文档内容
2025 年广西初中学业水平考试
数学
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草
稿纸上作答无效．
3．不能使用计算器．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的
四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
1．5的相反数是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
2．在第 个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了
手抄报评比，其中九年级6个班得分为： ， ， ， ， ， ，则这组数据的众数为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设
计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示
为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水， ，都加入c克水后，下列
式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知一次函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
8．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段 的
长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
9．生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量 随时间 的变
化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
10．因式分解： （ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共3页11．已知 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C．20 D．25
12．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” 的所有线段均与 轴平行或
垂直，且满足 ，点 ， ， ， 均在双曲线 的一支上．若点A
的坐标为 ，则第三级阶梯的高 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13． ．
14．写出一个使分式 有意义的 的值，可以是 ．
15．从 三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为 ．
16．如图，点 在 同侧， ，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
试卷第3页，共3页17．（ ）计算：
（ ）化简：
18．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立
平面直角坐标系，再分别以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于 两
点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
(1)写出 两点的坐标；
(2)求叶瓣①的周长；（结果保留 ）
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
19．某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达
能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的
百分比，结果如图 ，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图 ．
(1)在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？
(2)按照图 的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．
20．如图，已知 是 的直径，点 在 上， ．
试卷第4页，共3页(1)求证： ；
(2)求 的度数．
21．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受
高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲
游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路
段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？
(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返
回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段
的单程高速费原价分别是多少元．
22．综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，
遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 与遮阳伞投影 的平面图如图2所示， 在 上，
， ， ， ， ，由于场地限制，参加义卖的同
学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中， 也随之移动（ 始终在 边所在直线
上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如
图3为 移动到 落在 上的情形．
试卷第5页，共3页【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 的位置．
设遮阳区的面积为 ， 从初始时向右移动的距离为 ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的 与 的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至 与 重合，求该过程中 关于 的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， 向右移动了多少？（直接写出结果）
23．【平行六边形】如图1，在凸六边形 中，满足
，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中 与
， 与 ， 与 叫做“主对边”； 和 ， 和 ， 和 叫做
“主对角”； 叫做“主对角线”．
(1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相
_________
等
②平行六边形的三组主对角分别相
_________
等
③平行六边形的三条主对角线互相
_________
平分
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
试卷第6页，共3页(2)如图2，已知平行六边形 满足 ． 求证：平行六边形
是菱六边形：
(3)如图3是一张边长为 的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六
边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
试卷第7页，共3页1．A
【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义，数值相等但符号相反的两个数互为
相反数，即可求解．
【详解】解：5的相反数是 ．
故选：A
2．C
【分析】本题主要考查了求众数．根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据解
答即可．
【详解】解：将数据从小到大排列为： ， ， ， ， ， ．
统计各数值出现的次数： 出现1次， 出现1次， 出现3次， 出现1次．
其中9出现的次数最多，
因此这组数据的众数为 ，
故选：C．
3．D
【分析】本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图．
根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断．
【详解】解：它的俯视图是
故选：D
4．C
【分析】本题考查了科学记数法，将13000000用科学记数法表示，需满足形式 （其
中 ， 为整数）．
【详解】解：确定 和 ：将13000000的小数点从末尾向左移动 位，得到 ，
此时 ，
故科学记数法为 ．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的
正数 ，不等式方向不变，即可求解．
答案第1页，共2页【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为 克和 克，
∴加入 克水后，两杯水的质量变为 克和 克，
∵ ，
∴ ，
故选：A
6．B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ．
故选：B
7．D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点 代入一次函数解析
式，解方程即可求出b的值．
【详解】解：∵ 一次函数 的图象经过点 ，
∴ 将 ， 代入解析式，得：
，
解得： ，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：测量线段 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距
离），依据的数学原理是垂线段最短．
故选：A
9．B
【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解
题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论．
【详解】解：A. 第5天的种群数量在 之间，选项说法错误，故不符合题意；
B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意；
答案第2页，共2页C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意；
D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意；
故选：B．
10．A
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解： ．
故选：A
11．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关
系解答即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ．
故选：C
12．B
【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的
解析式．
把点 的坐标代入 ，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点 和点 的
横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可．
【详解】解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴双曲线 ，
∵“双曲线阶梯” 的所有线段均与 轴平行或垂直，且 ，
∴点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
∴ ，
故选： ．
答案第3页，共2页13．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握
二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
14． （答案不唯一）
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于 ，求出 的取
值范围，进而写出符合条件的一个 的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：要使分式 有意义，则 ，
∴ ，
∴ 的值可以是 ，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，
掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有 种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有 种，
∴选出的两个数字之和是偶数的概率为 ，
故答案为： ．
16． ##
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点 作
垂线交于点 ，先证明 ，得到 ，证明 在同一线上，根
答案第4页，共2页据勾股定理得到 ，最后通过线段和和差即可求．
【详解】解：过点 作 垂线交于点 ，即
，即 是 的垂直平分线，
∵ ，
在同一线上，
，
故答案为： ．
17．（ ） ；（ ）
【分析】（ ）先算乘法，再进行加法运算即可；
（ ）先算乘法，再合并同类项即可；
本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的
关键．
【详解】解：（ ）原式
；
（ ）原式
．
18．(1)
答案第5页，共2页(2)
(3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转 得到
【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转：（1）先证明四边形 是正
方形即可得到坐标；（2）根据 ，算出 圆的周长即可得到叶瓣的周长；（3）
利用旋转即可．
【详解】（1） 以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于 两点
是正方形
（2） 原点 ， 为圆心、以 为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：
（3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转 得到．
19．(1)口头表达能力和仪容仪表
(2)推荐乙同学参加
【分析】（ ）根据条形统计图分析判断即可；
（ ）求出甲、乙同学的平均成绩，进而即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，加权平均数，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，甲在口头表达能力和仪容仪表方面得分高于乙，
∴甲比乙更具优势的有口头表达能力和仪容仪表；
（2）解：甲的平均成绩为 分，
乙的平均成绩为 分，
∵ ，
∴推荐乙同学参加．
20．(1)详见解析
(2)
答案第6页，共2页【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，
熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用 证明全等即可；
（2）根据 ，求出 ，再利用全等求出 ，最后利用等边对等角即可求．
【详解】（1）证明： 的半径为 ，
，
， ，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
21．(1)
(2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是 元和 元
【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组：
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）此次行程高速费原价总共为： 元
实际支付高速费用： 元
（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别 元和 元
答案第7页，共2页解得：
故此行程中 市与 市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是 元和
元．
22．（1） 随 的增大而增大；（2） ， ；（3） ；
（4）
【分析】（1）根据矩形的性质得 ，根据平行四边形的面积公式得
，然后分别求出当 时，当 时， 关于 的解析式，即
可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得答案；
（3）当 时，如图，设 向右移动 后得到 ，设 交 于点
， 交 于点 ， 交 于点 ，则 ， ，
此时遮阳区的面积为六边形 的面积，推出 ，
，得 ， ，再根据
即可得出结论；
（4）分别确定：当 时，当 时，当 时，各个范围内 的最大值，即
可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，四边形 是平行四边形， ，
， ， 在 边所在直线 上，
∴ ， ， ，
又∵如图2， 在 上， ， ，
∴ ，
答案第8页，共2页，
当 时，如图，设 交 于点 ， 交 于点 ，则 ，
此时遮阳区的面积为 的面积，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 随 的增大而增大， 的值从 增大到 ；
当 时，如图，设 交 于点 ，则 ， ， ，
此时遮阳区的面积为四边形 的面积，
∵ ，
∴四边形 为梯形，
∴ ，
∴当 时， 随 的增大而增大， 的值从 增大到 ；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大而增大；
（2）如图3，此时点 落在 上，则 ，
由（1）知：当 时， ；
∴图3情形时， ， ；
（3）当 时，如图，设 向右移动 后得到 ，设 交 于点
答案第9页，共2页， 交 于点 ， 交 于点 ，则 ， ，
此时遮阳区的面积为六边形 的面积，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴从图3情形起右移至 与 重合，该过程中 关于 的解析式为
；
（4）当 时， ，
当 时， 的最大值为： ；
当 时， ，
当 时， 的最大值为： ；
当 时， ，
∵
答案第10页，共2页∴当 时， 的最大值为： ，
综上所述，当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴当遮阳区面积最大时， 向右移动了 ．
【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，
列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的
思想解决问题是解题的关键．
23．(1)错误；正确；错误
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：
（1）连接 ，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明 为
平行四边形，再证明 为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形
得到 ，设 ，根据
解得 ，代入即可．
【详解】（1）解：连接 ， 交于点 ，由图可知：
① 平行于 ，只能知道 ，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边
分别相等是错误的；
② 平行于 ， ，同理可得 ，其他对角同理，故平行六边
形的三组主对角分别相等是正确的；
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的．
答案第11页，共2页（2）证明：过点 作 平行且相等于 ，连接 ，
则平行四边形 是平行四边形，
平行于 ， ，
在平行六边形 中， 平行于 ， ，
平行且相等于 ，
为平行四边形，
平行于 ， ，
在平行六边形 中， 平行于 ， 平行于 ，
平行于 ， 平行于 ，
为平行四边形，
，
，
，
，
平行六边形 是菱六边形．
（3）解：设三角形纸片为 ，
裁剪后的纸片为菱六边形 ，
平行于 ， 平行于 ， ，
，
，
设 ，
则 ，
，
，
答案第12页，共2页，
解得： ，
．
答案第13页，共2页
