文档内容
2016 年四川省阿坝州中考数学试卷
一、选择题
1.（2016•阿坝州）﹣3的绝对值是（ ）
A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3
2.（2016•阿坝州）使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x≠﹣1 C. x＜1 D. x＞1
3.（2016•阿坝州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2016•阿坝州）某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时
间内来该州风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ）
A. 36×103 B. 0.36×106 C. 0.36×104 D. 3.6×104
5.（2016•阿坝州）在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
6.（2016•阿坝州）某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分
别为：6，7，7，8，9．这组数据的众数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.（2016•阿坝州）下列计算正确的是（ ）
A. 4x﹣3x=1 B. x2+x2=2x4 C. （x2）3=x6 D. 2x2•x3=2x6
8.（2016•阿坝州）将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（
）
A. y=x2+2 B. y=x2﹣2 C. y=（x+2）2 D. y=（x﹣2）2
9.（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则
△AED的周长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.（2016•阿坝州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将
△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径 的长为（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 8π
二、填空题
11.（2016•阿坝州）分解因式：a2﹣b2=________．
12.（2016•阿坝州）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是________．
13.（2016•阿坝州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为
________．
14.（2016•阿坝州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则
关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是________．三、解答题
15.（2016•阿坝州）计算下列各题
（1）计算： +（1﹣ ）0﹣4cos45°．
（2）解方程组： ．
16.（2016•阿坝州）化简： + ．
17.（2016•阿坝州）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类
型的套餐．实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐
类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统
计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数．18.（2016•阿坝州）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶
C，仰角为30°，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？
（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.73）
19.（2016•阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函
数y= 的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．
（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标及△AOB的面积．20.（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别
交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长．
四、填空题B卷
21.（2016•阿坝州）若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为________．
22.（2016•阿坝州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球
2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率
等于 ，则m的值为________．
23.（2016•阿坝州）如图，点P ， P ， P ， P 均在坐标轴上，且PP⊥P P ，
1 2 3 4 1 2 2 3
PP⊥P P ， 若点P ， P 的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P 的坐标为
2 3 3 4 1 2 4
________．24.（2016•阿坝州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x＞0）的图象上
的动点，则线段OP长度的最小值是________．
25.（2016•阿坝州）如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半
圆上，连接AC，BC，则 =________．
五、解答题
26.（2016•阿坝州）某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知
该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
A型客车 B型客车
载客量（人/ 45 28
辆）
租金（元/辆） 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问
题：
（1）用含x的代数式填写下表：
车辆数 载客量（人） 租金（元）
（辆）
A型客车 x 45x 400x
B型客车 13﹣x ________ ________（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？
27.（2016•阿坝州）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG
的边DG和DE上，连接BG，AE．
图① 图② 图③
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图③所示）
①求证：BG⊥GE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 的值．
28.（2016•阿坝州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B
（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四
边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理
由．2016 年四川省阿坝州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.（2016•阿坝州）﹣3的绝对值是（ ）
1 1
A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3
3 3
【答案】C
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】解：|﹣3|=3，
故选：C．
【分析】根据绝对值的定义，即可解答．
1
2.（2016•阿坝州）使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
x−1
A. x≠1 B. x≠﹣1 C. x＜1 D. x＞1
【答案】A
【考点】分式有意义的条件
1
【解析】解：∵分式 有意义， ∴x﹣1≠0，解得x≠1．
x−1
故选A．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
3.（2016•阿坝州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】解：A、球的俯视图是圆，故本选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故本
选项正确；
C、圆锥的俯视图是圆，故本选项错误；
D、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
4.（2016•阿坝州）某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时
间内来该州风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ）
A. 36×103 B. 0.36×106 C. 0.36×104 D. 3.6×104
【答案】D
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】解：36000用科学记数法表示为3.6×104 ． 故选：D．
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．5.（2016•阿坝州）在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【考点】点的坐标
【解析】解：∵在直角坐标中，点P（2，﹣3）， ∴点P在第四象限，
故选D．
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特点，可以确定点P的位置，本题
得以解决．
6.（2016•阿坝州）某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分
别为：6，7，7，8，9．这组数据的众数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】解：依题意得，7出现了二次，次数最多，
所以这组数据的众数是7．
故选B．
【分析】由于众数是一组数据中次数出现最多的数据，由此可以确定数据的众数．
7.（2016•阿坝州）下列计算正确的是（ ）
A. 4x﹣3x=1 B. x2+x2=2x4 C. （x2）3=x6 D. 2x2•x3=2x6
【答案】C
【考点】幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式
【解析】解：A、4x﹣3x=x，故本选项错误； B、x2+x2=2x2 ， 故本选项错误；
C、（x2）3=x6 ， 故本选项正确；
D、2x2•x3=2x5 ， 故本选项错误；
故选C．
【分析】根据合并同类项的法则只需把系数相加减，字母和字母的指数不变得出A和B不
正确；根据幂的乘方底数不变、指数相乘得出C正确；根据同底数幂的乘法底数不变，指
数相加得出D不正确．
8.（2016•阿坝州）将抛物线y=x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（
）
A. y=x2+2 B. y=x2﹣2 C. y=（x+2）2 D. y=（x﹣2）2
【答案】A
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】解：∵抛物线y=x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2）， ∴所得抛物线
的解析式为y=x2+2．
故选：A．
【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
9.（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则
△AED的周长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【考点】平行线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，
∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4．
故选C．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得
∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出
△AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解．
10.（2016•阿坝州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将
△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径 ^ A A′ 的长为（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 8π
【答案】B
【考点】弧长的计算，旋转的性质
【解析】解：∵每个小正方形的边长都为1， ∴OA=4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，
∴∠AOA′=90°，
90×π×4
∴A点运动的路径 ^ A A′ 的长为： =2π．
180
故选B．
【分析】由每个小正方形的边长都为1，可求得OA长，然后由弧长公式，求得答案．
二、填空题
11.（2016•阿坝州）分解因式：a2﹣b2=________．【答案】（a+b）（a﹣b）
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）．
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．
12.（2016•阿坝州）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是________．
1
【答案】
2
【考点】概率公式
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上， 则P
1
（正面朝上）= ，
2
1
故答案为：
2
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．
13.（2016•阿坝州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为
________．
【答案】6
【考点】勾股定理
【解析】解：∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3， ∴另一直角边长为 √52−32
=4．
1
该直角三角形的面积S= ×3×4=6．
2
故答案为：6．
【分析】根据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长
度，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
14.（2016•阿坝州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则
关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是________．
【答案】x=2
【考点】一次函数与一元一次方程
【解析】解：∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4）， ∴关于x的
方程kx+3=﹣x+b的解是x=2，
故答案为：x=2．
【分析】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解．
三、解答题
15.（2016•阿坝州）计算下列各题
（1）计算： √8 +（1﹣ √2 ）0﹣4cos45°．x−y=2①
（2）解方程组： { ．
x+2y=5②
【答案】（1）解：原式= +1﹣4× ， =2 +1﹣2 ，
=1．
（2）解：方程①×2+②得：3x=9， 方程两边同时除以3得：x=3，
将x=3代入①中得：3﹣y=2，
移项得：y=1．
∴方程组的解为
【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，解二元一次方程组，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）由a0=1以及特殊角的三角函数值，可得出（1﹣ √2 ）0=1，
√2
cos45°= ，将其代入算式中即可得出结论；（2）根据用加减法解二元一次方程组的
2
步骤解方程组即可得出结论．
x+3 1
16.（2016•阿坝州）化简： + ．
x2−9 x−3
【答案】解法一： +
= +
=
= ．
解法二：
+
= +
= +
=【考点】分式的加减法
【解析】【分析】先通分变为同分母分式，然后再相加即可解答本题．
17.（2016•阿坝州）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类
型的套餐．实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐
类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统
计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数．
【答案】（1）100
（2）解：100﹣40﹣20﹣10=30人．
补全条形统计图如图所示：
（3）解：10÷100=10%，1200×10%=120人．
全校喜欢D套餐的学生的人数大约为120人
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】解：（1）40÷40%=100人，这次调查中一共抽取了100人．故答案为：100．
【分析】（1）根据喜爱A种套餐的人数和百分比求解即可；（2）依据总人数等于各部分
的和可求得喜爱C套餐的人数；（3）先求得喜欢D套餐人数所占的百分比，然后用总人
数乘百分比即可．
18.（2016•阿坝州）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶
C，仰角为30°，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考数据： √3 ≈1.73）
【答案】解：过点A作AD⊥CE于点D，如图所示．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥DE，
∴四边形ABED为矩形，
∴AD=BE=5，DE=AB=1.65．
在Rt△ACD中，AD=5，∠CAD=30°，
√3
∴CD=AD•tan∠CAD=5× ≈2.88，
3
∴CE=CD+DE=2.88+1.65=4.53≈4.5．
答：这棵树大约高4.5米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥CE于点D，根据矩形的判定定理证出四边形ABED为矩
形，由此即可得出AD=5，DE=1.65，在Rt△ACD中通过解直角三角形以及特殊角的三角
函数值即可得出CD的长度，再根据线段间的关系即可得出结论．19.（2016•阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函
k
数y= 的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．
x
（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标及△AOB的面积．
【答案】（1）解：∵点A（﹣4，﹣2）在反比例函数y= 的图象上， ∴k=﹣4×（﹣
2）=8，
∴反比例函数的表达式为y= ；
∵点B（m，4）在反比例函数y= 的图象上，
∴4m=8，解得：m=2，
∴点B（2，4）．
将点A（﹣4，﹣2）、B（2，4）代入y=ax+b中，
得： ，解得： ，
∴一次函数的表达式为y=x+2（2）解：令y=x+2中x=0，则y=2， ∴点C的坐标为（0，2）．
∴S = OC×（x ﹣x ）= ×2×[2﹣（﹣4）]=6
△AOB B A
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，
从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点
A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；（2）令一次函数表达式中x=0求
出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标即可得出结论．
20.（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别
交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
√5
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长．
5
【答案】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下： 连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H为CE的中点
（3）解：在Rt△ADC中，CD= BC=5， ∵cosC= = ，
∴AC=5 ，
在Rt△CDH中，∵cosC= = ，
∴CH= ，
∴CE=2CH=2 ，
∴AE=AC﹣CE=5 ﹣2 =3
【考点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根
据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上
DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；（2）连结
DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角
形的性质得到CH=EH；（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC=5 √5 ，在
Rt△CDH中可计算出CH= √5 ，则CE=2CH=2 √5 ， 然后计算AC﹣CE即可得到AE
的长．
四、填空题B卷
21.（2016•阿坝州）若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为________．
【答案】8
【考点】代数式求值
【解析】解：原式=2（x2﹣3x）=2×4=8． 故答案是：8．
【分析】原式可以化成2（x2﹣3x），代入求值即可．
22.（2016•阿坝州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球
2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率
4
等于 ，则m的值为________．
5
【答案】3
【考点】概率公式
5+m 4
【解析】解：根据题意得： = ， 解得：m=3．
7+m 5
故答案为：3．4
【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于
5
可得方程，继而求得答案．
23.（2016•阿坝州）如图，点P ， P ， P ， P 均在坐标轴上，且PP⊥P P ，
1 2 3 4 1 2 2 3
PP⊥P P ， 若点P ， P 的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P 的坐标为
2 3 3 4 1 2 4
________．
【答案】（8，0）
【考点】坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质
【解析】解：∵点P ， P 的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0）， ∴OP =1，
1 2 1
OP =2，
2
∵Rt△P OP ∽Rt△POP ，
1 2 2 3
OP OP 1 2
1 2
∴ = ，即 = ，
OP OP 2 OP
2 3 3
解得，OP =4，
3
∵Rt△P OP ∽Rt△POP ，
2 3 3 4
OP OP 2 4
2 3
∴ = ，即 = ，
OP OP 4 OP
3 4 4
解得，OP =8，
4
则点P 的坐标为（8，0），
4
故答案为：（8，0）．
【分析】根据相似三角形的性质求出PD的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP
3 4
的长，得到答案．
2
24.（2016•阿坝州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x＞0）的图象上
x
的动点，则线段OP长度的最小值是________．
【答案】2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
2
【解析】解：根据题意可得：当P为直线y=x与反比例函数y= （x＞0）的交点时则线
x
2
y= y=√2 y=−√2
段OP长度的最小， 由 { x 得： { 或 { （舍去），
y=√2 y=−√2
y=x
则P点的坐标为（ √2 ， √2 ），
则线段OP= √ (√2) 2+(√2) 2 =2，
故答案为：2．2
【分析】根据题意得出：当P为直线y=x与反比例函数y= （x＞0）的交点时线段OP
x
长度的最小，再求出P点的坐标，从而得出则线段OP的长度的最小值．
25.（2016•阿坝州）如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半
BC
圆上，连接AC，BC，则 =________．
AC
√5+1
【答案】
2
【考点】正方形的性质，圆周角定理
【解析】解：如图，连接CO， ，
设正方形CDEF的边长是a，
a
则DO= ，
2
在Rt△CDO中，
CO= √CD2+DO2
√ a 2
= a2+( )
2
√5
= a
2
√5
∴AO=CO= a，
2
√5 a √5−1
∴AD= a﹣ = a，
2 2 2
∵∠ACB=90°，
a
BC CD √5+1
∴ =tan∠BAC= = √5−1 = ．
AC AD a 2
2
√5+1
故答案为： ．
2
【分析】首先设正方形CDEF的边长是a，应用勾股定理，求出半圆的半径是多少；然后
BC
应用圆周角定理并解直角三角形，求出 的值是多少即可．
AC
五、解答题
26.（2016•阿坝州）某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知
该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：A型客车 B型客车
载客量（人/ 45 28
辆）
租金（元/辆） 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问
题：
（1）用含x的代数式填写下表：
车辆数 载客量（人） 租金（元）
（辆）
A型客车 x 45x 400x
B型客车 13﹣x ________ ________
（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？
【答案】（1）28（13﹣x）；250（13﹣x）
（2）解：设租车的总费用为W元，则有：W=400x+250（13﹣x）=150x+3250． 由已知
得：45x+28（13﹣x）≥500，
解得：x≥8．
∵在W=150x+3250中150＞0，
∴当x=8时，W取最小值，最小值为4450元．
故租A型车8辆、B型车5辆时，总的租车费用最低，最低为4450元
【考点】一次函数的实际应用
【解析】解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（13﹣x）辆， B型车的载客
量28（13﹣x），租金为250（13﹣x）．
故答案为：28（13﹣x）；250（13﹣x）．
【分析】（1）根据“B型车的载客量=租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付租金=每
辆的租金×租的辆数”即可得出结论；（2）设租车的总费用为W元，根据“总租金=租A
型车的租金+租B型车的租金”即可得出W关于x的函数关系式，再根据共500人参加社
会实践活动，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，根据一次
函数的性质即可解决最值问题．
27.（2016•阿坝州）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG
的边DG和DE上，连接BG，AE．
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥GE；GM
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 的值．
MD
【答案】（1）证明：如图①，
∵AD为等腰直角△ABC的高，
∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠GDE=90°，DG=DE，
在△BDG和△ADE中
BD=AD
{∠BDG=∠ADE ，
DG=DE
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
（2）①证明：如图②，
∵四边形DEFG为正方形，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE，
∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，
∴BG⊥GE；
②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，
√2 7√2
∴DG= GE= x，
2 2
∵△BDG≌△ADE，
∴BG=AE=4x，
在Rt△BGA中，AB= √BG2+AG2 = √(4x) 2+(3x) 2 =5x，
∵△ABD为等腰直角三角形，
√2 5√2
∴∠4=45°，BD= AB= x，
2 2∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB，
∴△DBM∽△DGB，
5√2 7√2 5√2 25√2
∴BD：DG=DM：BD，即 x： x=DM： x，解得DM= x，
2 2 2 14
7√2 25√2 12√2
∴GM=DG﹣DM= x﹣ x= x，
2 14 7
12√2
x
GM 7 24
∴ = = ．
MD 25√2 25
x
14
【考点】角的计算，全等三角形的应用，勾股定理
【解析】【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的
性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE
得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
√2 7√2
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG= GE=
2 2
x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三
√2 5√2
角形得到∠4=45°，BD= AB= x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可
2 2
25√2 12√2 GM
计算出DM= x，所以 GM= x，于是可计算出 的值．
14 7 MD
28.（2016•阿坝州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B
（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四
边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3（2）解：△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x=﹣3，x=1，
1 2
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，
∴BC2+CM2=BM2 ，
∴△BCM是直角三角形
√22 3 √22 3
（3）解：存在，N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ），
2 2 2 2
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线
的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3 √2 ，CM= √2 ，
1 1
∴S = BC×CM= ×3 √2 × √2 =3，
△BCM 2 2
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S +S =S +S ，
△ABN △ABC △BCM △ABC
∴S =S =3，
△ABN △BCM
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
1 1
∴S = ×AB×n= ×4×n=2n=3，
△ABN 2 2
3
∴n= ，
2
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，3
∴m2+2m﹣3= ，
2
√22 √22
∴m=﹣1+ ，m=﹣1﹣ ，
1 2 2 2
√22 3 √22 3
∴N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）．
2 2 2 2
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
x =−1 x =−2
联立①②得 { 1 （舍）， { 2 ，
y =−4 y =−3
1 2
∴N（﹣2，﹣3），
√22 3 √22 3
即：N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）或N（﹣2，﹣3）
2 2 2 2
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）由抛物线解析式确定
出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；（3）根据题意判断
出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S =S ， 然
△ABN △BCM
后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．
