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遂宁市 2022 年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：-2的倒数是 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关
键．
2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
科克曲线 笛卡尔心形线
阿基米德螺旋线 赵爽弦图
A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦
图
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图
形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形．
【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约
198000公里．数据198000用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数．确定 的值时，要看把原来的数变成 时，小数点移动了多少位，
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值
时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
4. 如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是
（ ）
A. 大 B. 美 C. 遂 D. 宁
【答案】B
【解析】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“美”是相对面．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手．
5. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的
乘方法则以及平方差公式逐一判断即可．
【详解】A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、
幂的乘方法则以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
6. 若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
【答案】D
【解析】
【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当 时，
当 时， 或 ，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘 ，得 ，
整理得 ，
原方程无解，
当 时， ；
当 时， 或 ，此时， ，
解得 或 ，
当 时， 无解；
当 时， ，解得 ；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简
公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. cm2 B. cm2 C. cm2 D.
cm2
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的
弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算
出圆锥的侧面积．
【详解】解：在 中，
cm，
∴它侧面展开图的面积是 cm2．
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
8. 如图，D、E、F分别是 三边上的点，其中 ，BC边上的高为6，且
DE//BC，则 面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设 ，根据
，证明 ，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到
，列出 面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【详解】
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设 ，
，
，
，
，
，
，
当 时，S有最大值，最大值为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌
握知识点是解题的关键．
9. 已知m为方程 的根，那么 的值为（
）
A. B. 0 C. 2022 D. 4044
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意有 ，即有 ，据此即可作答．
【详解】∵m为 的根据，
∴ ，且m≠0，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
则有原式= ，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为
得到 是解答本题的关键．
10. 如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与
BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°；
A. ①③ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】由四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，可得 ABG≌△CBE（SAS），即得
∠BAG=∠BCE，即可证明∠POC=90°，可判断①正确；取AC的中点K，可得
△
AK=CK=OK=BK，即可得∠BOA=∠BCA，从而 OBP∽△CAP，判断②正确，由
∠AOC=∠ADC=90°，可得A、O、C、D四点共圆，而AD=CD，故∠AOD=∠DOC=45°，
△
判断④正确，不能证明OB平分∠CBG，即可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=90°=∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG，即∠ABG=∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠BAG+∠APB=90°，
∴∠BCE+∠APB=90°，
∴∠BCE+∠OPC=90°，
∴∠POC=90°，
学科网（北京）股份有限公司∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK=CK=OK，
△
在Rt ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK=CK=BK，
△
∴AK=CK=OK=BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA=∠BCA，
∵∠BPO=∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC=∠ADC=90°，
∴∠AOC+∠ADC=180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD=CD，
∴∠AOD=∠DOC=45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，
解题的关键是取AC的中点K，证明AK=CK=OK=BK，从而得到A、B、O、C四点共圆．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位
数是______．
【答案】23
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】将这5个数从小到大排列，第3个数就是这组数的中位数．
【详解】将这5个数从小到大排列：20、22、23、24、25，
第3个数 为23，
则这组数的中位数为：23，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了中位数的定义，充分理解中位数的定义是解答本题的基础．
12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用数轴可得出 ，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得： ，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
13. 如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方
形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】连接 ，根据正六边形的特点可得 ，根据含30度角的直角三角形的性
质即可求解．
学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，连接 ，
正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上
正六边形每个内角为 ， 为对称轴
则
则 ，
正方形BMGH的边长为6
，
设 ，则
解得
故答案为：4
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌
握以上知识是解题的关键．
14. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边
分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而
得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图
原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
学科网（北京）股份有限公司【答案】127
【解析】
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案 为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
15. 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值
范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）
可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴- ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二
次函数与方程的关系．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
16. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式
的化简计算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二
次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，
过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证： ≌ ；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形AODF为矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；
（2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵E是AD的中点，
学科网（北京）股份有限公司∴AE=DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD=∠ADF，
∵∠AEO=∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）；
【小问2详解】
解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三
角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
19. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，
决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个
足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500
元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元
（2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球 30个，足球20个；方案二：篮球31个，
足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【解析】
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共
需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从
而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得： ，解得 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：设采购篮球x个，则采购足球为（50-x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴ ，
解得30≤x≤33 ，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是
明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
20. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年
对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统
计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下
统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样
滑冰运动的学生有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将
从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中
恰有一项为自由式滑雪C的概率．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）100，800
（2）补全条形统计图见解析
（3）树状图见解析，抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率为
【解析】
【分析】（1）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用
2000乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解；
（2）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解；
（3）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，
抽到项目中恰有一个项目为自由式滑雪C的有6种等可能结果．再根据概率公式计算，即
可求解．
【小问1详解】
解：调查的总人数为 人；
人；
故答案为：100，800
【小问2详解】
解：单板滑雪的人数为 人，
自由式滑雪的人数为 人，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：根据题意，画出树状图如下：
从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个项目为自由
学科网（北京）股份有限公司式滑雪C的有6种等可能结果．
∴抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表
法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎
点”．例如 ， 都是“黎点”．
（1）求双曲线 上的“黎点”；
（2）若抛物线 （a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当 时，求
c的取值范围．
【答案】（1） 上的“黎点”为 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）设双曲线 上的“黎点”为 ，构建方程求解即可；
（2）抛物线 （a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程
有且只有一个解， ，可得结论．
【小问1详解】
设双曲线 上的“黎点”为 ，
则有 ，解得 ，
∴ 上的“黎点”为 ， ．
【小问2详解】
∵抛物线 上有且只有一个“黎点”，
∴方程 有且只有一个解，
即 ， ， ，
∴ ．
∵ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理
解题意，学会用转化的思想思考问题．
22. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，
在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角 ，台阶AB长26米，台阶坡面
AB的坡度 ，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角 ，则塔顶到地
面的高度EF约为多少米．
（参考数据： ， ， ，
）
【答案】塔顶到地面的高度EF约为47米
【解析】
【分析】延长EF交AG于点H，则 ，过点B作 于点P，则四边形
BFHP为矩形，设 ，则 ，根据解直角三角形建立方程求解即可．
【详解】如图，延长EF交AG于点H，则 ，
过点B作 于点P，则四边形BFHP为矩形，
∴ ， ．
由 ，可设 ，则 ，
由 可得 ，
解得 或 （舍去），
∴ ， ，
设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司在 中 ，
即 ，则 ①
在 中， ，
即 ②
由①②得 ， ．
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的
关键．
23. 已知一次函数 （a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数 交于B、
C两点，B点的横坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当 时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出 ACD的面积．
【答案】（1） ，画图象见解析 △
（2）点C的坐标为（3，2）；当 时， 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y= 的图象上，可以求得点B的坐
2
标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出
当y＜y 时对应自变量x的取值范围；
1 2
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐
学科网（北京）股份有限公司标，即可计算出 ACD的面积．
【小问1详解】
△
解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y= 的图象上，
2
∴y= =-3，
2
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y=ax-1的图象上，
1
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
【小问2详解】
解：解方程组 ，
解得 或 ，
∵一次函数y=ax-1（a为常数）与反比例函数y= 交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
1 2
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y＜y 时对应自变量x 取的值范围是x＜-2或0＜x＜3；
1 2
【小问3详解】
学科网（北京）股份有限公司解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S =S +S = =2，
ACD ADE DEC
△ △ △
即 ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用
△
数形结合的思想解答．
24. 如图， 是 的外接圆，点O在BC上， 的角平分线交 于点D，连
接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是 的切线；
（2）求证： ∽ ；
（3）若 ， ，求点O到AD的距离．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点O到AD的距离为
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明 ，则 ，即可得证；
（2）由 ， ，可得 ，根据四边形ABDC为圆内接
四边形，又 ，可得 ，即可证明 ∽
；
（3）过点O作 于点E，由 ∽ ，根据相似三角形的性质可求得
，证明 ∽ ，继而求得 ，在 中，利用勾股定理即可求
解．
【小问1详解】
证明：连接OD，
∵AD平分 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
又∵BC为直径，
∴O为BC中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵OD为半径，
∴PD是 的切线；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABDC为圆内接四边形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ∽ ．
【小问3详解】
过点O作 于点E，
∵BC为直径，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
由（2）知 ∽ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
又∵ ， ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴点O到AD的距离为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判
定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，其中点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为 边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为 ，
求 周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、
N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d， 面积为 ，当 为等腰三
角形时，求点N的坐标．
【答案】（1）
（2） 周长的最小值为
（3）N的坐标为 或 或
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）设 为D关于直线 的对称点， 为D关于直线BC的对称点，连接 、
、 ，由对称的性质可知当 、E、F、 在同一直线上时， 的周长最小，
最小值为 的长度，再证明 为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；
（3）连接BM，表示出 ，可证 ，再求出直线BC的解析式为
，直线AM的解析式为 ，可得M的坐标 ，设N的坐标为 ，
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，则得
， ， ，根据等腰三角形的
性质，分类讨论① 时，② 时，③ 时，分别计算即可．
【小问1详解】
∵ ， 在 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
如图，设 为D关于直线 的对称点， 为D关于直线BC的对称点，
连接 、 、 ，
学科网（北京）股份有限公司由对称的性质可知 ， ，
的周长为 ，
∴当 、E、F、 在同一直线上时， 的周长最小，最小值为 的长度．
令 ，则 ，解得 ， ．
∴B的坐标为 ，
∴ ， 为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分 ，且D的坐标为 ，
∴ ．
又∵D、 关于x对称，
∴ ，
∴ ，
∴ 周长的最小值为 ．
【小问3详解】
∵M到x轴的距离为d， ，连接BM，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司设直线BC 解析式为 ，则 ，
的
∴
∴直线BC的解析式为 ，
∴设直线AM的解析式为 ．
∵ ，
∴设直线AM的解析式为 ，
，解得 ， ，
∴M的坐标 ．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为 ．
∵ ， ， ，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得 ， ， ，
∵ 为等腰三角形
① 时， ，
解得 ， ．
学科网（北京）股份有限公司② 时， ，
解得 ， ．
③ 时， ，解得 ．
∵N在第一象限，
∴ ，
∴t的取值为 ， ， ，
∴N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，待定系数法求二次函数解析式，对称的性质，
等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式，熟练掌握知识点是解题
的关键．
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