文档内容
机密★启用前
浙江省 2025 年初中学业水平考试
数学
姓名：________ 准考证号：________ 座位号：________
考生注意：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120
分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填
写在试题卷和答题纸规定的位置上．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范
作答，在本试题卷上的作答一律无效．
4．本次考试不允许使用计算器，设有近似计算要求的试题，结果都不能用近似
数表示．
5．本试题卷中“连接”与“连结”同义．
选择题部分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选
项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，直线 被直线c所截．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页3．国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策
减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数
2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．已知反比例函数 ．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
6．如图，五边形 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点
的坐标分别为 ．若 的长为3，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
试卷第2页，共3页7．手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材
料用量如下表．
材料
彩色纸（张） 细木条（捆）
类别
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手
工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
9．如图，在 中， 是斜边 上的中线，以点C为圆心， 长为半
径作弧，与 的另一个交点为点E．若 ，则 的长为（ ）
试卷第3页，共3页A． B． C． D．
10．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图
1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路 向目的地B处运动．设
为x（单位： ） 为y（单位： ）．如图2，y关于x的函数图象与
y轴交于点C，最低点 ，且经过 和 两点．下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C．点C的纵坐标为240 D．点 在该函数图象上
非选择题部分
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． ．
12．不等式组 的解集是 ．
13．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．
如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，
探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为 ，从点A
观测点P的仰角为 ，则A处到B处的距离为 ．
试卷第4页，共3页14．现有六张分别标有数字 的卡片，其中标有数字 的卡片在甲手中，标有
数字 的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是
．
15．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方
展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知 ，则m的值为
16．如图，矩形 内接于 是 上一点，连接 分别交 于点 ．
若 ，则 的直径为 ．
试卷第5页，共3页三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
17．化简求值： ，其中 ．
18．解分式方程： ．
19．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在
对角线 上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足 ，求“机翼角” 的度数．
20．2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范
能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10
名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
(1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： ，求该班获奖选手成
绩的众数与中位数．
(2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
试卷第6页，共3页21．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，
则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
因为 ，
所以 ，
即 ．
因为 比较小，
将 忽略不计，
所以 ，
即 ，
得 ，
故 ．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求 的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．如图，在 中， ，点O在边 上，以点O为圆心， 长为半径的半
试卷第7页，共3页圆，交 于点D，与 相切于点E，连接
(1)求证： ．
(2)若 ，求四边形 的面积．
23．已知抛物线 （a为常数）经过点 ．
(1)求a的值．
(2)过点 与x轴平行的直线交抛物线于 两点，且点B为线段 的中点，求t的值．
(3)设 ，抛物线的一段 夹在两条均与x轴平行的直线 之
间．若直线 之间的距离为16，求 的最大值．
24．在菱形 中， ．
(1)如图1，求 的值．
(2)如图2，E是 延长线上的一点，连接 ，作 与 关于直线 对称，
交射线 于点P，连接 ．
①当 时，求 的长．
②求 的最小值．
试卷第8页，共3页1．A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解： 的相反数是
故选A．
2．B
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求
出每个角的度数，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ；
故选B．
3．B
【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成 的形式，
其中 ， 为整数，据此进行作答即可．
【详解】解： ，
故选 ：B．
4．A
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，俯视图为：
故选A．
5．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数
的性质，当 时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大．
【详解】解：反比例函数 中， ，因此其图象的两支分布在第二、四象限，
对应选项C正确，选项A错误．
当 时，在第二象限（ ）和第四象限（ ）内， 随 的增大而增大．但选项
D未明确“在每个象限内”，若 跨象限变化（如从负数到正数）， 会减小，因此选项
答案第1页，共2页D的描述不准确．选项B“ 随 的增大而减小”与 时的性质矛盾，错误．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性
质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据位似图形的性质得到 ，证明 ，即可求解．
【详解】解：∵五边形 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点
的坐标分别为
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条
用量的二元一次方程组．
【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：
；
每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为： ；
故方程组为： ；
故选C．
8．D
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类
的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
答案第2页，共2页【详解】解：总销售量为： （册），
∴科技类图书销售了 （册），
∴文艺类图书销售了 （册），
∴文艺类图书销售占比为： ，
∴其他类图书销售占比： ；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
9．B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到 ，
进而得到 ，三角形的外角得到 的度数，作图可知 ，等边对
等角求出 的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵ ， 是斜边 上的中线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故选B．
10．D
【分析】作 ，当 时，动点 运动到点 的位置，得到 ，当点 运
动到点 的时候， 最小为 ， ，勾股定理求出 的值，判断A；当 时，
点 运动到点 ，根据三线合一，得到 ，进而求出 的值，判断B；连接 ，勾
股定理求出 的长，确定 的纵坐标，判断C，求出 时，点 的位置，再利用勾股
答案第3页，共2页定理求出 ，判断D，即可．
【详解】解：如图，作 ，当 时，动点 运动到点 的位置，则由题意和图象
可知 ，当点 运动到点 的时候， 最小，即： ， ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，故选项A错误；
∴ ， ，
当 时，点 运动到点 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选项B错误；
∴当 ，即点 在 点时，
∴ ；
∴点 的纵坐标为 ；故选项C错误；
当 时，点 运动到点 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在该函数图象上，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌
握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点 的位置，是解题的关键．
11．2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
【详解】解： ，
答案第4页，共2页故答案为：2．
12．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是
解题的关键．
先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【详解】解： ，
由①得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
13．
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的
关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算
公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种，
∴甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
故答案为：
15．
答案第5页，共2页【分析】本题考查了整式规律探究，根据 展开，即可
求解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；
根据题意证出 ，得到 ，设 ，则 ，表
示出 ， ，连接 ，在 中，求出 ，在
和 中，表示出 ， ，列式计算出 ，再利用
勾股定理计算直径即可．
【详解】解：∵ 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴
∴ ，
在 中， ，
连接 ，
答案第6页，共2页∵ 为直径，
∴ ，
在 中， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴解得： ，
∴ ，
的直径为： ，
故答案为： ．
17． ，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
答案第7页，共2页18．
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化
为1的步骤解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和
定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得 ，据此可利用 证明
；
（2）由正方形的性质可得 ，再由等边对等角和三角形内角和定
理求出 的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答案第8页，共2页20．(1)众数为 ，中位数为
(2)全县九年级参赛选手获奖的总人数为 人．
【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体的知识，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为： ，
∵ 出现了 次，且次数最多，
∴众数为 ，
第 个数据为 ，
∴中位数为 ；
（2）解：10个班级获奖人数平均数为： ，
∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为： （人），
答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为 人．
21．（1） ；（2）用①的形式得出的 的近似值的精确度更高，理由见解析
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）设 ，其中 ，则仿照题意可得 ， 比较小，将 忽略
不计，则 ，据此可得 ，则 ；
（2）可求出 ，据此可得结论．
【详解】解：（1）设 ，其中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 比较小，将 忽略不计，
∴ ，
∴ ，
答案第9页，共2页∴ ；
（2）用①的形式得出的 的近似值的精确度更高，理由如下；
∵ ， ，
∴ ，
∴用①的形式得出的 的近似值的精确度更高．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的
判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据等边对等角导角得到 ，再结合圆的切线性质得到 ，
即可证明垂直；
（2）先得到 是等边三角形，则 ，解 求出 ，根据
，求出 ，再由梯形面积公式求解．
【详解】（1）证明：由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵以点O为圆心， 长为半径的半圆与 相切于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
答案第10页，共2页∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为： ．
23．(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图
象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知， 关于对称轴对称， 的纵坐标均为 ，中点得
到 ，对称性得到 ，求出 ，再代入函数解析式求出 的值即可；
（3）根据题意，易得要使 最大，则， 为一条直线与抛物线的交点， 和
关于对称轴对称，根据直线 之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物
线的顶点 ，即： 时， 最大，此时另一条直线的解析式为 ，
令 ，求出 的值，进而确定 的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，的： ，
解得： ；
（2）由（1）知： ，
答案第11页，共2页∴对称轴为直线 ，
∵点 在 轴上，过点 与x轴平行的直线交抛物线于 两点，
∴ 关于对称轴对称， 的纵坐标均为 ，
又∵点B为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 代入 ，得： ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标 ，
当抛物线的一段 夹在两条均与x轴平行的直线 之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使 最大，则， 为一条直线与抛物线的交点， 和 关于对称轴对称，
又∵直线 之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点 ，即： 时， 最大，此时另一条直线
的解析式为 ，如图：
答案第12页，共2页∴当 时，解得： ，
即： ，
∴ 的最大值为： ．
24．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）先根据菱形的性质可得 ，再根据勾股定理可得
，然后根据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接 ，设 交于点 ，同理求出 ，则 ；证明 ，得
到 ，由轴对称的性质可得 ，则 ，据此可得
，即可得到 ；
②由勾股定理得 ，根据 ，可求出
，根据 ，可推出当 有最小值时，
答案第13页，共2页有最小值，即此时 有最大值，即当 有最小值时，
有最小值；过点B作 于H， 于T，由等面积法可得 ，
则由轴对称的性质可得 ，由勾股定理得 ，则当 有最小值
时， 有最小值，由垂线段最短可知 ，故当点P与点T重合时， 有最小
值，最小值为 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1，设 交于点 ，
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①如图所示，连接 ，设 交于点 ，
答案第14页，共2页∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②在 中，由勾股定理得
∵ ，
∴
，
答案第15页，共2页∵ ，
∴要使 的值最小，则 要最大，
∴ 要有最小值，
又∵ 的值随着 的值增大而增大，
∴ 的值随着 的值增大而增大，
∴当 有最小值时， 有最小值，即此时 有最大值，
∴当 有最小值时， 有最小值；
如图所示，过点B作 于H， 于T，
∵ ，
∴ ，
∴由轴对称的性质可得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴当 有最小值时， 有最小值，
由垂线段最短可知 ，
答案第16页，共2页∴当点P与点T重合时， 有最小值，最小值为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等
角对等边等等，解（2）的关键在于把求出 的最小值转换成求出 的最小值，进
而转换成求出 的最小值．
答案第17页，共2页
