取值范围为x＞2或x＜﹣4；
（4）根据题意，
对于代数式 ，数轴上，当x在﹣3和4之间时，表示x的点到﹣3与4的距离和最小，最小值
为∣﹣3﹣4∣=7，
同理，对于 ，数轴上，当y在﹣2和2之间时，x到﹣2和2的距离和最小，最小值为∣﹣2
﹣2∣=4，
又 ，
∴﹣3≤x≤4，﹣2≤y≤2，
∴x+y的最大值为4+2=6，最小值为﹣3+（﹣2）=﹣5．
【点睛】本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公
式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键．
