文档内容
2016 年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2=x6 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x6 D．x2﹣y2=（x﹣y）2
3．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A． B． C． D．
4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花
果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
5． 的运算结果应在哪两个连续整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
6．我市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全
班50名同学筹款情况如下表：
筹款金额（元） 5 10 15 20 25 30
人数 3 7 11 11 13 5
则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．11，20 B．25，11 C．20，25 D．25，20
7．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 ，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若
点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
1A．2 ﹣ π B．4 ﹣ π C．2 ﹣ π D． π
9．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O
重合，折痕MN恰好过点G若AB= ，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（ ）
A． B． C． ﹣ D．2 ﹣
10．已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x，m）、B（x+n，m）两点，则m、
1 1
n的关系为（ ）
A．m= n B．m= n C．m= n2 D．m= n2
二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ．
13．已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第
象限．
14．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，
与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
215．设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，﹣7，
b…，则b= ．
16．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且
AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：
①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为 ；
④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题．（本大题共8小题，共72分）
17．化简：（1+ ）÷ ．
318．近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2016年某省对新能源汽车中的“插电
式混合动力汽车”实行每辆3万元的补助，小刘对该省2016年“纯电动乘用车”和“插电
式混合动力车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，
该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？
注：R为纯电动续航行驶里程，图中A表示“纯电动乘用车”，B表示“纯电动乘用车”，C表
示“纯电动乘用车”（R≥250km），D为“插电式混合动力汽车”．
19．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治
理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，
如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．
20．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
4（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=
（k≠0，x＞0）过点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．
22．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正
西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北
偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
5（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏
东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
23．在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB
上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．
24．已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣ ，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）
作MN⊥x轴于点N，连接OM．
6（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、
M′O′与直线AC分别交于点E、F．
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段
EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
2016 年四川省资阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 3 0 分）
1．﹣2 的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2 的倒数是﹣ ．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2=x6B．x2•x3=x6C．（x2）3=x6D．x2﹣y2=（x﹣y）2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和公式法进行因
式分解对各个选项进行判断即可．
【解答】解：x4与 x2不是同类项，不能合并，A 错误；
x2•x3=x5，B 错误；
（x2）3=x6，C 正确；
x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），D 错误，
故选：C．
73．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，
∴C 符合题意．
故选 C．
4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小
的无花果，质量只有 0.000000076 克，将数 0.000000076 用科学记数法表示为（
）
A．7.6×10﹣9B．7.6×10﹣8C．7.6×109D．7.6×108
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较
大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为
零的数字前面的 0 的个数所决定．
【解答】解：将 0.000000076 用科学记数法表示为 7.6×10﹣8，
故选：B．
5． 的运算结果应在哪两个连续整数之间（ ）
A．2 和 3 B．3 和 4 C．4 和 5 D．5 和 6
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据无理数的大小比较方法得到 ＜ ＜ ，即可解答．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
即 5＜ ＜6，
∴ 的运算结果应在 5 和 6 两个连续整数之间．
故选：D．
6．我市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育
器材，全班 50 名同学筹款情况如下表：
筹款金额
5 10 15 20 25 30
（元）
人数 3 7 11 11 13 5
则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．11，20 B．25，11 C．20，25 D．25，20
【考点】众数；中位数．
【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或
最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：在这一组数据中 25 元是出现次数最多的，故众数是 25 元；
8将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是 20、20，那么由中位数
的定义可知，这组数据的中位数是 20；
故选：D．
7．如图，两个三角形的面积分别是 9，6，对应阴影部分的面积分别是 m，n，则 m﹣n
等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【考点】三角形的面积．
【分析】设空白出的面积为 x，根据题意列出关系式，相减即可求出 m﹣n 的值．
【解答】解：设空白出图形的面积为 x，
根据题意得：m+x=9，n+x=6，
则 m﹣n=9﹣6=3．
故选 B．
8．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 ，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交 AB
于点 D，若点 D 为 AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 ﹣ π B．4 ﹣ π C．2 ﹣ π D． π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据点 D 为 AB 的中点可知 BC=BD= AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由
锐角三角函数的定义求出 BC 的长，根据 S =S ﹣S 即可得出结论．
阴影 △ABC 扇形CBD
【解答】解：∵D 为 AB 的中点，
∴BC=BD= AB，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=2 ，
∴BC=AC•tan30°=2 • =2，
∴S =S ﹣S = ×2 ×2﹣ =2 ﹣ π．
阴影 △ABC 扇形CBD
故选 A．
9．如图，矩形 ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点 O，且 EG∥BC，将矩形折叠，使点
C 与点 O 重合，折痕 MN 恰好过点 G 若 AB= ，EF=2，∠H=120°，则 DN 的长为（ ）
9A． B． C． ﹣ D．2 ﹣
【考点】矩形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】延长 EG 交 DC 于 P 点，连接 GC、FH，则△GCP 为直角三角形，证明四边形 OGCM
为菱形，则可证 OC=OM=CM=OG= ，由勾股定理求得 GP 的值，再由梯形的中位线定
理 CM+DN=2GP，即可得出答案．
【解答】解：长 EG 交 DC 于 P 点，连接 GC、FH；如图所示：
则 CP=DP= CD= ，△GCP 为直角三角形，
∵四边形 EFGH 是菱形，∠EHG=120°，
∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，
∴OG=GH•sin60°=2× = ，
由折叠的性质得：CG=OG= ，OM=CM，∠MOG=∠MCG，
∴PG= = ，
∵OG∥CM，
∴∠MOG+∠OMC=180°，
∴∠MCG+∠OMC=180°，
∴OM∥CG，
∴四边形 OGCM 为平行四边形，
∵OM=CM，
∴四边形 OGCM 为菱形，
∴CM=OG= ，
根据题意得：PG 是梯形 MCDN 的中位线，
∴DN+CM=2PG= ，
∴DN= ﹣ ；
故选：C．
10．已知二次函数 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且图象过 A（x ，m）、B（x +n，m）
1 1
两点，则 m、n 的关系为（ ）
10A．m= n B．m= n C．m= n2D．m= n2
【考点】抛物线与 x 轴的交点．
【分析】由“抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点”推知 x=﹣ 时，y=0．且 b2﹣
4c=0，即 b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点 A、B 关于对称轴对称，故 A（﹣
﹣ ，m），B（﹣ + ，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，
∴当 x=﹣ 时，y=0．且 b2﹣4c=0，即 b2=4c．
又∵点 A（x ，m），B（x +n，m），
1 1
∴点 A、B 关于直线 x=﹣ 对称，
∴A（﹣ ﹣ ，m），B（﹣ + ，m），
将 A 点坐标代入抛物线解析式，得 m=（﹣ ﹣ ）2+（﹣ ﹣ ）b+c，即 m= ﹣
+c，
∵b2=4c，
∴m= n2，
故选 D．
二、填空题．（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 x≧ 2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据式子 有意义的条件为 a≥0 得到 x﹣2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为 x≥2．
12．如图，AC 是正五边形 ABCDE 的一条对角线，则∠ACB= 36° ．
【考点】多边形内角与外角．
11【分析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内
角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=÷2=36°；
故答案为：36°．
13．已知关于 x 的方程 mx+3=4 的解为 x=1，则直线 y=（m﹣2）x﹣3 一定不经过第
一 象限．
【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】关于 x 的方程 mx+3=4 的解为 x=1，于是得到 m+3=4，求得 m=1，得到直线 y=
﹣x﹣3，于是得到结论．
【解答】解：∵关于 x 的方程 mx+3=4 的解为 x=1，
∴m+3=4，
∴m=1，
∴直线 y=（m﹣2）x﹣3 为直线 y=﹣x﹣3，
∴直线 y=（m﹣2）x﹣3 一定不经过第一象限，
故答案为：一．
14．如图，在 3×3 的方格中，A、B、C、D、E、F 分别位于格点上，从 C、D、E、F 四点中任
取一点，与点 A、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
【考点】概率公式；等腰三角形的判定．
【分析】根据从 C、D、E、F 四个点中任意取一点，一共有 4 种可能，选取 D、C、F 时，所
作三角形是等腰三角形，即可得出答案．
【解答】解：根据从 C、D、E、F 四个点中任意取一点，一共有 4 种可能，选取 D、C、F 时，
所作三角形是等腰三角形，
故 P（所作三角形是等腰三角形）= ；
故答案为： ．
15．设一列数中相邻的三个数依次为 m、n、p，且满足 p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣
2，a，﹣7，b…，则 b= 12 8 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据题意求出 a，再代入关系式即可得出 b 的值．
【解答】解：根据题意得：a=32﹣（﹣2）=11，
则 b=112﹣（﹣7）=128．
12故答案为：128．
16．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，CO⊥AB 于点 O，点 D、E 分别在边 AC、
BC 上，且 AD=CE，连结 DE 交 CO 于点 P，给出以下结论：
①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若 AC=1，则四边形 CEOD 的面积为
；④ AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．
【考点】勾股定理；四点共圆．
【分析】①正确．由 ADO≌△CEO，推出 DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断．
②正确．由 D、C、E、O 四点共圆，即可证明．
③正确．由 S = ×1×1= ，S =S +S =S +S =S = S 即
△ABC 四边形DCEO △DOC △CEO △CDO △ADO △AOC △ABC
可解决问题．
④正确．由 D、C、E、O 四点共圆，得 OP•PC=DP•PE，所以
2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，由△OPE∽△OEC，得到 = ，
即可得到 2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明．
【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB
∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，
在△ADO 和△CEO 中，
，
∴△ADO≌△CEO，
∴DO=OE，∠AOD=∠COE，
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴△DOE 是等腰直角三角形．故①正确．
②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，
∴D、C、E、O 四点共圆，
∴∠CDE=∠COE，故②正确．
③正确．∵AC=BC=1，
∴S = ×1×1= ，S =S +S =S +S =S = S = ，
△ABC 四边形DCEO △DOC △CEO △CDO △ADO △AOC △ABC
故③正确．
④正确．∵D、C、E、O 四点共圆，
∴OP•PC=DP•PE，
∴2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，
13∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，
∴△OPE∽△OEC，
∴ = ，
∴OP•OC=OE2，
∴2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，
∵CD=BE，CE=AD，
∴AD2+BE2=2OP2+2DP•PE，
∴AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE．
故④正确．
三、解答题．（本大题共 8 小题，共 72 分）
17．化简：（1+ ）÷ ．
【考点】分式的混合运算．
【分析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可．
【解答】解：原式= ÷
= •
=a﹣1．
18．近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2016 年某省对新能源汽车中
的“插电式混合动力汽车”实行每辆 3 万元的补助，小刘对该省 2016 年“纯电动乘
用车”和“插电式混合动力车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不
完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助 4.5 千万元用于推广上述两大类产品，请
你预测，该省 16 年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？
注：R 为纯电动续航行驶里程，图中 A 表示“纯电动乘用车”，B 表示“纯电动乘用
车”，C 表示“纯电动乘用车”（R≥250km），D 为“插电式混合动力汽车”．
14【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）首先由 A 的数目和其所占的百分比可求出总数，进而可求出 D 的数目，
问题得解；
（2）由 D 的数目先求出它所占的百分比，再用百分比乘以 360°，即可解答；
（3）计算出补贴 D 类产品的总金额，再除以每辆车的补助可得车的数量．
【解答】解：（1）补贴总金额为：4÷20%=20（千万元），
则 D 类产品补贴金额为：20﹣4﹣4.5﹣5.5=6（千万元），补全条形图如图：
（2）360°× =108°，
答：“D”所在扇形的圆心角的度数为 108°；
（3）根据题意，16 年补贴 D 类“插电式混合动力汽车”金额为：6+4.5× =7.35
（千万元），
∴7350÷3=2450（辆），
答：预测该省 16 年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”2450 辆．
19．某大型企业为了保护环境，准备购买 A、B 两种型号的污水处理设备共 8 台，用于
同时治理不同成分的污水，若购买 A 型 2 台、B 型 3 台需 54 万，购买 A 型 4 台、B 型 2
台需 68 万元．
（1）求出 A 型、B 型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台 A 型设备一个月可处理污水 220 吨，一台 B 型设备一个月可处理污
水 190 吨，如果该企业每月的污水处理量不低于 1565 吨，请你为该企业设计一种最
省钱的购买方案．
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据题意结合购买 A 型 2 台、B 型 3 台需 54 万，购买 A 型 4 台、B 型 2 台
需 68 万元分别得出等式求出答案；
15（2）利用该企业每月的污水处理量不低于 1565 吨，得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设 A 型污水处理设备的单价为 x 万元，B 型污水处理设备的单价为 y
万元，根据题意可得：
，
解得： ．
答：A 型污水处理设备的单价为 12 万元，B 型污水处理设备的单价为 10 万元；
（2）设购进 a 台 A 型污水处理器，根据题意可得：
220a+190（8﹣a）≥1565，
解得：a≥1.5，
∵A 型污水处理设备单价比 B 型污水处理设备单价高，
∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，
∴购进 2 台 A 型污水处理设备，购进 6 台 B 型污水处理设备最省钱．
20．如图，在⊙O 中，点 C 是直径 AB 延长线上一点，过点 C 作⊙O 的切线，切点为 D，连
结 BD．
（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若 CM 平分∠ACD，且分别交 AD、BD 于点 M、N，当 DM=1 时，求 MN 的长．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得
∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
根据勾股定理可求得 MN 的长．
【解答】解：（1）如图，连接 OD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD 与⊙O 相切于点 D，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
16∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM 平分∠ACD，
∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，
∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，DM=1，
∴DN=DM=1，
∴MN= = ．
21．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 A、B、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），
双曲线 y= （k≠0，x＞0）过点 D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）作直线 AC 交 y 轴于点 E，连结 DE，求△CDE 的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据在平行四边形 ABCD 中，点 A、B、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、
（3，3），可以求得点 D 的坐标，又因为双曲线 y= （k≠0，x＞0）过点 D，从而可以求
得 k 的值，从而可以求得双曲线的解析式；
（2）由图可知三角形 CDE 的面积等于三角形 EDA 与三角形 ADC 的面积之和，从而可
以解答本题．
【解答】解：（1）∵在平行四边形 ABCD 中，点 A、B、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、
（3，3），
∴点 D 的坐标是（1，2），
∵双曲线 y= （k≠0，x＞0）过点 D，
∴2= ，得 k=2，
即双曲线的解析式是：y= ；
（2）∵直线 AC 交 y 轴于点 E，
∴S =S +S = ，
△CDE △EDA △ADC
17即△CDE 的面积是 3．
22．如图，“中国海监 50”正在南海海域 A 处巡逻，岛礁 B 上的中国海军发现点 A 在
点 B 的正西方向上，岛礁 C 上的中国海军发现点 A 在点 C 的南偏东 30°方向上，已知
点 C 在点 B 的北偏西 60°方向上，且 B、C 两地相距 120 海里．
（1）求出此时点 A 到岛礁 C 的距离；
（2）若“中海监 50”从 A 处沿 AC 方向向岛礁 C 驶去，当到达点 A′时，测得点 B 在
A′的南偏东 75°的方向上，求此时“中国海监 50”的航行距离．（注 ：结果保留根
号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120 海里，再利用 cos30°= ，进而
求出答案；
（2）根据题意结合已知得出当点 B 在 A′的南偏东 75°的方向上，则 A′B 平分
∠CBA，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）如图所示：延长 BA，过点 C 作 CD⊥BA 延长线与点 D，
由题意可得：∠CBD=30°，BC=120 海里，
则 DC=60 海里，
故 cos30°= = = ，
解得：AC=40 ，
答：点 A 到岛礁 C 的距离为 40 海里；
（2）如图所示：过点 A′作 A′N⊥BC 于点 N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，
则∠2=15°，即 A′B 平分∠CBA，
设 AA′=x，则 A′E= x，
故 CA′=2A′N=2× x= x，
∵ x+x=40 ，
∴解得：x=20（ ﹣1），
答：此时“中国海监 50”的航行距离为 20（ ﹣1）海里．
1823．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转到 Rt△ADE 的位置，点 E
在斜边 AB 上，连结 BD，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．
（1）如图 1，若点 F 与点 A 重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图 2，当点 F 在线段 CA 的延长线上时，判断线段 AF 与线段 BE 的数量关系，并说
明理由；
②当点 F 在线段 CA 上时，设 BE=x，请用含 x 的代数式表示线段 AF．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）由旋转得到∠BAC=∠BAD，而 DF⊥AC，从而得出∠ABC=45°，最后判断
出△ABC 是等腰直角三角形；
（2）①由旋转得到∠BAC=∠BAD，再根据∠DAF=∠DBA，从而求出
∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；
②根据题意画出图形，先求出角度，得到△ABD 是顶角为 36°的等腰三角形，再用相
似求出， ，最后判断出△AFD∽△BED，代入即可．
【解答】解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=CB，
（2）①由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠DAF=∠ABD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥BB，
∴∠BAC=∠ABD，
19∵∠ABD=∠FAD
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°，
由旋转得，AB=AD，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AD=BD，
在△AFD 和△BED 中，
，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE，
②如图，
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，
由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，
∴∠BAD=36°，
设 BD=x，作 BG 平分∠ABD，
∴∠BAD=∠GBD=36°
∴AG=BG=BC=x，
∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，
∵∠BDG=∠ADB，
∴△BDG∽△ADB，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，
∴△AFD∽△BED，
∴ ，
20∴AF= = x．
24．已知抛物线与 x 轴交于 A（6，0）、B（﹣ ，0）两点，与 y 轴交于点 C，过抛物线上
点 M（1，3）作 MN⊥x 轴于点 N，连接 OM．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图 1，将△OMN 沿 x 轴向右平移 t 个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，
MN′、M′O′与直线 AC 分别交于点 E、F．
①当点 F 为 M′O′的中点时，求 t 的值；
②如图 2，若直线 M′N′与抛物线相交于点 G，过点 G 作 GH∥M′O′交 AC 于点 H，试
确定线段 EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 t 的值；若不存在，请
说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线解析式为 y=a（x﹣6）（x+ ），把点 M（1，3）代入即可求出 a，进
而解决问题．
（2））①如图 1 中，AC 与 OM 交于点 G．连接 EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出
OM⊥AC，在 RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
②由△GHE∽△AOC 得 = = ，所以 EG 最大时，EH 最大，构建二次函数求出 EG
的最大值即可解决问题．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x﹣6）（x+ ），把点 M（1，3）代入得 a=﹣
，
∴抛物线解析式为 y=﹣ （x﹣6）（x+ ），
∴y=﹣ x2+ x+2．
（2）①如图 1 中，AC 与 OM 交于点 G．连接 EO′．
21∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，
∴ = =3，
∴ = ，∵∠AOC=∠MON=90°，
∴△AOC∽△MNO，
∴∠OAC=∠NMO，
∵∠NMO+∠MON=90°，
∴∠MON+∠OAC=90°，
∴∠AGO=90°，
∴OM⊥AC，
∵△M′N′O′是由△MNO 平移所得，
∴O′M′∥OM，
∴O′M′⊥AC，
∵M′F=FO′，
∴EM′=EO′，
∵EN′∥CO，
∴ = ，
∴ = ，
∴EN′= （5﹣t），
在 RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′= （5﹣t），EO′=EM′= + t，
∴（ + t）2=1+（ ﹣ t）2，
∴t=1．
②如图 2 中，
22∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，
∴GH⊥AC，
∴∠GHE=90°，
∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，
∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，
∴△GHE∽△AOC，
∴ = = ，
∴EG 最大时，EH 最大，
∵EG=GN′﹣EN′=﹣ （t+1）2+ （t+1）+2﹣ （5﹣t）=﹣ t2+ t+ =﹣
（t﹣2）2+ ．
∴t=2 时，EG 最大值= ，
∴EH 最大值= ．
∴t=2 时，EH 最大值为 ．
23
