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凉山州 2023 年初中毕业暨高中阶段学校招生考试
数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
A卷（共100分）
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. 下列各数中，为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、 ，是有理数，则此项符合题意；
B、 是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、 是无理数，则此项不符合题意；
D、 是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
2. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，
则这个几何体的主视图是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．
【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形
组成．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，
要熟练掌握．
3. 若一组数据 的方差为2，则数据 的方差是（ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不
会变，方差不变．
【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为 ，现在
的平均数为 ，
原来的方差 ，
现在的方差 ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方
差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，
方差变为这个数的平方倍．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别
计算，即可得出正确答案．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不合题意；
B． ，故该选项错误，不合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌
握各项运算法则是解题的关键．
5. 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客
万人次．将数据 万用科学记数法表示的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10时，
n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 万 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
6. 点 关于原点对称的点 的坐标是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：点 关于原点对称的点 的坐标是 ，
故选D．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都
互为相反数”．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，
所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示， ，光线在空气中也平行，
， .
，
， .【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
8. 分式 的值为0，则 的值是（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
9. 如图，在 和 中，点E、F在 上， ， ，添加下列条件仍无法证
明 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵ ，
A、添加 ，可利用角边角证明 ，故本选项不符合题意；
B、添加 ，可利用边角边证明 ，故本选项不符合题意；
C、添加 ，可利用角角边证明 ，故本选项不符合题意；
D、添加 ，无法证明 ，故本选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10. 如图，在等腰 中， ，分别以点 点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧分别交
于点 和点 ，连接 ，直线 与 交于点 ，连接 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据等边对等角求出 ，由作图方法可知， 是线段 的垂直平分线，则
，可得 ，由此即可得到 ．
【详解】解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由作图方法可知， 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，
灵活运用所学知识是解题的关键．
11. 如图，在 中， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ，
，在 中，由 ，计算即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
， ，
在 中， ，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题 的关键是熟练掌握圆周角定理，垂
径定理，添加适当的辅助线．
12. 已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. （
为实数）
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线 可得 ， ，由此
即可判断A；根据对称性可得当 时， ，当 时， ，由此即可判断B、C；根据抛物
线开口向上，对称轴为直线 ，可得抛物线的最小值为 ，由此即可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，故B中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 ，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为 ，
∴ ，
∴ ，故D中结论错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相
关知识是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共52分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
13. 计算 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1
是解题的关键．
14. 已知 是完全平方式，则 的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握： ．
15. 如图， 的顶点 的坐标分别是 ．则顶点 的坐标是_________．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，且
，即可得到结果．
【详解】解： 在 中， ， ，
，
，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相
等且平行”的性质．
16. 不等式组 的所有整数解的和是_________．
【答案】7
【解析】
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得： ；
由②得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ， ，0，1，2，3，4；
∴ ，
故答案为：7
【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题
的关键．
17. 如图，在 纸片中， ， 是 边上的中线，将 沿 折叠，当点 落
在点 处时，恰好 ，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由 ， ， 是 边上的中线，可知 ，则 ，由翻
折的性质可知， ， ，则 ，如图，记 与 的交
点为 ， ，由 ，可得 ，根据【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
的
由翻折 性质可知， ， ，
∴ ，
如图，记 与 的交点为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定
理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】根据 ， ，单项式乘以多项式法则进行展开，再
加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当 ， 时，
原式
．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法
则是解题的关键．
19. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
检验：当 时， ， 是增根，
当 时， ，
原方程的解为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
20. 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、
会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用 表示） 游的客人数进行了抽样调
查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择 四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰
好选择 的概率．
【答案】（1）600人
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；
（2）先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计
图即可；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择 的结果数，最后依据
概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解： 人，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
【小问2详解】
解：由题意得，选择C景区的人数为 人，选择A景区的人数占比为
，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择 的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择 的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统
计图和画出树状图是解题的关键．
21. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的 两处安装了测速仪，该段隧道的截面
示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且 在同一直线上．点 、点 到 的距【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
离分别为 ，且 ，在 处测得 点的俯角为 ，在 处测得 点
的俯角为 ，小型汽车从点 行驶到点 所用时间为 ．
（1）求 两点之间的距离（结果精确到 ）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点 行驶到点 是否超速？并通过计算说明理由．（参
考数据： ）
【答案】（1）
（2）小型汽车从点 行驶到点 没有超速．
【解析】
【分析】（1）证明四边形 为矩形，可得 ，结合 ， ，
，可得 ， ，再利用线段的和差关系可得答案；
（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．
【小问1详解】
解：∵点 、点 到 的距离分别为 ，
∴ ， ，而 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
由题意可得： ， ， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ， ，
∴
【小问2详解】
∵小型汽车从点 行驶到点 所用时间为 ．
∴汽车速度为 ，
∵该隧道限速80千米/小时，
∴ ，
∵ ，
∴小型汽车从点 行驶到点 没有超速．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键．
22. 如图，在 中，对角线 与 相交于点 ， ，过点 作 交 于
点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）可证 ，从而可证四边形 是菱形，即可得证；
（2）可求 ，再证 ，可得 ，即可求解．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
证明： ，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
．
【小问2详解】
解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握
相关的判定方法及性质是解题的关键．
B卷（共50分）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知 ，则 的值等于_________．
【答案】2023
【解析】
【分析】把 化为： 代入降次，再把 代入求值即可．
【详解】解：由 得： ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
24. 如图，边长为2的等边 的两个顶点 分别在两条射线 上滑动，若 ，则
的最大值是_________．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ##
【解析】
【分析】如图所示，取 的中点 D，连接 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出
，再根据直角三角形的性质得到 ，再由 可得当 三点
共线时， 有最大值，最大值为 ．
【详解】解：如图所示，取 的中点D，连接 ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当 三点共线时， 有最大值是解题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业
博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，
购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙 3千克，
资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙
多少千克？
【答案】（1）雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
（2）最多能购买雷波脐橙40千克．
【解析】
【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为 元， 元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，
共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；
（2）设最多能购买雷波脐橙 千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等
式即可．
【小问1详解】
解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为 元， 元，则
，
①+②得； ，则 ③
把③代入①得： ，
把③代入②得： ，
∴方程组的解为： ，
答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
【小问2详解】
设最多能购买雷波脐橙 千克，则
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
解得： ，
答：最多能购买雷波脐橙40千克．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键．
26. 阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若
，则 ．
证明：设 ，∵ ，∴ ，
易证
∴ ，
∴
∴ ，
若 时，当 ，则 ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
同理：若 时，当 ，则 ．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点
顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
已知 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出 的值；
（3）求直线 的解析式．
【答案】（1）
（2） ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出点 ，然后设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，
得到 ，然后代入 求解即可；
（2）首先根据 ， 得到 ， ，求出 ， ，然后利用正切值的
概念求出 ，然后证明出四边形 是矩形，得到 ，然
后由 即可求出 ；
（3）首先根据矩形的性质得到 ， ，然后利用 求出 ，
进而得到 ，然后设直线 的解析式为 ，利用待定系数法将 和 代入求解
即可．
【小问1详解】
将 代入 得， ，
∴ ，
∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴设 ，
∵ ， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴在 中， ，
∴ ，
∴解得 ， ，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴ 应舍去，
∴ ，
∴ ，
∴将 代入 ，解得 ；
∴反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵将直线 绕点 顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴将 和 代入得， ，
∴解得 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴直线 的解析式为 ．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，
解题的关键是正确理解材料的内容．
27. 如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，点 是 延长线上一点， ，垂
足为点 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径和 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2） 半径为3， 的长为
的
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可得
，从而可得 ，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设 的半径为 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理求解即可得；
根据相似三角形的判定可得 ，根据相似三角形的性质即可得．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
弦 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
又 是 的半径，
是 的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
在 中， ，即 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
所以 的半径为3， 的长为 ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，
熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键．
28. 如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．直线 过抛物线
的顶点 ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ．
①当 取得最大值时，求 的值和 的最大值；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
②当 是等腰三角形时，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）①当 时， 有最大值，最大值为 ；② 或 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，则
，进一步求出 ，由此即可利用二次函数的
性质求出答案；②设直线 与x轴交于H，先证明 是等腰直角三角形，得到
；再分如图3-1所示，当 时， 如图3-2所示，当 时， 如图3-
3所示，当 时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与 轴交于 和 两点，
∴抛物线对称轴为直线 ，
在 中，当 时， ，
∴抛物线顶点P的坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问2详解】
解：①∵抛物线解析式为 ，点C是抛物线与y轴的交点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
②设直线 与x轴交于H，
∴ ， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
如图3-1所示，当 时，
过点C作 于G，则
∴点G为 的中点，
由（2）得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
如图3-2所示，当 时，则 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴点E的纵坐标为5，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图3-3所示，当 时，过点C作 于G，
同理可证 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴
综上所述，点E 的坐标为 或 或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
