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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
第二章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
题号 一 二 三 四 五 六 总分
得分
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)
1．下面的函数是二次函数的是( )
A．y＝3x＋1 B．y＝x2＋2x C．y＝ D．y＝
2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是( )
A．(2，1) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2)
3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )
A．y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3
C．y＝－3(x＋1)2＋3 D．y＝3(x＋1)2＋3
第3题图 第4题图
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y
＞0时，自变量x的取值范围是( )
A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
5．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销
售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )
A．5000元 B．8000元 C．9000元 D．10000元
6．关于二次函数y＝x2－2x＋1－a2的图象，以下判断错误的是( )
A．开口方向确定
B．对称轴位置确定
C．与y轴的交点一定在正半轴
D．与x轴的交点一定有一个在正半轴
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式为________________．
8．将抛物线 y＝(x－2)2－8 向左平移 3 个单位，得到抛物线的函数表达式为
________________．
9．已知A(4，y)，B(－4，y)是抛物线y＝(x＋3)2－2的图象上两点，则y________y(填
1 2 1 2
“＞”“＜”或“＝”)．
10．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是
________．
11．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边
上，C点在斜边上．设矩形的一边AB＝xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为________．
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第11题图 第12题图
12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长
度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点 C的坐标为
________________．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．已知点(3，0)在抛物线y＝－3x2＋(k＋3)x－k上，求此抛物线的对称轴．
14．已知抛物线y＝x2－4x＋c，其图象经过点(0，9)．
(1)求c的值；
(2)若点A(3，y)，B(4，y)在该抛物线上，试比较y，y 的大小．
1 2 1 2
15．已知二次函数y＝x2＋4x＋k－1.
(1)若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
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16．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)判断点P(3，5)是否在这个二次函数的图象上．
17．如图，已知点C(0，2)，D(4，2)，F(4，0)，请仅用无刻度的直尺作出下列抛物线的顶点
P.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于
点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BC，求△ABC的面积．
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19.如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关
于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，
0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足(x＋2)2＋m＞kx＋b的x的取值范围．
20．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的
“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y，y，且y＝a(x－m)2＋4(m＞0)，y，y 的“生成
1 2 1 1 2
函数”为y＝x2＋4x＋14；当x＝m时，y＝15，二次函数y 的图象的顶点坐标为(2，k)．
2 2
(1)求m的值；
(2)求二次函数y，y 的解析式．
1 2
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．某小区要用篱笆围成一个四边形花坛，花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的
篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，
且BC＝2AB.设AB边的长为x米，四边形ABCD的面积为S平方米．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，四边形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
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22．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(OA＝1米)弹跳到人梯顶端椅子
B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高P点.
(1)若其身体(看成一个点)的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式；
(2)在一次表演中，已知人梯高BC＝3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子
B处算表演成功，为了使这次表演成功，人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明
理由．
六、(本大题共12分)
23．如图①，若抛物线L 的顶点A在抛物线L 上，抛物线L 的顶点B也在抛物线L 上
1 2 2 1
(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L，L 互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物
1 2
线的“伴随抛物线”可以有很多条．
(1)在图①中，抛物线L：y＝－x2＋4x－3与L：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点
1 2
A的坐标为__________，a的值为________；
(2)在图②中，已知抛物线L：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L，若L 与y轴交
3 4 3
于点C，点C关于L 的对称轴对称的对称点为D，请求出以点D为顶点的L 的解析式；
3 4
(3)若抛物线y＝a(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a(x－h)2＋k，
1 2
请写出a 与a 的关系，并说明理由．
1 2
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参考答案与解析
1．B 2.B 3.A 4.B 5.C
6．C 解析：由二次函数y＝x2－2x＋1－a2得图象开口向上，对称轴是x＝1，故A，B，D
三个选项正确．图象与y轴的交点坐标为(0，1－a2)，1－a2无法确定符号，故C选项错误．故
选C.
7．y＝(x－6)2－36 8.y＝(x＋1)2－8 9.＞
10．(1，4) 11.300
12．(1＋，3)或(2，－3) 解析：∵△ABC是等边三角形，且AB＝2，∴AB边上的高为3.又
∵点C在二次函数图象上，∴点C的纵坐标为±3.将y＝±3代入y＝x2－2x－3，得x＝1±或0
或2.∵点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x＝1＋或2，∴点C的坐标为(1＋，3)或
(2，－3)．
13．解：∵点(3，0)在抛物线y＝－3x2＋(k＋3)x－k上，∴0＝－3×32＋3(k＋3)－k，∴k＝
9.(3分)∴抛物线的解析式为y＝－3x2＋12x－9，∴此抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝2.
(6分)
14．解：(1)当x＝0时，y＝c＝9，∴c的值为9.(3分)
(2)由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－4x＋9.当x＝3时，y＝9－4×3＋9＝6；当x＝4时，
1
y＝16－4×4＋9＝9.(5分)∵6＜9，∴y＜y.(6分)
2 1 2
15．解：(1)∵二次函数y＝x2＋4x＋k－1的图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＝42－
4×1×(k－1)＝20－4k＞0，解得k＜5，即k的取值范围为k＜5.(3分)
(2)根据题意得＝＝0，解得k＝5.(6分)
16．解：(1)设二次函数的顶点式为y＝a(x－1)2－2，将点(0，0)代入，得a－2＝0，解得a＝
2，(2分)所以二次函数的解析式为y＝2(x－1)2－2.(3分)
(2)当x＝3时，y＝2×(3－1)2－2＝6≠5，(5分)所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．
(6分)
17．解：抛物线的顶点P如图所示．(6分)
18．解：(1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋6，得0＝9＋3b＋6，解得b＝－5.(3
分)∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6.(4分)
(2)∵抛物线的解析式为y＝x2－5x＋6，令y＝0，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2，x＝3，
1 2
∴A(2，0)，B(3，0)．令x＝0，∴y＝6.∴C(0，6)，∴AB＝1，OC＝6.(6分)∴S ＝AB·OC＝
△ABC
×1×6＝3.(8分)
19．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1，∴抛物线的
解析式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，(2分)∴点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x
＝－2.又∵点B，C关于对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．(4分)∵一次函数y＝kx＋b的
图象经过点A，B，∴解得∴一次函数的解析式为y＝
－x－1.(6分)
(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m＞kx＋b的x的取值范围为x＜－4或x＞－1.(8分)
20．解：(1)∵y＝a(x－m)2＋4(m＞0)，y，y 的“生成函数”为y＝x2＋4x＋14，∴y＝x2＋
1 1 2 2
4x＋14－a(x－m)2－4＝x2－a(x－m)2＋4x＋10.(2分)∵当x＝m时，y＝15，∴15＝m2－a(m－
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m)2＋4m＋10，解得m＝1，m＝－5(不合题意，舍去)．(4分)
1 2
(2)由(1)得y ＝x2－a(x－1)2＋4x＋10＝(1－a)x2＋(2a＋4)x－a＋10.∵二次函数y 的图象
2 2
的顶点坐标为(2，k)，∴ －＝2，解得a＝4.(7分)∴y＝4(x－1)2＋4，y＝－3x2＋12x＋6.(8分)
1 2
21．解：(1)∵AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，CD＝(18－3x)米，(2分)∴S＝(AB＋CD)·BC
＝(x＋18－3x)·2x＝－2x2＋18x.(4分)
(2)∵S＝－2x2＋18x中a＝－2＜0，∴S有最大值．(6分)当x＝－＝时，S ＝＝.(9分)
最大
22．解：(1)由题意可得抛物线的顶点坐标为，且图象过A(0，1)，设y＝a＋，(2分)将A(0，
1)代入得1＝a＋，解得a＝－，故y＝－＋＝－x2＋3x＋1.(4分)
(2)为了使这次表演成功，人梯离起跳点A的水平距离OC是4米．(5分)理由如下：由题
意知点B在抛物线上，且点B的纵坐标为3.4.(7分)令3.4＝－x2＋3x＋1，解得x＝1(舍去)，x
1 2
＝4，∴点B的横坐标为4，即OC＝4米．(9分)
23．解：(1)(2，1)(1分) 1(2分)
(2)在L：y＝2x2－8x＋4中，令x＝0，得y＝4.故点C的坐标为(0，4)．(4分)又∵L：y＝2x2
3 3
－8x＋4的对称轴为直线x＝－＝－＝2，∴点D的坐标为(4，4)．(5分)∵L 的“伴随抛物
3
线”L 顶点为D(4，4)，∴设L 的解析式为y＝t(x－4)2＋4.又∵L 的顶点为(2，－4)，且与L 互
4 4 3 4
为“伴随抛物线”，∴y＝t(x－4)2＋4过点(2，－4)．∴－4＝t(2－4)2＋4，∴t＝－2，∴L 的解析
4
式为y＝－2(x－4)2＋4(或y＝－2x2＋16x－28)．(6分)
(3)a，a 的关系为a＋a＝0(或a＝－a)．(8分)理由如下：由已知抛物线y＝a(x－m)2＋
1 2 1 2 1 2 1
n的一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a(x－h)2＋k，可知y＝a(x－h)2＋k过点(m，n)且y＝
2 2
a(x－m)2＋n过点(h，k)．∴(10分)由①＋②可得(a＋a)(h－m)2＝0，(11分)．又∵“伴随抛物
1 1 2
线”的顶点不重合，∴h≠m，∴a＋a＝0或a＝－a.(12分)
1 2 1 2
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