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专题26 锐角三角函数
一、锐角三角函数概念
【高频考点精讲】
在Rt△ABC中，∠C＝90°
1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝
2、余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝
3、正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝
4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
【热点题型精练】
1．（2022•天津中考）tan45°的值等于（ ）
√2 √3
A．2 B．1 C． D．
2 3
2．（2022•淮南模拟）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA
的值是（ ）
√5 √10 1
A． B． C．2 D．
5 5 2
3．（2022•荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，
OC：BC＝1：2，连接 AC，过点 O作OP∥AB交AC 的延长线于 P．若 P（1，1），则 tan∠OAP 的值是
（ ）√3 √2 1
A． B． C． D．3
3 2 3
4．（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为
（0，3），tan∠ABO=√3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．6√3 C．12√3 D．8√3
5．（2022•滨州中考）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
6．（2022•扬州中考）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值
为 ．
7．（2022•绥化中考）定义一种运算：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，
sin（α﹣β ）＝sinα coβs ﹣coαs sβin ．
α β α β α β √2 √3 √2 1 √6+√2
例如：当 ＝45°， ＝30°时，sin（45°+30°）= × + × = ，则sin15°的值为 ．
2 2 2 2 4
α β
8．（2022•湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
二、解直角三角形
【高频考点精讲】
1、解直角三角形常用关系
（1）锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
（2）三边之间的关系：a2+b2＝c2；
（3）边角之间的关系sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
2、 sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
【热点题型精练】
1
9．（2022•乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=√5，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A= ，
2
1
tan∠ABD= ，则CD的长为（ ）
3
A．2√5 B．3 C．√5 D．2
10．（2022•通辽中考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆
经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）
2√13 3√13 2 √5
A． B． C． D．
13 13 3 3
11．（2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交
AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）8 7 15 8
A． B． C． D．
17 15 17 15
1
12．（2022•济宁中考）如图，点A，C，D，B在 O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD= ，则
3
⊙
AD的长是 ．
13．（2022•河池中考）如图，把边长为 1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形
2
ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH= BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作
5
OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ．
14．（2022•张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用 4个全等的直角
三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，
已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．
三、解直角三角形的应用
【高频考点精讲】
1、坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，常用i表示。
（2）坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系：i＝h:l＝tan 。
α α α（3）解决坡度问题，一般通过作高构成直角三角形，坡角是锐角，坡度是锐角的正切值，水平宽度或垂直高度是
直角边，本质是解直角三角形问题。
2、仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角。
（2）解决此类问题需要了解角之间的关系，找到与条件和所求相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，
要通过作高构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形中边角关系问题加以解决。
3、方向角问题
（1）辨别方向角：以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
（2）解决方向角问题，要根据题意理清图形中各角的关系，如果所给方向角不在直角三角形中，可以用“两直线
平行，内错角相等”“余角”等知识转化为所需要的角。
【热点题型精练】
15．（2022•黑龙江中考）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时
小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A．600﹣250√5 B．600√3−250 C．350+350√3 D．500√316．（2022•济南中考）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点
A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物
AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
3
17．（2022•柳州中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ，sin = ，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB
5
α α
的长度为 m．
18．（2022•黄石中考）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为 30m，当无人
机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的
高度约为 m．
（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）
19．（2022•巴中中考）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考
3 4 3
数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 420．（2022•长沙中考）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进
行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，
在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
21．（2022•广州中考）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，
旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分α．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
22．（2022•重庆中考）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的
救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相
遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方
向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该
游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
