文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
难点 04 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题
（4 大热考题型）
题型一：坐标系中点的坐标规律问题
题型二：实际生活中函数图象问题
题型三：动点的函数图象问题
题型四：平面直角坐标系中的面积问题
题型一：坐标系中点的坐标规律问题
1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：
1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找
出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；
2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间
存在的规律．
2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：
1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；
3）找算式中数字与序号间的变化规律；
4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形 是正方形，曲线 叫作“正方形
的渐开线”，其中 ， ， ， ，…的圆心依次按O，A，B， 循环．当 时，点
的坐标是( )
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点A的
坐标为 ， 是以点B为圆心， 为半径的圆弧； 是以点O为圆心， 为半径的圆弧，
是以点C为圆心， 为半径的圆弧， 是以点A为圆心， 为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A
为圆心按上述作法得到的曲线 称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是 ．
【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律
（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点A的坐标为 ．把
按如图所示的方式放置，并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时边
长扩大为 边长的2倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时边长扩
大为 ，边长的2倍，得到 ，…．依次类推，得到 ，则 的边长为
，点 的坐标为 ．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标
1.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图， ， ， ， 是分别以 ， ， ， 为
直角顶点，一条直角边在 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ， ，均在反比
例函数 的图象上，则点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示，已知A点坐标为
，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴
交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ……，依次进行下去，则点 的坐标为
．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式1-4】难点结合三角形，利用相似三角形求面积
（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， ， ，
，…都是平行四边形，顶点 ， ， ， ， ，…都在 轴上，顶点 ， ， ， ，…
都在正比例函数 （ ）的图象上，且 ， ， ，…，连接
， ， ， ，…，分别交射线 于点 ， ， ， ，…，连接 ， ， ，
…，得到 ， ， ，…．若 ， ， ，则 的面积为
．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点
为位似中心作正方形 ，正方形 ……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其
中正方形的顶点坐标分别为 ， ， ， ，则顶点 的坐标为（ ）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点 ，其中 ，
且 ， 是整数．记 ，如 ，即 ， ，即 ， ，即 ， ，
以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，
过点(1,0)作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，
过点 作 轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的坐标为（ ）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
4．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中， 的三个顶点都在边长为 的小正方形的格点上，
关于 轴的对称图形为 ， 与 组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图
形，得到如图所示的图形．若 是这组图形中的一个三角形，当 时，点 的横坐标是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 的斜边 ，
且 在x轴的正半轴上，点 落在第一象限内．将 绕原点O逆时针旋转 ，得到 ，
再将 绕原点O逆时针旋转 ，又得到 ；依此规律继续旋转，得到 ，
则点 的坐标为（ ）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中 ，一只蚂
蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿 循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标
为 ．
7．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，有一边长为 的正方形 ，点 在
轴的正半轴上，如果以对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形
， ，照此规律作下去，则 的坐标是 ； 的坐标是 ．
8．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点 同时出发，沿正六边形
按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点
的坐标为 ，则第2024次相遇地点的坐标为 ．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9.（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面
直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为 ，
， ， 则点 的坐标为 ．
10．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图， ，反比例函数 与该
回形图的交点依次记为 、 、 、……，则 的坐标为 ．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 轴上，另两
个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第 个正方形的边长是 ．
题型二：实际生活中函数图象问题
读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分
析如下:
关键信息 函数意义
坐标轴 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量
拐点 图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开
始发生变化
水平线 函数值随自变量的变化而保持不变
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体
能，运动员通常会记录每行进 所用的时间，即“配速”（单位： ）．小华参加 的骑行比赛，
他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．第 所用的时间最长
B．第 的平均速度最大
C．第 和第 的平均速度相同
D．前 的平均速度大于最后 的平均速度
【变式2-1】难点分析两个函数图象
1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为 ．
两人前进路程s（单位： ）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下
列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映
的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．
图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则 的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝
尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研
究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A． B． C． D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工
作报告中一个新关键词“人工智能 ”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图
①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保
持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为 ，聪聪和慧慧行走的路
程分别为 、 ， ， 与 的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．客人距离厨房门口 ； B．慧慧比聪聪晚出发 ；
C．聪聪的速度为 ； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大
值为 ；
2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
题型三：动点的函数图象问题
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增
减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进
行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
【中考母题学方法】
【典例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形 中， ， 厘米，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
厘米，点 从点 出发以每秒 厘米的速度，沿 在平行四边形的边上匀速运动
至点 ．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 平方厘米，下列图中表示 与 之间函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到点
C时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点时，
的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点 从 出发，沿着
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的路径行进，过点 作 ，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与
的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象
（2023·重庆·中考真题）如图， 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速
度同时从点A出发，点E沿折线 方向运动，点F沿折线 方向运动，当两者相遇时停
止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队
竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中 和 均为半圆，点 ， ， ， 依次在同一直
线上，且 ．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从 ， 两点同时出发，沿着轨道以大小相
同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为 和 ．若移动
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
时间为 ，两个机器人之间距离为 ．则 与 关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
的方向运动，当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒）， ，则 关于
的函数的图象大致为（ ）
A． B．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
C． D．
3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图 ，点 ， 分别从正方形 的顶点 ， 同时出发，沿正方形
的边逆时针方向匀速运动，若点 的速度是点 速度的 倍，当点 运动到点 时，点 ， 同时停止运
动．图 是点 ， 运动时， 的面积 随时间 变化的图象，则正方形 的边长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，动点 从点
出发，在菱形的边上沿 匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中， 的面积y随着运动
时间x的函数图象如图2所示，则 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形 中， ，点 为 边上的三等分点
，动点 从点 出发，沿折线 方向运动，到点 停止运动．点 的运动速度为每秒
2个单位长度，设点 运动时间为 秒， 的面积为 ．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出 时 的取值范围．
6．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知 ，点D是边 上一点，且 ，点P是线段
上的动点，过点P作 的垂线，垂足为E，连接 ，设 ．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
0 1 2 3 4 5 6
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
(2)自变量x的取值范围是_______；
(3)在平面直角坐标系 中，画出此函数的图象：
(4)结合函数图象解决问题：当 时， 的长约为________ （结果精确到 ）．
7．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别为 与 边的
中点，动点P从点B出发，沿折线 运动，到达点D后停止运动．连接 ，设点P
的运动路程为x， 的面积为y．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足 时，写出x的取值范围（误差不超过0.2）．
题型四：平面直角坐标系中的面积问题
类型1 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式
1
S= AB⋅h,其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边,h为AB边上的高
2
1 1
S = (x −x )⋅|y | S = (y −y )⋅|x |
△ABC 2 B A C △ABC 2 A B C
1 1
S = (x −x )⋅(y −y ) S = (y −y )⋅(x −x )
△ABC 2 B A C A △ABC 2 A B C A
类型2 三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算
分
割
法
1 1 1 1
S =S +S = BD⋅(AE+CF)=S BD=⋅(CyD−⋅y(x)−x )= (y −y )⋅(x −x )
△ABC △ABD △BCD 2 2△ABC 2 C AA B 2 C D A B
补
形
法
1 1 S =S 1−S −S 1
S =S −S = CE⋅(y −y )− CE⋅△(AyBC−y△)AD=C CE△⋅AB(Dy −△ByCD)= (x −x )⋅(y −y )
△ABC △AEC △BEC 2 C A 2 C B 2 B A 2 C E B A
S =S −S −S −S S =S −S −S −S −S
△ABC 矩形BDEF △ACE △BCD △ABF 四边形ABCD 矩形EFGH △AEB △AHD △BFC △CDG
【中考母题学方法】
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【典例4】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别是
O(0,0)， ， ， ，则四边形 的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【变式4-1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的边 在y轴上，点C在
第一象限内，点B为 的中点，反比例函数 的图象经过B，C两点．若 的面积是6，则
k的值为 ．
【变式4-2】（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直
角坐标系 ，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为 ， ， ， ．
(1)以点D为旋转中心，将 旋转 得到 ，画出 ；
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)直接写出以B， ， ，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线 平分 ，写出点E的坐标．
【变式4-3】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：
因为 ，所以 ……①，当且仅当 时取等号．若 、 均为正数，根据①式：
，得： ……② 即 ……③（②式、③式中 、 均为正
数，当且仅当 时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把
叫做正数 ， 的算术平均数，把 叫做正数 ， 的几何平均数．
(1)若 ， ，求 、 的算术平均数和几何平均数；
(2)若 ，当 为何值时代数式 有最小值，并求出此时的最小值；
(3)已知 ， ，点 为双曲线 （ ）上的任意一点，过 作 轴于点 ，
轴于点 ，求四边形 面积的最小值和此时点 的坐标．
【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题
（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2) 是二次函数的图象位于 轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点 在点 的左侧．过点
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
作 轴的垂线，分别交 轴于点 ，当 的值最大时，求点 的坐标．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点 ，使 的面积等于矩形 的面积的 ？若
存在，请求出点 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-5】难点动点问题（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形
的边 在x轴上，点A在第一象限， 的长度是一元二次方程 的根，动点P从点O
出发以每秒2个单位长度的速度沿折线 运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折
线 运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（ ）， 的面
积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当 时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为
顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的
顶点均在格点上．
(1)作出 关于y轴对称的 ，并直接写出点 的坐标；
(2)连接 ， ，求四边形 的面积．
2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 的边 垂直于x轴，
垂足为点B，反比例函数 的图象经过 的中点C，交 于点D，且 ．若点D的坐标
为 ．
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)设点A的坐标为 则点 的坐标为 ；
(2)①求反比例函数 的表达式；
②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，设点E是线段 上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反
比例函数的图象交于点F，求 面积的最大值．
3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，
与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线 的解析式；
(3)点M在射线 上，是否存在点M，使 的面积是 的面积的 ？若存在，求出点M的坐标．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点
， ，抛物线 为常数）经过点 且交 轴于 两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，点 为(0,4)，点 为 ，连接 ．
提出问题：
（1）如图2，以 为边在 右侧构成正方形 ，且正方形 的边与 轴相交于点 ，用含 的
代数式表示此时点 的坐标；
问题探究：
（2）如图3，以 为对角线构成正方形 ，且正方形 的边与 轴相交于点 ，当 时，
求线段 的值；
问题深化：
（3）若以 为边在 右侧构成正方形 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，令 的面积
为 ，求 关于 的函数关系式．
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数 的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线
经过A，C两点，连接 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得 ?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3)如图2，将 沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为 )， ，
分别交线段 于点E，F，当 与 的面积相等时，请直接写出 与 重叠部分
的面积．
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点C在原点O处，已知点 ， ，连接 ，E
是 上一动点(不与点C，D 重合)，过点E作 交 于点 F，过点 E作 交 于G，
连接 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)设 ，用含a的式子表示 的面积，并求出 面积的最大值；
(3)如图2，设 与 交于点 M，连接 ，求线段 的取值范围．
28
