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难点 04 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题
（4 大热考题型）
题型一：坐标系中点的坐标规律问题
题型二：实际生活中函数图象问题
题型三：动点的函数图象问题
题型四：平面直角坐标系中的面积问题
题型一：坐标系中点的坐标规律问题
1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：
1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找
出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；
2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间
存在的规律．
2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：
1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；
3）找算式中数字与序号间的变化规律；
4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形 是正方形，曲线 叫作“正方形
的渐开线”，其中 ， ， ， ，…的圆心依次按O，A，B， 循环．当 时，点
的坐标是( )
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出 在第三象限，与 ， ， ，…符合同一规律，
探究出 ， ， ，...的规律即可．
【详解】解：由图得 ， ，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴ 在第三象限，与 ， ， ，…
符合规律 ，
∴ 坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
【变式1-1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点A的
坐标为 ， 是以点B为圆心， 为半径的圆弧； 是以点O为圆心， 为半径的圆弧，
是以点C为圆心， 为半径的圆弧， 是以点A为圆心， 为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A
为圆心按上述作法得到的曲线 称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是 ．
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【答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转 ，再根据A、 、 、 、 的坐标找到规
律即可．
【详解】解：∵ ，且 为A点绕B点顺时针旋转 所得，
∴ ，
又∵ 为 点绕O点顺时针旋转 所得，
∴ ，
又∵ 为 点绕C点顺时针旋转 所得，
∴ ，
由此可得出规律： 为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转 ，且半径为1、2、3、 、
n，每次增加1，
又∵ ，
故 为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转 所得，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标
变化的规律是解题的关键．
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【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律
（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点A的坐标为 ．把
按如图所示的方式放置，并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时边
长扩大为 边长的2倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时边长扩
大为 ，边长的2倍，得到 ，…．依次类推，得到 ，则 的边长为
，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据旋转角度为 ，可知每旋转6次后点 又回到 轴的正半轴上，故点 在第四象限，且
，即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，点A的坐标为 ，
∴ ，
∵每次旋转角度为 ，
∴6次旋转 ，
第一次旋转后， 在第四象限， ，
第二次旋转后， 在第三象限， ，
第三次旋转后， 在 轴负半轴， ，
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第四次旋转后， 在第二象限， ，
第五次旋转后， 在第一象限， ，
第六次旋转后， 在 轴正半轴， ，
……
如此循环，每旋转6次，点 的对应点又回到 轴正半轴，
∵ ，
点 在第四象限，且 ，
如图，过点 作 轴于 ，
在 中， ，
∴ ，
，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的
坐标规律是解题的关键．
【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标
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1.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图， ， ， ， 是分别以 ， ， ， 为
直角顶点，一条直角边在 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ， ，均在反比
例函数 的图象上，则点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰直角三角形的判定和性质．分别过点 ， ， ，
作 轴的垂线，垂足分别为 ， ， ， ，设 ，则 ，点 ，则点 的横坐标
为 ，再根据点 在反比例函数 的图象上可求出 ，进而得点 的横坐标为4，设
，同理 ，则点 ，点 的横坐标为 ，然后可求出 ，进而得点 的
横坐标为 ，设 ，则 ，点 ，点 的横坐标为 ，然后求出
，进而得点 的横坐标为 ，同理：点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， ，
以此类推即可点 的横坐标．
【详解】解：分别过点 ， ， ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ， ， ，如下图所示：
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是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
，
点 为 的中点，
是 的中位线，
，
设 ，则 ，
点 的坐标为 ，则点 的横坐标为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
（舍去负值），
点 的横坐标为4，
设 ，同理 ，
则点 ，点 的横坐标为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
即 ，
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，
，
点 的横坐标为 ，
设 ，则 ，点 ，点 的横坐标为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
即 ，
，
，
点 的横坐标为 ，
同理：点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
，以此类推，点 的横坐标为 ．
点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．
故答案为： ； ．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示，已知A点坐标为
，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴
交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ……，依次进行下去，则点 的坐标为
．
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【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线 的解析式，再求出点 的坐标，再
求出直线 的解析式，从而求出点 、 的坐标，以此类推可得点 的坐标，根据点 、 、 之间
的规律求出点 的坐标．
【详解】解：设直线 的解析式为： ，
∵点 坐标为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
∵ 轴交抛物线于点 ，
∴ ，
∵ 交抛物线于点 ，
∴设直线 的解析式为： ，
∴将 代入 解析式中得： ，
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∴直线 的解析式为： ，
当 时，
解得： ， ，
∴ ，
∵ 轴交抛物线于点 ，
∴ ，
同理可得：直线 的解析式为： ，
当 时，
解得： ， ，
∴ ，
……
∴以此类推点
∴ 的坐标为： ，
故答案为： ．
【变式1-4】难点结合三角形，利用相似三角形求面积
（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， ， ，
，…都是平行四边形，顶点 ， ， ， ， ，…都在 轴上，顶点 ， ， ， ，…
都在正比例函数 （ ）的图象上，且 ， ， ，…，连接
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， ， ， ，…，分别交射线 于点 ， ， ， ，…，连接 ， ， ，
…，得到 ， ， ，…．若 ， ， ，则 的面积为
．
【答案】
【分析】根据题意和图形可先求得 ， ，
， ， ， ，
， ， ，从而得 ， ，
， ，利用三角形的面积
公式即可得解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴点 与点 的横坐标相同， ， ， ， ，
∴ 轴，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵四边形 ， ， ， ，…都是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ， ，
， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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∵ 在 上，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似
三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点
为位似中心作正方形 ，正方形 ……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其
中正方形的顶点坐标分别为 ， ， ， ，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当 、 、 的坐标的变化情况，总结规律，根据
规律解答即可．
【详解】解： ， ， ， ， ，
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，
，
的坐标为 ，即 ，
故选：A．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点 ，其中 ，
且 ， 是整数．记 ，如 ，即 ， ，即 ， ，即 ， ，
以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律 ，再利用规律解题即可．
本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键．
【详解】解：第1圈有1个点，即 ，这时 ；
第2圈有8个点，即 到 ，这时 ；
第3圈有16个点，即 到 ，这时 ；
依次类推，第n圈， ；
由规律可知： 是在第4圈上，且 ，即 ，故A选项不正确：
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是在第23圈上，且 ，即 ，故选项B正确；
第n圈， ，所以 ，故C，D选项不正确；
故选：B．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，
过点(1,0)作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，
过点 作 轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．写出一
部分点的坐标，探索得到规律 ， ， ， ，(
是正整数)，，即可求解．
【详解】解：依题意，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
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当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
依次得： ， ， ， ，
由此发现规律： ， ， ， ，( 是正整数)，
，
∴ ，即： ，
故选：D．
4．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中， 的三个顶点都在边长为 的小正方形的格点上，
关于 轴的对称图形为 ， 与 组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图
形，得到如图所示的图形．若 是这组图形中的一个三角形，当 时，点 的横坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解
题的关键．
【详解】由图可知： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
又 ， ， ， ， ，
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当 为偶数时，
与 横坐标相差 ，即 横坐标 横坐标，
与 横坐标相差 ，即 横坐标 横坐标，
与 横坐标相差 ，即 横坐标 横坐标，
与 横坐标相差 ，即 横坐标 横坐标，
，
与 横坐标相差 ，即 横坐标 横坐标，
∴ ，即 ，
故选： ．
5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 的斜边 ，
且 在x轴的正半轴上，点 落在第一象限内．将 绕原点O逆时针旋转 ，得到 ，
再将 绕原点O逆时针旋转 ，又得到 ；依此规律继续旋转，得到 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现点 位置变化的规律是解题的关键．根据
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所给旋转方式，可得出每旋转八次，点 为正整数）的位置便循环一次，再结合 便可解决问题．
【详解】解：由所给旋转方式可知，
，
每旋转八次，点 为正整数）的位置便循环一次．
又 ，
点 的坐标与点 的坐标相同．
又 点 在 轴的正半轴上，且 ，
点 的坐标为 ，
即点 的坐标为 ．
故选：C．
6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中 ，一只蚂
蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿 循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律型，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时
间是解题的关键．
根据点A、B、C、D的坐标可得 的长，从而求出矩形 的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要
14秒，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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∴ ．
∵ ，
∴当 秒时，蚂蚁在点 处，∴此时点蚂蚁的坐标为 ．
故答案为： .
7．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，有一边长为 的正方形 ，点 在
轴的正半轴上，如果以对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形
， ，照此规律作下去，则 的坐标是 ； 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了规律型 点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．
根据已知条件和勾股定理求出 的长度即可求出 的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，
都顺时针旋转 ，边长都乘以 ，所以可求出从 到 变化的坐标．
【详解】解： 四边形 是正方形， ，
，
，
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的坐标是 ，
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转 ，边长都乘以 ，
旋转8次则 旋转一周，
从 到 经过了2024次变化，
，
从 到 与 都在 轴正半轴上，
点 的坐标是 ．
故答案为： ， ； ．
8．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点 同时出发，沿正六边形
按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点
的坐标为 ，则第2024次相遇地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查正六边形的性质和寻找规律，解题关键是找出P、Q两点相遇的循环规律．
如下图，分析可知P、Q两点依次在点M、N、A三处循环相遇，然后利用余数定理便可求得第2024次相
遇的位置．
【详解】解：由题意可得： ，
∴正六边形的周长为 ．
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
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∴第一次相遇的时间为 ，
此时点P的路程为 ，点P，Q第一次相遇的地点为点C，
依次类推，得出：点P，Q第二次相遇的地点为点E，点P，Q第三次相遇的地点为点A，点P，Q第四次
相遇的地点为点C，…，
∴点P，Q两点的相遇是3次一循环，
∵ ，
∴第2024次相遇的地点为点E，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
故答案为： ； ．
9.（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面
直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为 ，
， ， 则点 的坐标为 ．
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【答案】
【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规
律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出 的坐标，即可解决问题；
【详解】解：观察发现： 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到 ； 先向右
平移1个单位，再向下平移1个单位得到 ；
先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到 ；
先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到 ；
先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到 ；
根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知，
先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到 ；
故答案为
10．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图， ，反比例函数 与该
回形图的交点依次记为 、 、 、……，则 的坐标为 ．
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【答案】
【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分
别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第 个回形4个点的规律，分别是 ， ， ，
，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案．
【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为 ，观察图象，可以发现：
第1个回形有2个点， ，
第2个回形有4个点，分别是 ， ， ，
第3个回形有4个点，分别是 ， ， ，
第 个回形有4个点，分别是 ， ， ，
那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为
故答案为：
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11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线 的内部依次画正方形，使对角线在 轴上，另两
个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第 个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线 的表达式
为 ，联立方程求得 的坐标，进而求得第一个正方形的边长和 的坐标，即可得到直线 的表达
式为： ，联立方程求得 的坐标，进而求得第二个正方形的边长和 的坐标，即可得到直线
的解析式为： ，联立方程求得 的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第 个正
方形的边长是 ．
【详解】 正方形的对角线在 轴上
， 和 关于 轴对称， 和 关于 轴对称， 和 关于 轴对称
到 轴和 轴的距离相等
直线 的表达式为
列方程组：
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解得 或
根据两点间距离公式：
设 的表达式为：
在函数上
解得：
直线 的表达式为：
列方程组：
解得 或
同理可得：
直线 的表达式为：
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列方程组：
解得 或
同理可得：
按此规律类推，第 个正方形的边长为 ，第 个正方形的边长是
故答案为： ．
题型二：实际生活中函数图象问题
读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分
析如下:
关键信息 函数意义
坐标轴 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量
拐点 图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开
始发生变化
水平线 函数值随自变量的变化而保持不变
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体
能，运动员通常会记录每行进 所用的时间，即“配速”（单位： ）．小华参加 的骑行比赛，
他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
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A．第 所用的时间最长
B．第 的平均速度最大
C．第 和第 的平均速度相同
D．前 的平均速度大于最后 的平均速度
【答案】D
【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进 所用的时间，故从图中可知，第 所用的时间最长，故选项A不符
合题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程 时间，由图可知，配速最小，故第 所用时间最
短，故第 的平均速度最大，故选项B不符合题意；
第 所用的时间与第 所用的时间一致，故第 的和第 的平均速度相同，故选项C不符合题意；
由于前 的时间大于最后 的时间，故前 的平均速度小于最后 的平均速度，故选项D符合
题意；
故选D．
【变式2-1】难点分析两个函数图象
1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为 ．
两人前进路程s（单位： ）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下
列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
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【答案】D
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用 ，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地 ，原说法错误，不符合题意；
D、甲的速度是 ，原说法正确，符合题意；
故选D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映
的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．
图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则 的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息
解决问题即可．
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了 （分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为 （千米/分钟），步行速度为 （千米/分钟），则跑步速度
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是步行速度的 倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为 （千米/分钟），
所以 ，故（4）正确，
故选：C．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝
尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研
究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时
间和温度．
【详解】解：由图像可知，在 时提取率最高，
时提取率最高，
故最佳的提取时间和提取温度分别为 ，
故选B．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工
作报告中一个新关键词“人工智能 ”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图
①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保
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持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为 ，聪聪和慧慧行走的路
程分别为 、 ， ， 与 的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．客人距离厨房门口 ； B．慧慧比聪聪晚出发 ；
C．聪聪的速度为 ； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大
值为 ；
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题
的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．
【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
∴ 表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，
设 的解析式为 ，图象经过点 ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的解析式为 ，
由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为 ，
∴A、客人距离厨房门口 ，正确，不符合题意；
B、慧慧比聪聪晚出发 ，正确，不符合题意；
C、∵ ，
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∴聪聪的速度为 ，正确，不符合题意；
D、当 时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当 时， ，
当 时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，
当 时， ，
∴ ，
当 时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到 ，
∵ ,
∴D选项不正确，符合题意 ；
故选：D ．
2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价
为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元
(2)
(3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意得出总利润 ，再由一次函数的性质即可求解；
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（2）当售价在 元时，设每月销售量 ，利用待定系数法进行计算即可；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：当售价在 元时， 每月的总利润为 元.
则总利润 ，
，
当 时，总利润最多，为 (元)，
每月的总利润最多是 元；
（2）解：当售价在 元时，设每月销售量 ，
，
解得 ，
每月销售量 ．
（3）解：当售价在 元时，设每月的总利润为 元.
每月的总利润
， 二次函数的对称轴为直线
，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
，解得 ，
m的最小值是30，
此时
当 时， 取得最大值，最大值为200元，
m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
题型三：动点的函数图象问题
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类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增
减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进
行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
【中考母题学方法】
【典例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形 中， ， 厘米，
厘米，点 从点 出发以每秒 厘米的速度，沿 在平行四边形的边上匀速运动
至点 ．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 平方厘米，下列图中表示 与 之间函数关系的是
（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等
知识．由平行四边形性质得到 厘米，点 速度为每秒 厘米，则点 在 上时，时间 满足的
取值范围为 ，观察符合题意的 、 、 的图象， 即点 在 处时， 的面积各不相同，
求得此时 的面积，即可找到正确选项．判断出点 运动到点 时的时间及此时 的面积是解决
本题的关键．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， 厘米，
厘米，
点 从点 出发以每秒 厘米的速度，
点 走完 所用的时间为： 秒，
当点 在 上时， ；故排除 ；
当 时，点 在点 处，过点 作 于点 ，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
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平方厘米，
故选：B．
【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到点
C时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点时，
的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】结合图象，得到当 时， ，当点P运动到点B时， ，根据菱形的性
质，得 ，继而得到 ，当点P运动到 中点时， 的长
为 ，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，
直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当 时， ，
当点P运动到点B时， ，
根据菱形的性质，得 ，
故 ，
当点P运动到 中点时， 的长为 ，
故选C．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点 从 出发，沿着
的路径行进，过点 作 ，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与
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的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定 的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：由图象得： ，当 时， ，此时点P在 边上，
设此时 ，则 ， ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
，
故选：B．
【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象
（2023·重庆·中考真题）如图， 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速
度同时从点A出发，点E沿折线 方向运动，点F沿折线 方向运动，当两者相遇时
停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
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(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当 时， ；当 时， ；
(2)图象见解析，当 时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或
【分析】（1）分两种情况：当 时，根据等边三角形的性质解答；当 时，利用周长减去
即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用 分别求解即可．
【详解】（1）解：当 时，
连接 ，
由题意得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
当 时， ；
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（2）函数图象如图：
当 时，y随t的增大而增大；
（3）当 时， 即 ；
当 时， 即 ，解得 ，
故t的值为3或 ．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关
键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队
竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中 和 均为半圆，点 ， ， ， 依次在同一直
线上，且 ．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从 ， 两点同时出发，沿着轨道以大小相
同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为 和 ．若移动
时间为 ，两个机器人之间距离为 ．则 与 关系的图象大致是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为 ，之后同时到达点A，C，两个机器人
之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距
离是直径 ，当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是 ，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离是直径 ，保持不变，
当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
的方向运动，当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒）， ，则 关于
的函数的图象大致为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】需要分类讨论：①当 ，即点 在线段 上时，过 作 于点 ，由勾股定理即
可求得 与 的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当 ，， 与 的函数关系
式是 ，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当 时，则
，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数
图象．解答该题时，需要对点 的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，
则 ， ，
①当点 在 上时， ， ， ，
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，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ；
由此可排除A，B，C．
②当 时，即点 在线段 上时， ；
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为 ；
③当 时，即点 在线段 上，此时， ，
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为直线 ；
故选：D．
3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图 ，点 ， 分别从正方形 的顶点 ， 同时出发，沿正方形
的边逆时针方向匀速运动，若点 的速度是点 速度的 倍，当点 运动到点 时，点 ， 同时停止运
动．图 是点 ， 运动时， 的面积 随时间 变化的图象，则正方形 的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，动点问题的函数图象等，根据图 可知，当x=2
时，点 运动到点 ，点 运动到AB的中点， 的面积为 ，进行计算即可，解题的关键是根据图象
分析得到x=2时，点 运动到点 ，点 运动到AB的中点，且 的面积为 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形，点 的速度是点 速度的 倍，
∴ ， ，
由图 可知，当点 在 上运动时， 的面积为 ，
当 时， 的面积为 ，即 ，
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此时点 为 的中点，
故 ，
解得： ，
故选： ．
4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，动点 从点
出发，在菱形的边上沿 匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中， 的面积y随着运动
时间x的函数图象如图2所示，则 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为 ，过点 作
于 ，根据图象可求出 ，再根据菱形的性质求出 ，根据图象当点 到达点 时，
，据此计算即可求解．
【详解】解：设菱形的边长为 ，过点 作 于 ，如图，
，
则 ，
，
，
， ，
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由图可知，当点 在点 时， 的面积最大，
此时 ，
解得： 或 （舍去），
， ，
当点 到达点 时， ，
，
．
故选：A．
5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形 中， ，点 为 边上的三等分点
，动点 从点 出发，沿折线 方向运动，到点 停止运动．点 的运动速度为每秒
2个单位长度，设点 运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出 时 的取值范围．
【答案】(1) (2)见解析(3) 或
【分析】（1）分 和 两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
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（3）结合图象列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：在矩形 中， ， ，
∵点 为 边上的三等分点（ ），
∴ ， ，
分两种情况：①当 时，即点P在边 上，则 ；
②当 时，即点P在边 上，则
，
∴
；
综上， 关于 的函数解析式为： ；
（2）解：用描点法作出函数图象即可，
当 时， 随着x的增大而增大；当 时， 随着x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：根据函数图象，
当 ，则 ，解得： ，
；
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当 ，则 ，解得： ，
；
综上， 时 的取值范围为 或 ．
【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，
三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键．
6．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知 ，点D是边 上一点，且 ，点P是线段
上的动点，过点P作 的垂线，垂足为E，连接 ，设 ．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
0 1 2 3 4 5 6
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
(2)自变量x的取值范围是_______；
(3)在平面直角坐标系 中，画出此函数的图象：
(4)结合函数图象解决问题：当 时， 的长约为________ （结果精确到 ）．
【答案】(1) (2) (3)见解析(4)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题
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的解题关键．
（1）当 时，点 运动到点 处，此时点 与点 重合，即可求出 长；
（2）由 ，可得 的取值；
（3）描点，连线即可；
（4）做出 的图形，利求出交点纵坐标即 的长．
【详解】（1）解：当 时，点 运动到点 处，此时点 与点 重合，
，
；
（2）∵ ，
即当点 在点 处时， ，
当点 在点 处时， ，
∴自变量 的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）如图所示，
（4）当 时， ，如图，
作 的图象，与之前函数交于点 ，经测量点 纵坐标约为 ，
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∴ 长约为 ，
故答案为： ．
7．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别为 与 边的
中点，动点P从点B出发，沿折线 运动，到达点D后停止运动．连接 ，设点P的
运动路程为x， 的面积为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足 时，写出x的取值范围（误差不超过0.2）．
【答案】(1)
(2)函数图象见解析，该函数的一条性质为：函数的最大值为3
(3)
【分析】（1）分两种情况：当点 在 上运动时，当点 在 上运动时，结合梯形、三角形面积公式
即可求解；
（2）结合（1）中解析式即可画出函数图象，然后根据图象得出函数的性质；
（3）求出 时对应的x的值，然后观察图象找出 时所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，点 和 分别为 与 边的中点，
∴ ， ， ，
设 点的运动路程为 ，
当点 在 上运动时，即 时， ，
∴ 的面积
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，
当点 在 上运动时，即 时，如图， ，
∴ 的面积
，
综上， ；
（2）解：函数图象如图所示，
由图象可知：函数的最大值为3；
（3）解：当 时，即 或 ，
解得： 或 ，
由图象可知：当函数 满足 ， 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确理解题意，利用梯形、
三角形的面积公式列出函数关系式是解本题的关键．
题型四：平面直角坐标系中的面积问题
48类型1 一边在坐标轴上或平行于坐关标注轴公的众三号：角陆形陆面高积分的冲计刺 算 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S= AB⋅h,其中AB是
2
△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边,h为AB边上的高
1 1
S = (x −x )⋅|y | S = (y −y )⋅|x |
△ABC 2 B A C △ABC 2 A B C
1 1
S = (x −x )⋅(y −y ) S = (y −y )⋅(x −x )
△ABC 2 B A C A △ABC 2 A B C A
类型2 三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算
分
割
法
S =S +S 1
△ABC △ABD △BCD S = CD⋅(x −x )
1 1 △ABC 2 A B
= BD⋅(AE+CF)= BD⋅(y −y )
2 2 C A 1
= (y −y )⋅(x −x )
2 C D A B
补
形
法
1 1 S =S 1−S −S 1
S =S −S = CE⋅(y −y )− CE⋅△(AyBC−y△)AD=C CE△⋅AB(Dy −△ByCD)= (x −x )⋅(y −y )
△ABC △AEC △BEC 2 C A 2 C B 2 B A 2 C E B A
S =S −S −S −S S =S −S −S −S −S
△ABC 矩 形BDEF△ACE △BCD △ABF 四 边 形ABCD矩 形EFGH△AEB △AHD △BFC △CDG
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【中考母题学方法】
【典例4】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别是
O(0,0)， ， ， ，则四边形 的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，过A作 于M，过B作 于N，根据A、B、C的坐标可
求出 ， ， ， ， ，然后根据 求解即可．
【详解】解∶过A作 于M，过B作 于N，
∵O(0,0)， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积为
，
故选：D．
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【变式4-1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的边 在y轴上，点C在
第一象限内，点B为 的中点，反比例函数 的图象经过B，C两点．若 的面积是6，则
k的值为 ．
【答案】4
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为 ，则 ，由点B
为 的中点，推出C点坐标为 ，求得直线 的解析式，得到A点坐标，根据 的面积是
6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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设B点坐标为 ，则 ，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴C点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴A点坐标为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解
题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
【变式4-2】（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直
角坐标系 ，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为 ， ， ， ．
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(1)以点D为旋转中心，将 旋转 得到 ，画出 ；
(2)直接写出以B， ， ，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线 平分 ，写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)40
(3) (答案不唯一)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，
结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转 得到对应点，即可得出 ．
（2）连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出 ， ，即可得出 是等腰三角形，根据三线合一的性
质即可求出点E的坐标．
【详解】（1）解： 如下图所示：
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（2）连接 ， ，
∵点B与 ，点C与 分别关于点D成中心对称，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
（3）∵根据网格信息可得出 ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 也是线段 的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为， ，
∴点 ，
即 ．（答案不唯一）
【变式4-3】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：
因为 ，所以 ……①，当且仅当 时取等号．若 、 均为正数，根据①式：
，得： ……② 即 ……③（②式、③式中 、 均为正
数，当且仅当 时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把
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叫做正数 ， 的算术平均数，把 叫做正数 ， 的几何平均数．
(1)若 ， ，求 、 的算术平均数和几何平均数；
(2)若 ，当 为何值时代数式 有最小值，并求出此时的最小值；
(3)已知 ， ，点 为双曲线 （ ）上的任意一点，过 作 轴于点 ，
轴于点 ，求四边形 面积的最小值和此时点 的坐标．
【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为
(2) 时，代数式 有最小值，最小值为0
(3)25，
【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解；
（2）将原式变形为 ，根据 求解；
（3）设 ，则 ， ，四边形 面积 ，根据
即可求解．
本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用 ．
【详解】（1）解： ， 时， 、 的算术平均数为： ，
， 的几何平均数为： ；
（2）解： ，
， ，
，当 时，等号成立，
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解得 ，或 （舍去），
，
即 时，代数式 有最小值，最小值为0；
（3）解：如图，设 ，则 ， ，
， ，
， ， ， ，
四边形 面积
，
，当 时，等号成立，
解得 （负值舍去），
四边形 面积的最小值 ，此时 ，即 ．
【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题
（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴
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交于点 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2) 是二次函数的图象位于 轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点 在点 的左侧．过点
作 轴的垂线，分别交 轴于点 ，当 的值最大时，求点 的坐标．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点 ，使 的面积等于矩形 的面积的 ？若
存在，请求出点 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的横坐标为1或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形、矩形的性质，熟练掌握二次
函数的性质，利用点的坐标表示线段长是解答的关键．
（1）利用待定系数法求出该二次函数表达式即可；
（2）先求得二次函数图象的对称轴为直线 ，设 ， ，
，利用坐标与图形性质得到 ，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由（2）得 ， ，设 ，根据题意可得 ，然后解方程
求得t值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与 轴交于点 ，
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∴ ，解得 ，
∴该二次函数的表达式为 ；
（2）解：由 得二次函数图象的对称轴为直线 ，
设 ，根据题意，得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为5，
此时点M的坐标为(2,3)；
（3）解：存在，
由（2）知 ， ，
∴ ， ，
设 ，
∵ 的面积等于矩形 的面积的 ，
∴ ，
∴ 或 ，
整理得 或 ，
解得 ， ， ，
故满足条件的点P的横坐标为1或 ．
【变式4-5】难点动点问题（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形
的边 在x轴上，点A在第一象限， 的长度是一元二次方程 的根，动点P从点O出
发以每秒2个单位长度的速度沿折线 运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线
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运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（ ）， 的面积
为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当 时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为
顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)
(3)存在， ， ， ，
【分析】（1）运用因式分解法解方程求出 的长，根据等边三角形的性质得出
，过点A作 轴，垂足为C，求出 的长即可；
（2）分 ， 和 三种情况，运用三角形面积公式求解即可；
（3）当 时求出 ，得 ，分 为边和对角线两种情况可得点N的坐标；当
和 时不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形
【详解】（1）解： ，解得 ，
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的长度是 的根，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
过点A作 轴，垂足为C，
在 中，
∴
，
∴
点A的坐标为
（2）解：当 时．过P作 轴，垂足为点D，
∴ ， ，
∴
∴ ，
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；
当 时，过Q作 ，垂足为点E
∵
∴
又
∴ ，
又 ，
当 时，过O作 ，垂足为F
∴ ，
同理可得， ，
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∴ ；
综上所述
（3）解：当 时，解得，
∴ ，
过点P作 轴于点G，则
∴
∴点P的坐标为 ；
当 为边时，将 沿 轴向下平移4个单位得 ，此时 ，四边形 是菱形；
将 沿 轴向上平移4个单位得 ，此时 ，四边形 是菱形；如图，
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作点P关于y轴的对称点 ，当 时，四边形 是菱形；
当 为对角线时，设 的中点为T，过点T作 ，交y轴于点M，延长 到 ,使 连
接 ,过点 作 轴于点 ，则
∴
∴ ,即 ，
解得， ,
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∴ ，
∴ ；
当 ，解得， ，不符合题意，此情况不存在；
当 时，解得， ，不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为 ， ， ，
【点睛】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定理， 角所对的直
角边等于斜边的一半，三角形的面积，菱形的判定与性质，正确作出辅助线和分类讨论是解答本题的关键
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的
顶点均在格点上．
(1)作出 关于y轴对称的 ，并直接写出点 的坐标；
(2)连接 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)12
【分析】此题考查轴对称的作图、点的坐标、利用网格面积等知识．
（1）找到 关于y轴的对称点 ，顺次连接得到 ，再写出点 的坐标即可；
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（2）利用梯形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求．则点 的坐标为 ．
（2）解：四边形 的面积
2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 的边 垂直于x轴，
垂足为点B，反比例函数 的图象经过 的中点C，交 于点D，且 ．若点D的坐标
为 ．
(1)设点A的坐标为 则点 的坐标为 ；
(2)①求反比例函数 的表达式；
②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，设点E是线段 上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反
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比例函数的图象交于点F，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) 反比例函数解析式为 ； 直线 的解析式为
(3) 时， 最大，最大值为
【分析】（1）利用中点坐标公式即可得出结论；
（2） 先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
由 ，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．
【详解】（1）解： 点C是 的中点， ，O(0,0)，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解： ， ，
∴ ，
点C是 的中点，
∴ ，
点C， 在双曲线 上，
∴ ，
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∴ ，
反比例函数解析式为 ；
由 知， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：如图，由；（2）知，直线 的解析式为 ，
设点 ，
由（2）知， ， ，
∴ ，
∵ 轴交双曲线 于F，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 最大，最大值为 ．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立
与m的函数关系式．
3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，
与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线 的解析式；
(3)点M在射线 上，是否存在点M，使 的面积是 的面积的 ？若存在，求出点M的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3)存在，点M的坐标为 或
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用
数形结合的思想解决问题是关键．
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（1）分别将 和 代入直线 ，即可求出点B、点C的坐标；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求出 ，再设点 的坐标为 ，进而表示出 ，再根据 的
面积是 的面积的 ，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 直线 与x轴、y轴分别交于点B、C，
令 ，则 ，解得： ，
令 ，则 ，
， ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得： ，
即直线 的解析式为 ；
（3）解：存在，理由如下：
， ，
，
点M在射线 上，
设点 的坐标为 ，
，
的面积是 的面积的 ，
，
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解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
点M的坐标为 或 ．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点
， ，抛物线 为常数）经过点 且交 轴于 两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把 ， 代入函数 中，可求得点 ， ，将点D坐标代入函数
，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为 ，因此 轴， ，过点D作 于
点E，则 ，根据三角形的面积公式可求出 ；把 代入函数 中，
求得A(−2,0)，因此 ，再根据 即可解答．
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【详解】（1）解：把 代入函数 中，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入函数 中，得 ，
∴ ，
∵抛物线 为常数）经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线表示的函数解析式为 ；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为 ，
∴顶点P的坐标为 ，
∵ ，
∴ 轴， ，
过点D作 于点E，则 ，
∴ ；
把 代入函数 中，得 ，
解得 ， ，
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∴A(−2,0)， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ．
5．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，点 为(0,4)，点 为 ，连接 ．
提出问题：
（1）如图2，以 为边在 右侧构成正方形 ，且正方形 的边与 轴相交于点 ，用含 的
代数式表示此时点 的坐标；
问题探究：
（2）如图3，以 为对角线构成正方形 ，且正方形 的边与 轴相交于点 ，当 时，
求线段 的值；
问题深化：
（3）若以 为边在 右侧构成正方形 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，令 的面积
为 ，求 关于 的函数关系式．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）证明 ，得到 ，求出 即可；
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（2）过点 分别作 轴于 轴于点 ，求出 ， ，证明
，易证四边形 是正方形，设 ，则 ，利用勾股定理x的值，
再证明 ，即可解答；
（3）分 和 两种情况讨论，当 时，如答23—2图，过点 作 轴于点 ，作 交
的延长线于点 ．证明 ，得到 ，再证明 ，得
到 ，易得四边形 是正方形，推出 ，即可得出结果，当
时，如答23—3图，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，同理解答即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ，
；
（2）如答23—1图，过点 分别作 轴于 轴于点 ，
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在 中， ，
，
四边形 是正方形，
设 ，则 ，
（舍去）．
，
，
；
（3）①当 时，如答23—2图，过点 作 轴于点 ，作 交 的延长线于点 ．
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，
，
，
，
四边形 是正方形，
；
②当 时，如答23—3图，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，
同①得 ，
四边形 是正方形，
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综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查四边形综合题、坐标与图形、正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定
理等知识，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形
解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
6．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数 的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线
经过A，C两点，连接 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得 ?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3)如图2，将 沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为 )， ，
分别交线段 于点E，F，当 与 的面积相等时，请直接写出 与 重叠部分
的面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）当 时， ，即 ，当 时， ，可求 ，将 ，
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代入 得， ，可求 ，进而可得 ；
（2）如图1，作 ，使 与 关于 对称，直线 与 轴交于点 ，则 ，当 时，
，可求 或 ，即 ，待定系数法求直线 的解析式为 ，联立
，计算可求 ；
（3）由题意知，当 与 的面积相等时， 与 的面积相等，则
，同理（1），直线 的解析式为 ，设 ，其中 ，由平移
可得 ，直线 的解析式为 ，同理，直线 的解析式为 ，联立
，可求 ，则 ， ，可求满足要求的解
为 ，则 ， ， ， ， ， ，当 时， ，
即 ， ，根据 与 重叠部分的面积为 ，计算求解即
可．
【详解】（1）解：当 时， ，即 ，
当 时， ，
解得， ，
∴ ，
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将 ， 代入 得， ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：如图1，作 ，使 与 关于 对称，直线 与 轴交于点 ，
∴ ，
当 时， ，
解得， 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入得 ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
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解得， 或 ，
∴ ，
∴存在， ；
（3）解：由题意知，当 与 的面积相等时， 与 的面积相等，
∴ ，
同理（1），直线 的解析式为 ，
设 ，其中 ，
由平移可得 ，设直线 的解析式为 ，
将 ，代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
同理，直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
∴ ， ， ， ， ， ，
∵ ，
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∴ 轴，
当 时， ，即 ，
∴ ，
∴ 与 重叠部分的面积为 ，
∴ 与 重叠部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合
等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合是
解题的关键．
7．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点C在原点O处，已知点 ， ，连接 ，E
是 上一动点(不与点C，D 重合)，过点E作 交 于点 F，过点 E作 交 于G，
连接 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)设 ，用含a的式子表示 的面积，并求出 面积的最大值；
(3)如图2，设 与 交于点 M，连接 ，求线段 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，最大值为 ；
(3)
【分析】（1）先证明 ， ，从而可得结论；
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（2）证明 ，可得 ，证明 ，可得 ，利用
，再进一步求解即可；
（3）如图，由（2）得： ， ，证明 ，可得
， ；即 为定点，当 时， 最
小，此时 ，如图，当 重合时， ，此时 最大，且 ，再进一步解答即
可．
【详解】（1）证明：∵矩形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ 有最大值，
当 时，最大值为 ；
（3）解：如图，
由（2）得： ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；即 为定点，
当 时， 最小，此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
如图，当 重合时， ，此时 最大，且 ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
二次函数的性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
83
