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数学试卷
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡
上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确
选项．
1． （ ）
A． B． C． D．3
2．根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产
业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，三根木条a，b，c相交成 ， ，固定木条b，c，将木条a绕点
A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个多边形纸片的内角和为 ，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边
形的边数为（ ）
试卷第1页，共3页A．12 B．11 C．10 D．9
7．如图，四边形 内接于 ， ，连接 ，若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
8．习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、
培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族
自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民
自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的
是（ ）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
9．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头M向外喷水，
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的
试卷第2页，共3页高度 与水平距离 之间的关系式是 ，则水流喷出的最大高
度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点．动点P从点
A出发，沿边 方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，
的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长
为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．因式分解： ．
12．方程 的解是 ．
13．已知点 ， 在反比例函数 的图象上，如果 ，那么
（请写出一个符合条件的k值）．
14．如图，把平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处， 与 相
交于点E，此时 恰为等边三角形．若 ，则 ．
试卷第3页，共3页15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝
制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，
小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线
．已知大、小风筝的对应边之比为 ，如果小风筝两条对角线的长分别为
和 ，那么大风筝两条对角线长的和为 ．
16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了
自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第
2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角
形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，
……，则第5个图形中共有 个正方形．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．
17．计算： ．
试卷第4页，共3页18．解不等式组：
19．化简： ．
20．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其
形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造
法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五
举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 表示，点O是 所在圆的圆
心， 是月洞门的横跨， 是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月
洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为 ，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段 的垂直平分线 ，垂足为D；
②在射线 上截取 ；
③连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点O；
④以点O为圆心， 的长为半径作 ．
则 就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不
写作法）．
21．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”
三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若
指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
试卷第5页，共3页(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______；
(2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画
树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
22．如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座
墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸
之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的
变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校
同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高
度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在
保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得． ， ，其中
（测角仪的高度）， ，求长城第一墩的高度 （结果精
确到0.1m）．（参考数据： ， ， ， ，
， ）
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．
23．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的
射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
试卷第6页，共3页队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值： _______， _______；
(2)_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的
对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）．
24．如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交反比例函数 的图象于
点 ．将一次函数 的图象向下平移 个单位长度，所得的图象交x轴
于点C．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)当 的面积为3时，求m的值．
25．如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径 与弦 相
交于点F、点D是 延长线上的一点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若四边形 是平行四边形， ．求 的长．
试卷第7页，共3页26．四边形 是正方形，点E是边 上一动点（点D除外）， 是直角三角形，
，点G在 的延长线上．
(1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边 上时，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形 内部时， 的延长线与 的延
长线交于点P，如果 ，写出 和 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，写出 和 的数量关系，并说明理由．
27．如图1，抛物线 分别与x轴，y轴交于A， 两点，M
为 的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 ，过点M作 的垂线，交 于点C，交抛物线于点D，连接 ，求
的面积；
(3)点E为线段 上一动点（点A除外），将线段 绕点O顺时针旋转 得到 ．
①当 时，请在图2中画出线段 后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线
上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点， ，连接 ，当点E运动时，求 的最
小值．
试卷第8页，共3页试卷第9页，共3页1．D
【分析】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并
用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：D．
2．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法，
合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意，
B、 ，故此选项不符合题意，
C、 ，故此选项不符合题意，
D、 ，故此选项符合题意，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转
后 的度数，然后用旋转前 的度数减去旋转后 的度数即可得到木条 旋转的度数．
根据平行线的性质求出旋转后 的度数是解题的关键．
【详解】解：如图2所示，
，
旋转后的 ，
要使木条 与 平行，木条 绕点 顺时针旋转的度数可以是 ．
故选：A．
答案第1页，共2页5．B
【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程
的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实
数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．根据方程有两
个实数根得到 ，然后解关于 的不等式即可．
【详解】解：对于方程 ，
其根的判别式为： ，
∵方程有两个实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为 ，根据内角和可解得 ，
按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知
多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为 ，
则可得 ，
解得 ，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为 ，
故选：A．
7．C
【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到
，根据 得到 ，即可得到 的度数．关键是根据圆内
接四边形的性质得到 解答．
【详解】解：由圆内接四边形的性质可知： ，
答案第2页，共2页，
．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查条形统计图，根据条形统计图逐项判断即可．从图形中读取有效信息是
解题关键．
【详解】解：由统计图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意；
2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；
2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本，
，
年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误，符合题意；
2016年至2024年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故D正确，不符合题意．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大
值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
【详解】解： ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ，即2.75米，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动
轨迹可得 的面积先增大，再减小，当点P运动到点 时， 的面积最大，此时
的面积为 ，即可求得 ，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动
到点 时， 的面积最大是解题的关键．
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边 方向匀速运动过程中，
的面积先增大，再减小，
当点P运动到点 时， 的面积最大，
根据函数图象可得此时 的面积为 ，
答案第3页，共2页如图，
， 点D为边 的中点，等腰直角三角形 ,
，
可得 ，
当点P运动到 的中点时，如图，
， 点D为边 的中点，
，
故选：A．
11． ##
【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分
解的方法，是解题的关键．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
解得： ；
经检验 是原方程的解，
答案第4页，共2页故答案为： ．
13．1（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点 ， 在反比例函数
的图象上，且 ，得到在同一象限内 随着 的增大而减小，进而得到图
象过一，三象限，得到 ，即可．
【详解】解：∵点 ， 在反比例函数 的图象上，
又∵ ， ，
∴在同一象限内 随着 的增大而减小，
∴双曲线过一，三象限，
∴ ，
∴ （答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
14．12
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，
折叠得到 ，平行线的性质，得到 ，进而得到 ，
等边三角形的性质，结合三角形的外角推出 ，进而得到 ，
再根据含30度角的直角三角形的性质，得到 即可．
【详解】解：∵折叠，
∴ ，
∵平行四边形纸片 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
答案第5页，共2页∴ ；
故答案为：12
15．195
【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为 ，即可
解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解： 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之
比为 ，
大风筝和小风筝相似，相似比为 ，
大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长 ，
大风筝两条对角线的长分别为 和 ，
大风筝两条对角线长的和为 ，
故答案为：195．
16．31
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有
个正方形，第3个图形有 个正方形，依次类推求出第5个图形中小正
方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有 个正方形，
第3个图形有 个正方形，
∴第5个图形中共有 个正方形，
故答案为：31．
17．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二
次根式即可．
【详解】解：原式
．
答案第6页，共2页18．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集．正确
求出每一个不等式解集是基础，熟知确定不等式组解集的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式组： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得 ，
不等式组的解集为 ．
19．
【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法
运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20．图见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关
键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下， 即为所求；
答案第7页，共2页21．(1)
(2)
【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，
是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ；
故答案为： ；
（2）列表：
第二
次 红 白 蓝
第一次
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
22．长城第一墩的高度 为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．设
答案第8页，共2页，分别解 ，求出 的长，再根据线段的和差关系列出方
程求出 的值，再利用 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
答：长城第一墩的高度 为 ．
23．(1)
(2)乙
(3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相
关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键：
（1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最
多的为众数，求出 的值即可；
（2）根据方差判断稳定性即可；
（3）根据方差作决策即可．
【详解】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为： 和 ，
∴ ；
甲中数据出现次数最多的是 ，故 ；
故答案为： ；
（2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙；
答案第9页，共2页（3）小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队
员参赛．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一
次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可；
（1）由题意得：点 在一次函数 的图象上，可求出 ，即可求解；
（2）对于一次函数 ，令 求出 ；一次函数 的图象向下平移
个单位长度后的解析式为： ；求出 ，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ；
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：对于一次函数 ，令 ，则 ；
∴ ；
一次函数 的图象向下平移 个单位长度后的解析式为： ；
对于一次函数 ，令 ，则 ；
∴ ；
∴ ；
解得：
答案第10页，共2页25．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判
定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接 ，圆周角定理得到 ，推出 ，等边对等角，推出
，直径得到 ，进而得到 ，等量代换，得到
，即 ，即可得证；
（2）平行四边形的性质得到 ，根据 ，得到
，求出 的长，证明 是菱形，得到 为等边三角形，进而得到
，解 ，求出 的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
， ，
．
，
．
是 的直径，
，即 ．
，
，即 ．
为 的半径，
是 的切线．
（2）解：如图2，
答案第11页，共2页四边形 是平行四边形，
．
又 ，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴ ．
在 中， ．
26．(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，证明 ，即可得出结论；
（2）根据正方形的性质，证明 ，即可得出结论；
（3）作 ，得到 ，平行线分线段成比例得到 ，进而得到 为
的中位线，得到 ，根据 ，得到 ，进而得到 ，
勾股定理得到 ，再根据 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵正方形 ，
∴ ，
∵ 是直角三角形， ，
∴ ，
答案第12页，共2页当点E与点A重合时，则： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵正方形 ，
∴ ，
∵点G在 的延长线上， 的延长线与 的延长线交于点P，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
由（2）可知： ，
∴ ， ，
作 于点 ，则： ，
∴ ，
答案第13页，共2页∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角
形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助
线构造特殊图形，是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)① ，在抛物线上②
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点 的坐标，进而得到点 的坐标，求出直线 的解析式，进而求出点 的坐
标，求出点 的坐标，根据 的面积 进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接 ，作 于点 ，证明 ，得到
， ，进而得到 为等腰直角三角形，求出 点坐
标，将 点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点 是否在抛物线上即可；
答案第14页，共2页②连接 并延长，交 轴于点 ，连接 ，作 于点 ，斜边上的中
线得到 ，根据 ，得到当 三点共线时， 最小，同①
可知， ，得到点 在射线 上运动，进而得到当 时，即
与点 重合时， 最小，此时 最小为 ，易得 为等腰直角三角形，
求出 的长，进而求出 的长，易得 为等腰直角三角形，求出 的长，根据
最小为 ，计算即可．
【详解】（1）解：把 ，代入 ，得：
，
解得： ，
∴ ；
（2）当 时，则： ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 ，代入，得： ，
∴ ，
∵点M作 的垂线，交 于点C，交抛物线于点D，
∴ ， ，
∴ ，
答案第15页，共2页∴ 的面积 ；
（3）①由题意，作图如下：
连接 ，作 于点 ，
由（2）可知： ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
对于 ，当 时， ，
∴点 在抛物线上；
②连接 并延长，交 轴于点 ，连接 ，作 于点 ，如图，
答案第16页，共2页∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 最小，
同①可得， ，
∴点 在射线 上运动，
∴当 时，即 与点 重合时， 最小，此时 最小为 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全
等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知
识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键．
答案第17页，共2页
