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四川省眉山市2018年中考数学真题试题
一、选择题
1. 绝对值为1的实数共有（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
【答案】C
【解析】分析：直接利用绝对值的性质得出答案．
详解：绝对值为1的实数有：1，-1共2个．
故选：C．
点睛：此题主要考查了实数的性质以及绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．
2. 据相关报道，开展精准扶贫工作以来，我国约有65000000人摆脱贫困，将65000000用科学记数法表示为
（ ）.
A. 65×106 B. 0.65×108 C. 6.5×106 D. 6.5×107
【答案】D
【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：65000000=6.5×107，
故选：D．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是（ ）.
A. (x+y)2=x2+y2 B. (－ xy2）3=－ x3y6
C. x6÷x3=x2 D. =2
【答案】D
【解析】分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可．
详解：（x+y）2=x2+2xy+y2，A错误；
（- xy2）3=- x3y6，B错误；
x6÷x3=x3，C错误；
1= =2，D正确；
故选：D．
点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、
积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键．
4. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
详解：A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意；
B、主视图是三角形，故B正确；
故选：B．
点睛：本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
5. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的
一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）.
A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
【答案】C
【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
详解：如图，
2∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选：C．
点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
6. 如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于
（ ）.
【答案】A
【解析】分析：直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角
定理得出答案.
详解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．
故选：A．
点睛：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
7. 某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中
一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（ ）.
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
【答案】B
【解析】分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数
8. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则 的值是（ ）.
3A. B. － C. － D.
【答案】C
【解析】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=- 、αβ=-3，将其代入 = 中即可求出结论．
详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，
∴α+β=- ，αβ=-3，
∴ = = = ．
故选：C．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于- 、两根之积等于 是解题的关键．
9. 下列命题为真命题的是（ ）.
A. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B. 相似三角形面积之比等于相似比
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
【答案】A
【解析】分析：根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、菱形的判定定理、中点四边形的性质判断
即可．
详解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，A是真命题；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，B是假命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；
顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，D是假命题；
故选：A．
点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是
要熟悉课本中的性质定理．
10. 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持
币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销
售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
4A. 8% B. 9% C. 10% D. 11%
【答案】C
【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关
系建立方程求出其解即可．
详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x=0.1，x=1.9（舍去）．
1 2
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时
根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
11. 已知关于x的不等式组 仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）.
A. ≤a＜1 B. ≤a≤1 C. ＜a≤1 D. a＜1
【答案】A
【解析】分析：根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案。
详解：由x＞2a-3，
由2x＞3（x-2）+5，解得：2a-3＜x≤1，
由关于x的不等式组 仅有三个整数：
解得-2≤2a-3＜-1，
解得 ≤a＜1，
故选：A．
点睛：本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
12. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；
②EF=BF；③S =2S ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.
四边形DEBC △EFB
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5【答案】D
【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，
四边形BCFH是菱形即可解决问题；
详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S =S ，
△DFE △CFG
∴S =S =2S ，故③正确，
四边形DEBC △EBG △BEF
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
6∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴
题．
二、填空题
13. 分解因式：x3-9x=________ .
【答案】x（x+3）（x-3）
【解析】试题解析：原式=x（x2﹣9）
=x（x+3）（x﹣3）
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14. 已知点A（x， y)、B(x， y)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x＜x 时，y 与y 的大小
1 1 2 2 1 2 1 2
关系为________.
【答案】y>y
1 2
【解析】分析：直接利用一次函数的性质分析得出答案．
详解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴y随x的增大而减小，
∵x＜x，
1 2
∴y 与y 的大小关系为：y＞y．
1 2 1 2
故答案为：＞．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键．
15. 已知关于x的分式方程 有一个正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k<6且k≠3
【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，
可得答案，并注意分母不分零．
详解： ，
7方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程 有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的
范围是解此题的关键．
16. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到
△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【答案】
【解析】分析：先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB= AC=2 ，再根据旋转的性质得
∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形门口计算，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过
部分（阴影部分）的面积=S -S 进行计算即可．
扇形BAB′ 扇形CAC′
详解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB= AC=2 ，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S +S -S -S
扇形BAB′ △AB′C 扇形CAC′ △ABC
=S -S
扇形BAB′ 扇形CAC′
=
8故答案为 ．
点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考
查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
17. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则
tan∠AOD=________.
【答案】2
【解析】分析：首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：
CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
详解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF= CK，BF= BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF= CF= BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF= =2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
9点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，
注意转化思想与数形结合思想的应用．
18. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（－10,0），对角线AC和OB相交
于点D且AC·OB=160.若反比例函数y= (x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E,则
S ∶S =________ .
△OCE △OAB
【答案】1:5
【解析】分析：作CG⊥AO,BH⊥AO,根据菱形和三角形的面积公式可得S = S =40，从而得OA=10,CG=8,在
△OAC 菱形
Rt△OGE中，根据勾股定理得OG=6，AG=4,即C（-6,8），根据全等三角形的性质和中点坐标公式可得B
（-16,8），D（-8,4），将D代入反比例函数解析式可得k，
设E（a，8），将点E坐标代入反比例函数解析式，可得E（-4，8）；根据三角形面积公式分别求得S 和S
△OCE △OAB
， 从而得S ：S .
△OCE △OAB
详解：作CG⊥AO,BH⊥AO,
∵BO·AC=160，
∴S = ·BO·AC=80，
菱形
∴S = S =40，
△OAC 菱形
∴ ·AO·CG=40，
∵A（-10,0），
∴OA=10,
10∴CG=8,
在Rt△OGE中，
∴OG=6，AG=4,
∴C（-6,8），
∵△BAH≌△COG，
∴BH=CG=8,AH=OG=6,
∴B（-16,8），
∵D为BO的中点，
∴D（-8,4），
又∵D在反比例函数上，
∴k=-8×4=-32，
∵C（-6,8），
∴E（a，8），
又∵E在反比例函数上，
∴8a=-32,
∴a=-4,
∴E（-4，8），
∴CE=2，
∴S = ·CE·CG= ×2×8=8，
△OCE
S = ·OA·BH= ×10×8=40,
△OAB
∴S ：S =8:40=1:5.
△OCE △OAB
故答案为:1:5.
点睛：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互
相垂直平分．
三、解答题（一）
19. 计算：（π-2)°+4cos30°－ －（－ ）－2.
【答案】-3.
【解析】分析：根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式化简，负整数指数幂一一化简计算即可得出答
案.
11详解：原式= ，
= ，
=-3.
点睛：此题主要考查了实数运算，正确把握相关性质是解题关键．
20. 先化简，再求值： ，其中x满足x2－2x－2=0.
【答案】
【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代
入计算可得．
详解：原式=
=
= ，
∵x2-2x-2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
则原式= ．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请
解答下列问题：
12（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△ABC， 并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
②作出△ABC关于原点O对称的△ABC， 并写出点C 的坐标；
2 2 2 2
（2）已知△ABC关于直线l对称的△ABC 的顶点A 的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.
3 3 3 3
【答案】(1)作图见解析，C 的坐标C（-1,2）, C 的坐标C（-3,-2）；（2）y=-x.
1 1 2 2
【解析】分析：（1）①利用正方形网格特征和平移的性质写出A、B、C对应点A、B、C 的坐标，然后在平面直角
1 1 1
坐标系中描点连线即可得到△ABC.
1 1 1
②根据关于原点对称的点的特征得出A、B、C 的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到△ABC.
2 2 2 2 2 2
（2）根据A与A 的点的特征得出直线l解析式.
3
详解：（1）如图所示， C 的坐标C（-1,2）, C 的坐标C（-3,-2）
1 1 2 2
（2）解：∵A（2,4），A（-4，-2），
3
∴直线l的函数解析式：y=-x.
点睛：本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此
可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查
了轴对称变换和平移变换．
22. 知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到
13黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，
导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两
地的距离.（参考数据：sin53°≈ ,cos53°≈ ，tan53°≈ )
【答案】（20-5 ）千米.
【解析】分析：作BD⊥AC，设AD=x，在Rt△ABD中求得BD= x，在Rt△BCD中求得CD= x，由AC=AD+CD建立
关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC= 可得答案．
详解：过点B作BD⊥ AC，
依题可得：∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,
在Rt△ABD中，设AD=x，
∴tan∠ABD=
即tan30°= ，
∴BD= x，
在Rt△DCB中，
14∴tan∠CBD=
即tan53°= ，
∴CD=
∵CD+AD=AC,
∴x+ =13，解得，x=
∴BD=12- ,
在Rt△BDC中，
∴cos∠CBD=tan60°= ,
即：BC= (千米),
故B、C两地的距离为（20-5 ）千米.
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利
用三角函数的知识求解．
23. 为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每
位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完
整统计表和扇形统计图.
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中m=________，n=________；
（2）若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为________人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准
备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率.
【答案】（1）16；20；（2）150；（3） .
15【解析】分析： （1）根据足球的人数和百分比，求出总人数即可解决问题；
（2）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
（3）画出树状图，根据概率公式即可求解．
详解：（1）由统计表和扇形统计图可得：
足球的人数为6人，百分比为15%，
∴总人数为6÷15%=40（人），
∴m=40×40%=16（人），
n%=8÷40=20%.
∴n=20.
（ 2 ）参加羽毛球活动的百分比为：6÷40=15%，
∴该校参加羽毛球活动的人数为：1000×15%=150（人）.
答：该校参加羽毛球活动的人数约为150人.
（3）依题可得：
∴从4人中选出两名同学的所有情况有12种，而一男一女的情况有6种，
则P（恰好选到一男一女）= ．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比
大小．
24. 传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在
20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x
满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x
天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=
16出厂价-成本）
【答案】（1）李明第10天生产的粽子数量为280只.（2）第13天的利润最大，最大利润是578元.
【解析】分析：（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的
关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答.
详解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．
（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；
当10≤x≤20时，设P=kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，
，
解得 ，
∴p=0.1x+1，
①0≤x≤6时，w=（4-2）×34x=68x，当x=6时，w =408（元）；
最大
②6＜x≤10时，w=（4-2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w =560（元）；
最大
③10＜x≤20时，w=（4-0.1x-1）×（20x+80）=-2x2+52x+240，
∵a=-3＜0，
∴当x=- =13时，w =578（元）；
最大
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．
点睛：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函
17数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
四、解答题（二）
25. 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】分析： （1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据
∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知
∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；
（2）设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得
出答案；
（3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由 即可得证．
详解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
18∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵ ，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=± （负值舍去），
∴BC=2a= ；
（3）∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵ ，
∴ ，
∴△MFN∽△BDC．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行
四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
26. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x
轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
19（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等
腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m= 时，四边形AOPE面积最大，最大值为 .（3）P点的坐标为 ：P（ ，
1
），P（ ， ），P（ ， ），P（ ， ）.
2 3 3
【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，
利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图
形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
20把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S =S +S ，
四边形AOPE △AOE △POE
= ×3×3+ PG•AE，
= + ×3×（-m2+5m-3），
=- m2+ m，
= （m- ）2+ ，
∵- ＜0，
∴当m= 时，S有最大值是 ；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
21∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m= 或 ，
∴P的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x= 或 ；
22P的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
综上所述，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二
次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
23
