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2014 年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2014•绵阳）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
﹣
2．（3分）（2014•绵阳）下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•绵阳）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a=a2 B．a2÷a=a C．a2+a=a3 D．a2﹣a=a
4．（3分）（2014•绵阳）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
x＜ x≤ x＞ x≥
5．（3分）（2014•绵阳）一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上
阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2014•绵阳）如图所示的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2014•绵阳）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），
则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（ ）
A．（﹣8，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（﹣6，﹣1）8．（3分）（2014•绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A
处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮
所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40 海里 B．40 海里 C．80海里 D．40 海里
9．（3分）（2014•绵阳）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
10．（3分）（2014•绵阳）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，
为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B． C． D．
n≤ n≤ n≤
11．（3分）（2014•绵阳）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将
△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）（2014•绵阳）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过
点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（
）A． B． C． D．
= = = =
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）（2014•绵阳）2﹣2= ．
14．（4分）（2014•绵阳）“五一”小长假，以生态休闲为特色的绵阳近郊游倍受青睐．假期三
天，我市主要景区景点人气火爆，据市旅游局统计，本次小长假共实现旅游收入5610万元，
将这一数据用科学记数法表示为 元．
15．（4分）（2014•绵阳）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= ．
16．（4分）（2014•绵阳）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴
影部分面积为 cm2．（结果保留π）
17．（4分）（2014•绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，
∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
18．（4分）（2014•绵阳）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后
得到的图形面积为S ，第2次对折后得到的图形面积为S ，…，第n次对折后得到的图形面
1 2积为S ，请根据图2化简，S +S +S +…+S = ．
n 1 2 3 2014
三、解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（2014•绵阳）（1）计算：（2014﹣ ）0+|3﹣ |﹣ ；
（2）化简：（1﹣ ）÷（ ﹣2）
20．（12分）（2014•绵阳）四川省“单独两孩”政策于2014年3月20日正式开始实施，该政
策的实施可能给我们的生活带来一些变化，绵阳市人口计生部门抽样调查了部分市民（每个
参与调查的市民必须且只能在以下6种变化中选择一项），并将调查结果绘制成统计图：
种类 A B C D E F
变化 有利于延缓 导致人 提升家庭 增大社会基本 环节男女比促进人口与社会、资源、
社会老龄化 口暴增 抗风险能 公共服务的压 例不平衡现 环境的协调可持续发展
现象 力 力 象
根据统计图，回答下列问题：
（1）参与调查的市民一共有 人；
（2）参与调查的市民中选择C的人数是 人；
（3）∠α= ；（4）请补全条形统计图．
21．（12分）（2014•绵阳）绵州大剧院矩形专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑
假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张
成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）
学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系
式；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
22．（12分）（2014•绵阳）如图，已知反比例函数y= （k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A
作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1．
（1）求m，k的值；
（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y= 的图象有两个不同的公共点，求实数
n的取值范围．23．（12分）（2014•绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且
满足 = ，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA= ，AE=3，求AF的长．
24．（12分）（2014•绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点
B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE
上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出
其最大值．
25．（14分）（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2， ），顶点坐标
为N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存
在，请说明理由．2014 年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2014•绵阳）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
﹣
考点：相反数
分析：利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
解答：解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
点评：此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）（2014•绵阳）下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，
旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（3分）（2014•绵阳）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a=a2 B．a2÷a=a C．a2+a=a3 D．a2﹣a=a
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法的知识求解即可求得答案．
解答：解：A、a2a=a3，故A选项错误；
B、a2÷a=a，故B选项正确；
C、a2+a=a3，不是同类项不能计算，故错误；
D、a2﹣a=a，不是同类项不能计算，故错误；
故选：B．
点评：本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法的知识，熟记法则是解题的
关键．
4．（3分）（2014•绵阳）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
x＜ x≤ x＞ x≥
考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答：解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得x≥ ．
故选D．
点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）（2014•绵阳）一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上
阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：几何概率．
分析：根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积
的比值．
解答：
解：观察这个图可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）的 ，故其概率为 ．
故选：A．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区
域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．
6．（3分）（2014•绵阳）如图所示的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
分析：根据主视图是从物体正面看所得到的图形求解．
解答：解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形．
故选B．
点评：本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视
图中．
7．（3分）（2014•绵阳）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），
则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（ ）
A．（﹣8，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（﹣6，﹣1）
考点：坐标与图形变化-平移
分析：首先根据P点的对应点为E可得点的坐标的变化规律，则点Q的坐标的变化规律与P
点的坐标的变化规律相同即可．解答：解：∵点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），
∴P点是横坐标+5，纵坐标+3得到的，
∴点Q（﹣3，1）的对应点N坐标为（﹣3+5，1+3），
即（2，4）．
故选：C．
点评：此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握把一个图形平移后，个点的变化
规律都相同．
8．（3分）（2014•绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A
处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮
所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40 海里 B．40 海里 C．80海里 D．40 海里
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．
解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP= AP=40（海里），
则PB= =40 （海里）．
故选：A．
点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关
键．
9．（3分）（2014•绵阳）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形考点：命题与定理．
分析：根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选C．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题
称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
10．（3分）（2014•绵阳）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，
为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B． C． D．
n≤ n≤ n≤
考点：一元一次不等式的应用
分析：根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价相等，进而得出不等式即可．
解答：解：设进价为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
整理得：100n+mn≤100m，
故n≤ ．
故选：B．
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
11．（3分）（2014•绵阳）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将
△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点：勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
分析：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列
出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件
的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可．
解答：解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或 ，
解得 或 ，
∵2× ＜ （此时不能构成三角形，舍去）
∴取 ，其中n是3的倍数∴三角形的面积S = × × = n2，对于S = n2= n2，
△ △
当n≥0时，S 随着n的增大而增大，故当n=3时，S = 取最小．
△ △
故选：C．
点评：本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组
是解答此题的关键．
12．（3分）（2014•绵阳）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过
点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（
）
A． B． C． D．
= = = =
考点：切线的性质；平行线的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；相似三角形的判定
与性质
专题：探究型．
分析：
（1）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到 ，也就有 ，可得△OAQ∽OPA，
从而有∠OAQ=∠APO．易证∠CAP=∠APO，从而有∠CAP=∠OAQ，则有
∠CAQ=∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得 ，所以A正确．
（2）由△OBP∽△OQB得 ，即 ，由AQ≠OP得 ，故C不正确．
（3）连接OR，易得 = ， =2，得到 ，故B不正确．
（4）由 及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得 ，由AB≠AP得 ，故
D不正确．
解答：解：（1）连接AQ，如图1，
∵BP与半圆O于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP=∠ACB=90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB=90°．
∴∠OQB=∠OBP=90°．
又∵∠BOQ=∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴ ．
∵OA=OB，
∴ ．
又∵∠AOQ=∠POA，∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ=∠APO．
∵∠OQB=∠ACB=90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP=∠APO．
∴∠CAP=∠OAQ．
∴∠CAQ=∠BAP．
∵∠ACQ=∠ABP=90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴ ．
故A正确．
（2）如图1，
∵△OBP∽△OQB，
∴ ．
∴ ．
∵AQ≠OP，
∴ ．
故C不正确．
（3）连接OR，如图2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ=CQ．
∵AO=BO，
∴OQ= AC．
∵OR= AB．
∴ = ， =2．
∴ ≠ ．
∴ ．
故B不正确．
（4）如图2，
∵ ，
且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，
∴ ．
∵AB≠AP，
∴ ．
故D不正确．
故选：A．点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、
三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）（2014•绵阳）2﹣2= ．
考点：负整数指数幂
分析：根据负整数指数幂的运算法则直接进行计算即可．
解答：
解：2﹣2= = ．
故答案为： ．
点评：本题主要考查负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整
数指数幂当成正的进行计算．
14．（4分）（2014•绵阳）“五一”小长假，以生态休闲为特色的绵阳近郊游倍受青睐．假期三
天，我市主要景区景点人气火爆，据市旅游局统计，本次小长假共实现旅游收入5610万元，
将这一数据用科学记数法表示为 5.61×1 0 7 元．
考点：科学记数法—表示较大的数
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将5610万元用科学记数法表示为：5.61×107．
故答案为：5.61×107．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（4分）（2014•绵阳）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= 20 ° ．考点：平行线的性质；等边三角形的性质
分析：延长CB交直线m于D，根据根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠α．
解答：解：如图，延长CB交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵l∥m，
∴∠1=40°．
∴∠α=∠ABC﹣∠1=60°﹣40°=20°．
故答案是：20．
点评：本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也
是本题的难点．
16．（4分）（2014•绵阳）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴
影部分面积为 cm2．（结果保留π）
考点：正多边形和圆
分析：根据题意得出△COW≌△ABW，进而得出图中阴影部分面积为：S扇形OBC 进而得出答
案．
解答：解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC = = ．
故答案为： ．
点评：此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC 是解
题关键．
17．（4分）（2014•绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，
∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 2 ．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
分析：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出
EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．
解答：解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故答案为：2．点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′
是解题关键．
18．（4分）（2014•绵阳）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后
得到的图形面积为S ，第2次对折后得到的图形面积为S ，…，第n次对折后得到的图形面
1 2
积为S ，请根据图2化简，S +S +S +…+S = 1﹣ ．
n 1 2 3 2014
考点：规律型：图形的变化类
分析：观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公
式．
解答：
解：观察发现S +S +S +…+S = + + +…+ =1﹣ ，
1 2 3 2014
故答案为：1﹣ ．
点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变
化规律．
三、解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（2014•绵阳）（1）计算：（2014﹣ ）0+|3﹣ |﹣ ；
（2）化简：（1﹣ ）÷（ ﹣2）
考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；零指数幂．
专题：计算题．
分析：（1）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+2 ﹣3﹣2 ，然后合并即可；
（2）先把前面括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约
分即可．
解答：解：（1）原式=1+2 ﹣3﹣2
=﹣2；（2）原式= ÷
= •
= ．
点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分式的混合运算．
20．（12分）（2014•绵阳）四川省“单独两孩”政策于2014年3月20日正式开始实施，该政
策的实施可能给我们的生活带来一些变化，绵阳市人口计生部门抽样调查了部分市民（每个
参与调查的市民必须且只能在以下6种变化中选择一项），并将调查结果绘制成统计图：
种类 A B C D E F
变化 有利于延缓 导致人提升家庭 增大社会基本 环节男女比 促进人口与社会、资源、
社会老龄化 口暴增抗风险能 公共服务的压 例不平衡现 环境的协调可持续发展
现象 力 力 象
根据统计图，回答下列问题：
（1）参与调查的市民一共有 200 0 人；
（2）参与调查的市民中选择C的人数是 40 0 人；
（3）∠α= 54 ° ；
（4）请补全条形统计图．
考点：条形统计图；统计表；扇形统计图．
分析：（1）根据A类的有700人，所占的比例是35%，据此即可求得总人数；
（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解；
（3）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数乘以对应的比例求得D类的人数，然后根据（1）即可作出统计图．
解答：解：（1）参与调查的市民一共有：700÷35%=2000（人）；
（2）参与调查的市民中选择C的人数是：2000（1﹣35%﹣5%﹣10%﹣15%﹣15%）=400
（人）；
（3）α=360°×15%=54°；
（4）D的人数：2000×10%=200（人）．点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（12分）（2014•绵阳）绵州大剧院矩形专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑
假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张
成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）
学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系
式；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
考点：一次函数的应用．
分析：（1）首先根据优惠方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的儿童票金额；
优惠方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买儿童票金额）×打折率，列出y关于x
的函数关系式，
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种
情况讨论．
解答：解：（1）按优惠方案①可得
y =20×4+（x﹣4）×5=5x+60（x≥4），
1
按优惠方案②可得
y =（5x+20×4）×90%=4.5x+72（x≥4）；
2
（2）因为y ﹣y =0.5x﹣12（x≥4），
1 2
①当y ﹣y =0时，得0.5x﹣12=0，解得x=24，
1 2
∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多．
②当y ﹣y ＜0时，得0.5x﹣12＜0，解得x＜24，
1 2
∴4≤x＜24时，y ＜y ，优惠方案①付款较少．
1 2
③当y ﹣y ＞0时，得0.5x﹣12＞0，解得x＞24，
1 2
当x＞24时，y ＞y ，优惠方案②付款较少．
1 2
点评：本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种
方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．
22．（12分）（2014•绵阳）如图，已知反比例函数y= （k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A
作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1．
（1）求m，k的值；
（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y= 的图象有两个不同的公共点，求实数
n的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）根据三角形的面积公式即可求得m的值；
（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y= 的图象有两个不同的公共点，
则方程 =nx+2有两个不同的解，利用根的判别式即可求解．
解答：
解：（1）由已知得：S = ×1×m=1，
△AOB
解得：m=2，
把A（1，2）代入反比例函数解析式得：k=2；
（2）由（1）知反比例函数解析式是y= ，
则 =nx+2有两个不同的解，
方程去分母，得：nx2+2x﹣2=0，
则△=4+8n＞0，
解得：n＞﹣ 且n≠0．
点评：本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后
解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
23．（12分）（2014•绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且
满足 = ，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA= ，AE=3，求AF的长．
考点：切线的性质
分析：（1）首先连接OC，由OC=OA， = ，易证得OC∥AE，又由过点C作⊙O的切线交
AB的延长线于D点，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，
AE=3，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，继而求得答案．
解答：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵ = ，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE且⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵tan∠CBA= ，
∴∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2 ，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA= AB，
在Rt△ACB中，AC=2 ，tan∠CBA= ，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
点评：此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定
理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（12分）（2014•绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点
B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△ EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE
上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出
其最大值．考点：四边形综合题．
分析：（1）由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，得出AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，从而求
得△DEC≌△EDA；
（2）根据勾股定理即可求得．
（3））有矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以 ，从而求得PQ，由PN∥EG，得出
= ，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．
解答：（1）证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，
∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，
在△ADE与△CED中
∴△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）解：如图1，∵∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4﹣x，
在RT△ADF中，AD2+DF2=AF2，
即32+x2=（4﹣x）2，
解得；x= ，
即DF= ．
（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA
∴
又∵CE=3，AC= =5
设PE=x（0＜x＜3），则 ，即PQ=
过E作EG⊥AC 于G，则PN∥EG，
∴ =
又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=
∴ = ，即PN= （3﹣x）
设矩形PQMN的面积为S
则S=PQ•PN=﹣ x2+4x=﹣ +3（0＜x＜3）
所以当x= ，即PE= 时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．25．（14分）（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2， ），顶点坐标
为N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存
在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：
（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y=a（x+1）2+ ，再将
M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析
式；
（2）先求出抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再
根据勾股定理得到BC= =2 ．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当△PBC
为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；
（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结
B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，
0），C（0， ），根据中点坐标公式求出B（′ 3，2 ），再运用待定系数法求出直线MB′
的解析式为y= x+ ，直线AC的解析式为y=﹣ x+ ，然后解方程组
，即可求出Q点的坐标．
解答：
解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y=a（x+1）2+ ，
将M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，
解得a=﹣ ，
故所求抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ；
（2）∵y=﹣ x2﹣ x+ ，
∴x=0时，y= ，
∴C（0， ）．y=0时，﹣ x2﹣ x+ =0，
解得x=1或x=﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC= =2 ．
设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以
当CP=CB时，有CP= =2 ，解得m= ± ；
当BP=BC时，有BP= =2 ，解得m=±2 ．
综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1， + ），（﹣1， ﹣ ），
（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2 ）；
（3）由（2）知BC=2 ，AC=2，AB=4，
所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．
由B（﹣3，0），C（0， ），易得B′（3，2 ）．
设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（﹣2， ），B′（3，2 ）代入，
得 ，解得 ，
即直线MB′的解析式为y= x+ ．
同理可求得直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．
由 ，解得 ，即Q（﹣ ， ）．
所以在直线AC上存在一点Q（﹣ ， ），使△QBM的周长最小．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解
析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知
识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
