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四川省巴中市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣1+3的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．（3分）毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校，现用一个正方体盒子进行包装，
六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对
的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a（b﹣1）=ab﹣a
C．3a﹣1= D．（3a2﹣6a+3）÷3=a2﹣2a
4．（3分）2017年四川省经济总量达到3.698万亿元，居全国第6位，在全国发展大局中具有
重要地位．把3.698万亿用科学记数法表示（精确到0.1万亿）为（ ）
A．3.6×1012 B．3.7×1012 C．3.6×1013 D．3.7×1013
5．（3分）在创建平安校园活动中，九年级一班举行了一次“安全知识竞赛”活动，第一小组
6名同学的成绩（单位：分）分别是：87，91，93，87，97，96，下列关于这组数据说正确的是（
）
A．中位数是90 B．平均数是90 C．众数是87 D．极差是9
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列
1结论：① = ；② = ；③ = ；④ = ．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当
球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离
地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
8．（3分）若分式方程 + = 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
9．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等
于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
210．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径
画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于
点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。将正确答案直接写在答题卡相应的位
置上）
11．（3分）函数y= + 中自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：2a3﹣8a= ．
13．（3分）已知|sinA﹣ |+ =0，那么∠A+∠B= ．
14．（3分）甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S
甲
2=3.7，S 2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 ．
乙
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，
且EF∥CD．若EF=2，则AB= ．
16．（3分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．
317．（3分）把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
18．（3分）不等式组 的整数解是x= ．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的
阴影部分的面积为 ．
20．（3分）对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则
m2+n2= ．
三、解答题（本大题共11小题，共90分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上）
21．（5分）计算： +（﹣ ）﹣1+|1﹣ |﹣4sin45°．
22．（5分）解方程：3x（x﹣2）=x﹣2．
23．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x=﹣ ．
24．（8分）如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，
▱
交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
25．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，
﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△ABC，并写出A 点的坐标： ；
1 1 1 1
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△ABC，并写出A 点的
2 2 2 2
坐标： ．
426．（10分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分
搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黑
球”是 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取
两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或
画树状图法加以说明．
27．（10分）如图所示，四边形ABCD是菱形，边BC在x轴上，点A（0，4），点B（3，0），双曲线
y= 与直线BD交于点D、点E．
（1）求k的值；
（2）求直线BD的解析式；
（3）求△CDE的面积．
28．（8分）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅
共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设
购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
5（3）求出总费用最少的购置方案．
29．（8分）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B
两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离
AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
30．（10分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作
CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．
31．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒 个单位的速度向点C运动，
同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两
点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t
（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？
67参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣1+3的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣1+3=2，
故选：D．
2．（3分）毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校，现用一个正方体盒子进行包装，
六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对
的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能是（ ）
A． B． C． D ．
【解答】解：选项D不可能．
理由：选项D，围成的立方体如图所示，不符合题意，
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a（b﹣1）=ab﹣a
C．3a﹣1= D．（3a2﹣6a+3）÷3=a2﹣2a
【解答】解：A、a2、a3不是同类项，不能合并，错误；
B、a（b﹣1）=ab﹣a，正确；
8C、3a﹣1= ，错误；
D、（3a2﹣6a+3）÷3=a2﹣2a+1，错误；
故选：C．
4．（3分）2017年四川省经济总量达到3.698万亿元，居全国第6位，在全国发展大局中具有
重要地位．把3.698万亿用科学记数法表示（精确到0.1万亿）为（ ）
A．3.6×1012 B．3.7×1012 C．3.6×1013 D．3.7×1013
【解答】解：3.698万亿=3.698×1012≈3.7×1012
故选：B．
5．（3分）在创建平安校园活动中，九年级一班举行了一次“安全知识竞赛”活动，第一小组
6名同学的成绩（单位：分）分别是：87，91，93，87，97，96，下列关于这组数据说正确的是（
）
A．中位数是90 B．平均数是90 C．众数是87 D．极差是9
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：87，87，91，93，96，97，
则中位数是（91+93）÷2=92，
平均数是（87+87+91+93+96+97）÷6=91 ，
众数是87，
极差是97﹣87=10．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列
结论：① = ；② = ；③ = ；④ = ．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且 = ，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴ = = = ，①错误；
=（ ）2= ，③错误；
∵ = = = ，
∴ = ，④正确；
故选：B．
7．（3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当
球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离
地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
10∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
8．（3分）若分式方程 + = 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x=2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，﹣a=﹣4，
解得，a=4，
当x=2时，6﹣a+2=0，
解得，a=8，
11故选：D．
9．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等
于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ = ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： =2 ．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径
画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于
点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
【解答】解：根据作图的步骤得到：EF是∠CBG的角平分线，
12A、因为EF是∠CBG的角平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；
B、AF是直角△AFG的斜边，AF＞AG，故本选项错误；
C、EF是∠CBG的角平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本选项
错误；
D、当Rt△ABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。将正确答案直接写在答题卡相应的位
置上）
11．（3分）函数y= + 中自变量x的取值范围是 x ≥ 1 且 x ≠ 2 ．
【解答】解：由题意得 ，
解得：x≥1且x≠2，
故答案为：x≥1且x≠2．
12．（3分）分解因式：2a3﹣8a= 2 a （ a + 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
13．（3分）已知|sinA﹣ |+ =0，那么∠A+∠B= 90° ．
【解答】解：由题意可知：sinA= ，tanB= ，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°
故答案为：90°
14．（3分）甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S
甲
2=3.7，S 2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 甲 ．
乙
【解答】解：∵S 2=3.7，S 2=6.25，
甲 乙
∴S 2＜S 2，
甲 乙
∴两人中成绩较稳定的是甲，
13故答案为：甲．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，
且EF∥CD．若EF=2，则AB= 8 ．
【解答】解：∵E是AC中点，且EF∥CD，
∴EF是△ACD的中位线，
则CD=2EF=4，
在Rt△ABC中，∵D是AB中点，
∴AB=2CD=8，
故答案为：8．
16．（3分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= 40°
．
【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
而∠BOC=110°，
14∴90°+ ∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
17．（3分）把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 y =（ x﹣
3 ） 2 + 2 ．
【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，
故答案为：y=（x﹣3）2+2
18．（3分）不等式组 的整数解是x= ﹣ 4 ．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤﹣4，
解不等式②得：x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，
∴不等式组的整数解为x=﹣4，
故答案为：﹣4．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的
阴影部分的面积为 8﹣2π ．
【解答】解：∵半圆的直径AD=4，且与BC相切，
∴半径为2，AB=2，
∴图中的阴影部分的面积为4×2﹣ •π•22=8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
1520．（3分）对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则
m2+n2= 6 ．
【解答】解：∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，
∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共11小题，共90分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上）
21．（5分）计算： +（﹣ ）﹣1+|1﹣ |﹣4sin45°．
【解答】解： +（﹣ ）﹣1+|1﹣ |﹣4sin45°
=2 ﹣3+ ﹣1﹣4×
=2 ﹣3+ ﹣1﹣2
= ﹣4．
22．（5分）解方程：3x（x﹣2）=x﹣2．
【解答】解：3x（x﹣2）=x﹣2，
移项得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0
整理得：（x﹣2）（3x﹣1）=0
x﹣2=0或3x﹣1=0
解得：x=2或x=
1 2
23．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x=﹣ ．
【解答】解：原式= • = ，
当x=﹣ 时，原式=2．
1624．（8分）如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，
▱
交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN= = =13．
25．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，
﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△ABC，并写出A 点的坐标： （﹣ 3 ， 3 ） ；
1 1 1 1
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△ABC，并写出A 点的
2 2 2 2
坐标： （ 6 ， 6 ） ．
17【解答】解：（1）△ABC如图所示；
（2）△ABC 如图所示；A（﹣3，3），
1 1 1 1
（3）△ABC 如图所示；A（6，6）．
2 2 2 2
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
26．（10分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分
搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是
黑球”是 不可能 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取
两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或
画树状图法加以说明．
【解答】解：（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1
个球是黑球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
18（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是： ；
故答案为： ；
（3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为： = ；
则选择乙的概率为： ，
故此游戏不公平．
27．（10分）如图所示，四边形ABCD是菱形，边BC在x轴上，点A（0，4），点B（3，0），双曲线
y= 与直线BD交于点D、点E．
（1）求k的值；
（2）求直线BD的解析式；
（3）求△CDE的面积．
【解答】解：（1）∵点A（0，4），点B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
19过D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=DC=CD=AD=5，AD∥BC，
∴AO=DF=4，
∵AD∥BC，AO⊥OB，DF⊥x轴，
∴∠DAO=∠AOF=∠DFO=90°，
∴四边形AOFD是矩形，
∴AD=OF=5，
∴D点的坐标为（5，4），
代入y= 得：k=5×4=20；
（2）设直线BD的解析式为y=ax+b，
把B（3，0），D（5，4）代入得： ，
解得：a=2，b=﹣6，
所以直线BD的解析式是y=2x﹣6；
（3）由（1）知：k=20，
所以y= ，
解方程组 得： ， ，
∵D点的坐标为（5，4），
∴E点的坐标为（2，10），
∵BC=5，
∴△CDE的面积S=S +S = + =35．
△CDB △CBE
2028．（8分）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅
共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设
购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
【解答】解：（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知， ，
解得， ，
即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤140），
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤140），
∴当x=140时，总费用最少，
即：购买A型桌椅140套，购买B型桌椅60套，总费用最少，最少费用为134000元．
29．（8分）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B
两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离
AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【解答】解：∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG=45°，
∴EG=CG，
21在Rt△CDG中，
∵∠CDG=30°，∠DCG=60°，
∴DG=CG•tan60°，
则DE=CG•tan60°+CG=10m．
即DE= CG+CG=10．
∴CG=5 ﹣5．
由题意知：GF=1.5m
∴CF=CG+GF=5 ﹣5+1.5=5 ﹣3.5
答：广告牌CD的高为（5 ﹣3.5）m．
30．（10分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作
CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠ADB，
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
22∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵AC=AC，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD=AE；
（2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y，
则BD=（6﹣y），
∵△AEC和△ADB为直角三角形，
∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，
AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，
解得：x= ，y= ，
即AE的长为 ．
31．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒 个单位的速度向点C运动，
同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两
点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t
（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），
23∴OC=2，
由tan∠BCO= =2得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，
得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣2；
（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM= t，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥OC，
∴∠BME=∠BCO，
则tan∠BME=tan∠BCO，即 =2，
∴ = ，即 = ，
则BE=t，
∴OE=OB﹣BE=4﹣t，
∴PE=﹣[ （4﹣t）2﹣ （4﹣t）﹣2]=﹣ （4﹣t）2+ （4﹣t）+2，
①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，
24∵△PNE是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣ （4﹣t）2+ （4﹣t）+2=5﹣3t，
整理，得：t2﹣11t+10=0，
解得：t=1或t=10＞ （舍）；
②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞ ，
又 t 且2t≤5，
∴ ＜t≤ ，
此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，
由PE=NE得﹣ （4﹣t）2+ （4﹣t）+2=3t﹣5，
整理，得：t2+t﹣10=0，
解得：t= ＜0，舍去；或t= ＞ ，舍去；
综上，当t=1时，△PNE是等腰三角形．
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