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中考数学一轮复习 图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．（2025•无锡）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开
（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025•琼海校级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于 O，则
∠AOC+∠DOB＝（ ）
A．90° B．120° C．160° D．180°
3．（2025•临县校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的
中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
4．（2025•徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，
则AC等于（ ）
A．3 B．2 C．3或5 D．2或6
5．（2025•零陵区校级自主招生）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n
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个，则m+n等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
6．（2025•霍林郭勒市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来
解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．（2025•滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，
∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8．（2025•金华）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条
墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（2025•西宁）如果∠ 和∠ 互补，且∠ ＞∠ ，则下列表示∠ 的余角的式子中：①90°﹣
α β α β β
1 1
∠ ；②∠ ﹣90°；③ （∠ +∠ ）；④ （∠ ﹣∠ ）．正确的有（ ）
2 2
β α α β α β
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2024秋•管城区校级期末）如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的 5个点表示5
个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
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A．10 B．11 C．20 D．22
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋•芙蓉区校级期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若
∠ABE＝30°，则∠DBC为 度．
12．（2025•宁江区期末）长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，
则线段AC的长度为 ．
13．（2025•麻栗坡县期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反
数，则2x﹣y的值为 ．
14．（2024春•路南区校级期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数
为 ．
15．（2025•巴南区校级期末）如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则
∠AOB的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋•城关区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
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1 1
17．（2024•迎泽区校级开学）如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、
3 4
CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
18．（2024秋•恩施市期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与
形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、
a+b
b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
2
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左
匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含 t 的代数式表示：t 秒后，点 P 表示的数为 ；点 Q 表示的数为
．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
1
（3）求当t为何值时，PQ= AB；
2
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变
化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
19．（2025•五华县期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝ ，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与 的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝ 时，猜想∠MON与 α、 有数量关系吗？如果有，指出
α β α β
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结论并说明理由．
20．（2025•青云谱区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E
的左侧．
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
AD+EC 3 CD
（2）若 AB＝2DE，线段 DE 在直线 AB 上移动，且满足关系式 = ，则 =
BE 2 AB
．
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中考数学一轮复习 图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．（2025•无锡）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开
（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故 A错误，且两条相邻成直角，故B
错误，正视图的斜线方向相反，故C错误，只有D选项符合条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答
问题．
2．（2025•琼海校级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于 O，则
∠AOC+∠DOB＝（ ）
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A．90° B．120° C．160° D．180°
【考点】角的计算．
【答案】D
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而
不求”的解题技巧进行求解．
3．（2025•临县校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的
中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
【考点】比较线段的长短．
【专题】分类讨论；推理能力．
【答案】D
【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当
点C在线段AB的延长线上时．
1 1 1
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN= AC+ BC= AB＝5cm；
2 2 2
1 1
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN= AC− BC＝7﹣2＝5cm．
2 2
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选：D．
【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的
计算．
4．（2025•徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，
则AC等于（ ）
A．3 B．2 C．3或5 D．2或6
【考点】两点间的距离；数轴．
【专题】压轴题．
【答案】D
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【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB
外．
【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分
两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB＝4．
第一种情况：在线段AB外，
AC＝4+2＝6；
第二种情况：在线段AB内，
AC＝4﹣2＝2．
故选：D．
【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密
性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
5．（2025•零陵区校级自主招生）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n
个，则m+n等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【考点】直线、射线、线段．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】B
【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可
求得m+n的值．
【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2
四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3
五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4
六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5
七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6
八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7
九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36
当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n＝1
则m+n＝1+36＝37
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故选：B．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．
6．（2025•霍林郭勒市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来
解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来
解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解
释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定
一条直线”来解释．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
7．（2025•滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，
∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
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A．50° B．60° C．65° D．70°
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝
60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠BOC+∠COD即可得出结论．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝
60°，
1 1
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD= ∠COE= ×60°＝30°，
2 2
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
8．（2025•金华）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条
墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】应用题．
【答案】A
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一
条直线．
故选：A．
【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际
的能力．
9．（2025•西宁）如果∠ 和∠ 互补，且∠ ＞∠ ，则下列表示∠ 的余角的式子中：①90°﹣
α β α β β
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1 1
∠ ；②∠ ﹣90°；③ （∠ +∠ ）；④ （∠ ﹣∠ ）．正确的有（ ）
2 2
β α α β α β
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】余角和补角．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】根据角的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°，可将，①②③④中的式
子化为含有∠ +∠ 的式子，再将∠ +∠ ＝180°代入即可解出此题．
【解答】解：α∵∠β和∠ 互补， α β
∴∠ +∠ ＝180°．α因为β90°﹣∠ +∠ ＝90°，所以①正确；
又∠α﹣90β°+∠ ＝∠ +∠ ﹣90°＝β 180β°﹣90°＝90°，②也正确；
1 α β α1 β
（∠ +∠ ）+∠ = ×180°+∠ ＝90°+∠ ≠90°，所以③错误；
2 2
α β β β β
1 1 1
（∠ ﹣∠ ）+∠ = （∠ +∠ ）= ×180°＝90°，所以④正确．
2 2 2
α β β α β
综上可知，①②④均正确．
故选：B．
【点评】本题考查了角之间互补与互余的关系，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°．
10．（2024秋•管城区校级期末）如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的 5个点表示5
个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
【考点】直线、射线、线段．
【专题】推理填空题；模型思想．
【答案】C
【分析】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5
﹣1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要
10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，
故选：C．
【点评】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都
既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
二．填空题（共5小题）
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11．（2024秋•芙蓉区校级期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若
∠ABE＝30°，则∠DBC为 6 0 度．
【考点】角的计算．
【专题】推理填空题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解．
【解答】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′
∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，
∠DBC＝∠DBC′
∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°
∴∠ABE+∠DBC＝90°
∴∠DBC＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了角的计算，用正确角分线是解决本题的关键．
12．（2025•宁江区期末）长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，
则线段AC的长度为 8 cm ．
【考点】比较线段的长短．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB＝1：2的关系，求MC的长，最
后利用AC＝AM+MC得其长度．
【解答】解：∵线段AB的中点为M，
∴AM＝BM＝6cm
设MC＝x，则CB＝2x，
∴x+2x＝6，解得x＝2
即MC＝2cm．
∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、
分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
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13．（2025•麻栗坡县期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反
数，则2x﹣y的值为 ﹣ 3 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】图表型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的展开图中相对面不存在公共点可找出5对面的数字，从而可根据相反数的
定义求得x的值，进一步求得y的值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，
∴2x﹣3＝﹣5，y＝﹣x，
解得x＝﹣1，y＝1，
∴2x﹣y＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体的展开图中相对面不存在公共点
是解题的关键．
14．（2024春•路南区校级期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数
为 20 ° ．
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据∠1＝∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC
的度数从而求解．
【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠1＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE
∴∠1＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20°．
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【点评】本题主要考查了角度的计算，正确理解∠1＝∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题
的关键．
15．（2025•巴南区校级期末）如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则
∠AOB的度数为 120 ° ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质得出∠COB＝2∠AOC＝2x，∠AOD＝∠BOD＝1.5x，进而求出x的
值，即可得出答案．
【解答】解：∵∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，
∴设∠COB＝2∠AOC＝2x，∠AOD＝∠BOD＝1.5x，
∴∠COD＝0.5x＝20°，
∴x＝40°，
∴∠AOB的度数为：3×40°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，根据题意得出∠COD＝0.5x是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋•城关区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
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1 1
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠AOC= ∠EOC= ×70°＝35°，然后根据对顶角相等得到
2 2
∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝
2x＝72°，然后与（1）的计算方法一样．
【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，
1 1
∴∠AOC= ∠EOC= ×70°＝35°，
2 2
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
1 1
∴∠AOC= ∠EOC= ×72°＝36°，
2 2
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
【点评】考查了角的计算：1直角＝90°；1平角＝180°．也考查了角平分线的定义和对顶角的性
质．
1 1
17．（2024•迎泽区校级开学）如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、
3 4
CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设BD＝xcm，由题意得AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm，再根据中点的定义，用
含x的式子表示出AE和CF，再根据EF＝AC﹣AE﹣CF＝2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以
2.5x＝10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．
【解答】解：设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm．
1 1
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE= AB＝1.5xcm，CF= CD＝2xcm．
2 2
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5xcm．∵EF＝10cm，∴2.5x＝10，解得：x＝4．
∴AB＝12cm，CD＝16cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想．
18．（2024秋•恩施市期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与
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形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、
a+b
b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
2
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左
匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ 1 0 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣ 2+ 3 t ；点Q表示的数为 8 ﹣ 2 t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
1
（3）求当t为何值时，PQ= AB；
2
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变
化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相
遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8
﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
−2+(−2+3t) 3t 8+(−2+3t) 3t
（4）由点M表示的数为 = −2，点N表示的数为 = +3，即
2 2 2 2
可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
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此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
1 1
又PQ= AB= ×10＝5，
2 2
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
1
∴当：t＝1或3时，PQ= AB；
2
（4）不变．
−2+(−2+3t) 3t
∵点M表示的数为 = −2，
2 2
8+(−2+3t) 3t
点N表示的数为 = +3，
2 2
3t 3t 3t 3t
∴MN＝|（ −2）﹣（ +3）|＝| −2− −3|＝5．
2 2 2 2
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之
间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19．（2025•五华县期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝ ，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与 的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝ 时，猜想∠MON与 α、 有数量关系吗？如果有，指出
α β α β
结论并说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
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求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC＝75°，∠NOC= ∠BOC＝30°
2 2
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°．
1
（2）如图2，∠MON= ，
2
α
理由是：∵∠AOB＝ ，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝ +60°， α
∵OM平分∠αAOC，ON平分∠BOC，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= +30°，∠NOC= ∠BOC＝30°
2 2 2
α
1 1
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（ +30°）﹣30°= ．
2 2
α α
1
（3）如图3，∠MON= ，与 的大小无关．
2
α β
理由：∵∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，
∴∠AOC＝ + ．α β
∵OM是∠AαOCβ的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC= （ + ），
2 2
α β
1 1
∠NOC= ∠BOC= ，
2 2
β
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
1 1
= （ + ）−
2 2
α β β
1
=
2
α
1
即∠MON= ．
2
α
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【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度
数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．
20．（2025•青云谱区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E
的左侧．
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
AD+EC 3 CD 17
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 = ，则 = 或
BE 2 AB 42
11
．
6
【考点】两点间的距离．
【专题】压轴题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，根据中点定义即可求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，确定点F是BC的中点，即可
求AD的长；
AD+EC 3
（2）根据AC＝2BC，AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，满足关系式 = ，可以设
BE 2
CD
CE＝x，DC＝y，用含x和y的式子表示线段长，从而得出x与y的等量关系，即可求出 的值．
AB
【解答】解：（1）AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，
∴BC＝6，AC＝12，
①如图，
∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∴CD＝5，
∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；
②如图，
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Ⅰ、当点E在点F的左侧，
∵CE+EF＝3，BC＝6，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，
1
∴AD= AF＝5；
3
Ⅱ、当点E在点F的右侧，
∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴AF＝3AD＝9，
∴AD＝3．
其他情况不存在，舍去．
综上所述：AD的长为3或5；
AD+EC 3
（2）∵AC＝2BC，AB＝2DE，满足关系式 = ，
BE 2
Ⅰ、当点E在点C右侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝x+y，
∴AB＝2（x+y）
2 4
AC= AB= （x+y）
3 3
4 1
∴AD＝AC﹣DC= x+ y
3 3
1 2
BC= AB= （x+y）
3 3
2 1
∴BE＝BC﹣CE= y− x
3 3
7 1
∴AD+EC= x+ y
3 3
∵2（AD+EC）＝3BE
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7 1 2 1
∴2（ x+ y）＝3（ y− x）
3 3 3 3
解得，17x＝4y，
CD y y 17
= = =
∴AB 2(x+ y) 4 42．
2( y+ y)
17
Ⅱ、当点E在点A左侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x）
2 4
AC= AB= （y﹣x）
3 3
4 1
∴AD＝DC﹣AC= x− y
3 3
1 2
BC= AB= （y﹣x）
3 3
2 1
∴BE＝BC+CE= y+ x
3 3
7 1
∴AD+EC= x− y
3 3
∵2（AD+EC）＝3BE
7 1 2 1
∴2（ x− y）＝3（ y+ x）
3 3 3 3
解得，11x＝8y，
CD y 11
∴ = = ．
AB 2(y−x) 6
点D在C点右侧，及点D在B点右侧，
无解，不符合题意；
当DE在线段AC内部时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x），
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2 4
AC= AB= （y﹣x），
3 3
1 4
∴AD＝AC﹣DC= y− x，
3 3
1 2
BC= AB= （y﹣x），
3 3
2 1
∴BE＝BC+CE= y+ x，
3 3
1 1
∴AD+EC=− x+ y，
3 3
∵2（AD+EC）＝3BE
1 1 2 1
∴2（− x+ y）＝3（ y+ x），
3 3 3 3
解得，﹣5x＝4y（不符合题意，舍去），
CD y 5 1
∴ = = ＜ ，不符合题意，舍去．
AB 2(y−x) 18 2
其他情况不存在，舍去．
17 11
故答案为 或 ．
42 6
【点评】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答．
22
