文档内容
凉山州 2022 年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试试题
数 学
主意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签
字笔填写在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴
是否正确．
2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米
黑色墨迹签字笔书写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书写
的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3.考试结束后，由监考教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回．
4.本试卷共6页，分为A卷（100分）、B卷（50分），全卷满分150分，考试
时间120分钟A卷又分为第I卷和第Ⅱ卷．
A卷（共100分）
第I卷 选择题（共48分）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项
中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. 的相反数是（ ）
A. 2022 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的意义即只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答．
【详解】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫主视图）即可得．
【详解】解：这个几何体的主视图是
故选：C．
【点睛】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键．
3. 我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个
数用科学记数法表示为（ ）
A. 8.0917×106 B. 8.0917×105 C. 8.0917×104 D.
8.0917×103
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，
这种记数的方法叫做科学记数法，
则 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成 的形式，
其中 ， 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定 的值
时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
4. 如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得 ，再根据对顶角相等
即可得．
【详解】解：如图， ，
，
由对顶角相等得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5. 化简： ＝（ ）
A. ±2 B. －2 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
6. 分式 有意义的条件是（ ）
A. x＝－3 B. x≠－3 C. x≠3 D. x≠0
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为0得： ，
解得 ，
即分式 有意义的条件是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
7. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 5，5，
10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
C、 ，能组成三角形，此项符合题意；
D、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
8. 一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平均数的公式可得 的值，再根据平均数的公式即可得．
【详解】解： 一组数据4、5、6、 、 的平均数为5，
，
解得 ，
则 、 的平均数为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了求平均数，熟记平均数的计算公式是解题关键．
9. 家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心
角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 米2 B. 米2 C. 米2 D.
米2
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，先根据圆周角定理可得 是 的直径，从而可得 米，再解
直角三角形可得 米，然后利用扇形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
，
是 的直径，
米，
又 ，
，
（米），
则扇形部件的面积为 （米2），
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆
周角定理和扇形的面积公式是解题关键．
学科网（北京）股份有限公司10. 一次函数y＝3x＋b（b≥0） 的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：一次函数 ，
∵
∴图象一定经过一、三象限，
∴当 时，函数图象一定经过一、二、三象限，
当 时，函数图象经过一、三象限，
∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解
题关键．
11. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， ，DE＝
6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行得到 ，根据相似的性质得出 ，再结合
，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
【详解】解： 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE BC，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性
质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
12. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴
的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A. a＞0
B. a＋b＝3
C. 抛物线经过点（－1，0）
D. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且
对称轴在y轴的左侧可知 ，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知 ，
解得 ，故该选项不符合题意；
C、若抛物线经过点（－1，0），由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0），可得
对称轴 ，但对称轴在y轴的左侧，则抛物线与 轴的另一个交点在（－1，
0）左侧，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c
（a≤0）与直线 的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和
点（0，－3）， ，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y
＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线 的有两个不同的交点，故该选项不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的
关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问
题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共52分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 计算：－12＋|－2023|＝_______．
【答案】2022
【解析】
【分析】先计算有理数的乘方、化简绝对值，再计算加法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
14. 分解因式： =______．
【答案】a（b+1）（b﹣1）．
【解析】
【详解】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
15. 如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若
△OAB的面积为3，则k＝_______．
【答案】6
【解析】
【分析】设点 的坐标为 ，则 ，先利用三角形的面
积公式可得 ，再将点 代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】解：由题意，设点 的坐标为 ，
轴于点 ，
学科网（北京）股份有限公司，
的面积为3，
，
解得 ，
将点 代入 得： ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用
是解题关键．
16. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为
α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD
＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得 ，从而可得
，再根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质可
得 的长，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，由题意得： ，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
在 和 中， ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形
是解题关键．
17. 如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD＝5，则⊙O的半径
为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定
义可推出sinA= ,即可求得sinA= ,然后由圆周角定理得∠A=∠D，，即可得 ，
即可求解．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：连接AC，如图，
∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA= ,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD= ,
∴sinA=sinD=
∴ ，
∴AB=
【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、
∠A=∠D是解题的关键．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解： ，
，
或 ，
或 ，
故方程的解为 ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因
式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
19. 先化简，再求值： ，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
【答案】 ，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．
【解析】
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定
的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
，
，
又 为满足 的整数，
或 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
综上，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
20. 为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建
了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、
演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进
行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：
学科网（北京）股份有限公司（1）该班的总人数为 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团
如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选
出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【答案】（1）50，图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用参加声乐社团人数除以声乐社团人数占的百分比，即可计算出全班总人数，
再用全班总人数乘以参加演讲社团人数占的百分比，即可求出参加演讲社团人数，然后补
全条形统计图即可；
（2）用画树状图法求解即可．
【小问1详解】
解：该班的总人数为：12÷24%=50（人），
参加演讲社团人数为：50×16%=8（人），
补全条形图为：
【小问2详解】
解：画树状图为：（用A表示参加美术社团、用B表示参加声乐社团，用C、C表示参加
演讲社团）
共有12种等可能的结果数，其中所抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲
社团的结果数为4，
学科网（北京）股份有限公司所以所抽取两名学生恰好都来自初三年级的概率= ，
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用画树状图法或列表法求概率，从统计图中
获取到有用的信息和掌握用画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
21. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔
尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人
员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水
平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留
根号）．
【答案】 米
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，在 和 中，分别解直角三角形求
出 的长，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
由题意得： 米， ，
，
，
在 中， 米， 米，
在 中， 米， 米，
学科网（北京）股份有限公司则 （米），
答：压折前该输电铁塔的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
22. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC
交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】（1）证 AEF≌△DEC（AAS），得 AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF
是平行四边形，然△后由直角三角形斜边中线等于△斜边的一半得证AD=BD= BC，即可由菱
形判定定理得出结论；
（2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S = =40，求得OD长，再由
菱形ADBF
菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可．
【小问1详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE
∵AF BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在 AEF和 DEB中，
△ △
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
学科网（北京）股份有限公司∵∠BAC=90°，
∵D是BC 的中点，
∴AD=BD= BC，
∴四边形ADBF是菱形；
【小问2详解】
解：连接DF交AB于O，如图
由（1）知：四边形ADBF是菱形，
∴AB⊥DF，OA= AB= ×8=4， S = =40，
菱形ADBF
∴ =40，
∴DF=10，
∴OD=5，
∵四边形ADBF是菱形，
∴O是AB的中点,
∵D是BC的中点，
∴OD是△BAC的中位线，
∴AC=2OD=2×5=10．
答：AC的长为10．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直
角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关
键．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14 的最小值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得
到答案．
【详解】∵a－b2＝4
学科网（北京）股份有限公司∴
将 代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
24. 如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，
则cos∠ACB的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】取AB中点D，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂径定理得OD⊥AB，则
OB= ，cos∠DOB= ，再证
∠ACB=∠DOB，即可解．
【详解】解：取AB中点D，如图，
学科网（北京）股份有限公司由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴OB= ，cos∠DOB= ，
∵OA=OB，
∴∠BOD= ∠AOB，
∵∠ACB= ∠AOB，
∴∠ACB=∠DOB，
∴cos∠ACB= cos∠DOB= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D，得
Rt△ODB是解题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25. 为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和
《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体
育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副
B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型
羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【答案】（1） 型羽毛球拍的单价为40元， 型羽毛球拍的单价为32元
（2）最省钱的购买方案是采购20副 型羽毛球拍，10副 型羽毛球拍；最少费用为1120
学科网（北京）股份有限公司元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设 型羽毛球拍的单价为 元， 型羽毛球拍的单价为 元，根据“购买3
副 型羽毛球拍和4副 型羽毛球拍共需248元；购买5副 型羽毛球拍和2副 型羽毛
球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；
（2）设该班采购 型羽毛球拍 副，购买的费用为 元，则采购 型羽毛球拍
副，结合（1）的结论可得 ，再根据“ 型羽毛球拍的数量不少于 型羽毛球
拍数量的2倍”求出 的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．
【小问1详解】
解：设 型羽毛球拍的单价为 元， 型羽毛球拍的单价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
答： 型羽毛球拍的单价为40元， 型羽毛球拍的单价为32元．
【小问2详解】
解：设该班采购 型羽毛球拍 副，购买的费用为 元，则采购 型羽毛球拍
副，
由（1）的结论得： ，
型羽毛球拍的数量不少于 型羽毛球拍数量的2倍，
，
解得 ，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
此时 ，
答：最省钱的购买方案是采购20副 型羽毛球拍，10副 型羽毛球拍；最少费用为1120
元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，
正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
26. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝
1 2 1 2
，xx＝
1 2
学科网（北京）股份有限公司材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；
1 2 1 2
xx＝ ．
1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 值．
的
【答案】（1） ；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即
可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将 进
行变形求解即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2
∴ ， ．
故答案为： ； ．
【小问2详解】
∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴
【小问3详解】
∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，
∵
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据
学科网（北京）股份有限公司根与系数的关系求出 或 ，是解答本题的关键．
27. 如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、
AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
【答案】（1）⊙M与x轴相切，理由见解析
（2）6 （3）y= x+
【解析】
【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；
（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设
AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再
由垂径定理得AB=2AN即可求解；
（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，
OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得
BC= ，在Rt BCD中，∠BCD=90°，由勾股△定理，求得CD=2，在Rt CPD和在
△ △
Rt MPD中，由勾股定理，求得CP= ，PD= ，从而得出点D坐标，然后用待定系
△
数法求出直线CD解析式即可．
【小问1详解】
解：⊙M与x轴相切，理由如下：
连接CM，如图，
学科网（北京）股份有限公司∵MC=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，
∴⊙M与x轴相切；
【小问2详解】
解：如图，过点M作MN⊥AB于N，
由（1）知，∠MCO=90°，
∵MN⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
∵∠CON=90°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
设AN=x，
学科网（北京）股份有限公司∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得
x2+(1+x)2=52，
解得：x=3，x=-4（不符合题意，舍去），
1 2
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
【小问3详解】
解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，
由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC= ，
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
CD= ，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=22-CP2=4-CP2，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-MP）2=52-（5-CP）2=10CP+-
CP2，
∴4-CP2=10CP-CP2，
∴CP= ，
∴PD2=4-CP2=4- = ，
∴PD= ，
学科网（北京）股份有限公司∴D（ +4，- ），
设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4，0）,D（ +4，- ）代入，得
，解得： ，
∴直线CD的解析式为：y= x+ ．
【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定
系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式
的方法是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B
（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针
方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在
点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋
学科网（北京）股份有限公司转的性质可得 ，从而可得 ，将点 代入抛物线
的解析式求出 的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
从而可得 与 轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，
由此即可得出答案．
【小问1详解】
解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为
，
设点 的坐标为 ，则 ，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
将点 代入 得： ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
【小问3详解】
解：抛物线 的顶点 的坐标为 ，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点 ，
这时点 落在点 的位置，且 ，
学科网（北京）股份有限公司，即 ，恰好在对称轴直线 上，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
则 ，
由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小，
即 的值最小，
由轴对称的性质得： ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标
的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
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