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2024 年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只
有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1. 下列四个数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的概念，无理数即无限不循环小数，它的表现形式为：开方开不尽的数，与
π有关的数，无限不循环小数．
根据无理数的定义，即可得出符合题意的选项．
【详解】解： ， ， 是有理数， 是无理数，
故选：D．
2. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法
则．
根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方进行判断即可．
【详解】解： 与 不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；，则D不符合题意；
故选：B．
4. 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单
位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，
则中位数是1.5，
1.5出现次数最多，故众数是1.5．
故选：A．
5. 如图，在 中，点 是 的中点， 过点 ，下列结论：① ；② ；
③ ；④ ，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性
质进行判断即可
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，故①③正确，
， ，
点 是 的中点，
，
又 ， ， ，
，
， ，故②不正确，
， ，
，即 ，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故选：C．
6. 不等式组 的解集是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式①，得 ，
故不等式②组的解集为 ．
故选：D．
7. 如图，在 中， ， ，分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径作
弧，两弧交于点 ， ，过点 ， 作直线交 于点 ，连结 ，则 的周长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线 性质即可证明 ，根据
的周长 ，即可求出答案．
【详解】解：由作图知， 垂直平分 ，
，
的周长 ，
， ，
的周长 ，
故选：C．
8. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，
水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为 ，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：B．
9. 如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，把 沿 折叠，点 恰好落在
边上的点 处，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性
质是解题的关键．
根据折叠的性质，可求得 ， ，从而求得 ， ，在 中，由勾股
定理，得 ，即可求得结果．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
把 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，
， ，
，
，
在 中，
，
由勾股定理，得 ，
，
，，
，
故选：A．
10. 定义运算： ，例如 ，则函数 的最小
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最
值即可．
【详解】解：由题意得， ，
即 ，
当 时，函数 的最小值为 ．
故选：B．
11. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等
的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图
2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件
得到 ， ，进而求出 的值，再用分割法求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积为 ；
故选：D．
12. 如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直
线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④若 ，则
，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可
判断 ，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断 ，利用二次函数的最值即可判断 ，求出 ，
① ② ③
进一步得到 ，又根据 得到 ，即可判断④.
【详解】解：① 函数图象开口方向向上，
；
对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，
抛物线与 轴交点在 轴负半轴，，
，故①错误；
② 二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
，
，
时， ，
，
，
，故②正确；
③ 对称轴为直线 ， ，
最小值，
，
∴ ，
故③正确；
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填写在答题卡相
应的位置上．
13. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据多项式的结构特征，先提
公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，综合应用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解决
问题的关键．【详解】解：
，
故答案为： ．
14. 已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为______．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系
数的关系，若一元二次方程 的两根分别为 ， ，则 ， 是解题
的关键．
先根据根于系数的关系得到 ， ，然后把 化简为 然后﹢体代入即
可．
【详解】解： 方程 的两根分别为 ， ，
， ，
．
故答案为： ．
15. 如图，斜坡 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，当太阳光与水平面的夹角
为 时，大树在斜坡上的影子 长为10米，则大树 的高为______米．
【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点 ，设 米， 米，勾股定理求
出 ，解直角三角形求出 ，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点 ，则 ，
在 中， ，
设 米， 米，
，
，
米， 米，
，
（米），
（米），
答：大树 的高度为 米．
故答案为： ．
16. 如图，菱形 的边长为6， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连
结 分别交 ， 于点 ， ，则 的长为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知
识点．
首先根据菱形的性质得到 ， ， ，然后勾股定理求出
， ，然后证明出 ，得到，代数求出 ，然后证明出 ，得到 ，
求出 ，进而求解即可．
【详解】解： 菱形 的边长为 ，
， ， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
17. 已知 （ 且 ）， ，则 的值为
______．【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为 ，
， ，进一步即可求出 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
，
．
故答案为： ．
18. 如图， 内接于 ，点 在 上， 平分 交 于 ，连接 ．若 ，
，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判
定和性质，延长 ， 交于 ，由圆周角定理可得 ，
，进而可证明 ，得到 ，即得 ，利用勾股定理得，再证明 ，得到 ，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关
键．
【详解】解：延长 ， 交于 ，
是 的直径，
， ，
平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
， ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19. 计算： ．
【答案】6
【解析】【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、实数混合运算
等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的
三角函数以及绝对值的性质进行运算，即可获得答案．
【详解】解：
．
20. 解不等式： ，把它的解集表示在数轴上．
【答案】 ，见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求
出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可.
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
21. 为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调
查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为 型， 型， 型， 型）一个月内改造建设高标准农田
的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
型号
亩数 16 20 12利用图中的信息，解决下列问题：
（1）① ______；
②扇形统计图中 的度数为______．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中 型挖掘机改造建设了多少
亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求
出恰好同时抽到 ， 两种型号挖掘机的概率．
【答案】（1） 32， （2）240亩
① ②
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，用样本估计总体，画
树状图求概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）利用 型建设高标准农田的面积除以其所占比得到总数，再利用总数减去 型， 型， 型的面
积，即可得到 型的建设面积， 利用 乘以 型建设面积所占比，即可解题；
（2）利用总数乘以 型所占比，即可解题；
（3）根据题意画出树状图得到总的情况数，再得到抽到 ， 两种型号挖掘机的情况数，利用由概率公
式求解即可．
【小问1详解】
解：① （亩），
；
②扇形统计图中 的度数为 ；
故答案为：32， ；
【小问2详解】
解：根据题意得： （亩），
答：估计其中 型挖掘机改造建设了240亩；
【小问3详解】
解：画树状图得：共有12种等可能的结果，同时抽到 ， 两种型号挖掘机的有2中情况，
同时抽到 ， 两种型号挖掘机的概率为： ．
22. 如图， 是 的直径，点 在 上，点 在 的延长线上， ， 平分
交 于点 ，连结 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判
定是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求
得 ，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到 ，求得 ，连接 ，根据角平
分线的定义得到 ，求得 ，得到 ，根据等腰直角三角形的性质即可
得到结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
解： ， ，
，
，
，
，
，
连接 ，
平分 ，
，
，
，
是 的直径，
，
．
23. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某
商店用 元购进的 款文创产品和用 元购进的 款文创产品数量相同．每件 款文创产品进价比
款文创产品进价多 元．
（1）求 ， 两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知 ， 文创产品每件售价为 元， 款文创产品每件售价为 元，根据市场需求，商店计划
再用不超过 元的总费用购进这两款文创产品共 件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得
的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1） 款文创产品每件的进价 元， 文创产品每件的进价是 元；
（2）购进 款文创产品 件，购进 款文创产品 件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是
元．
【解析】【分析】（ ）设 款文创产品每件的进价 元，则 文创产品每件的进价是 元，根据题意，列
出分式方程即可求解；
（ ）设购进 款文创产品 件，则购进 款文创产品 件，总利润为 ，利用一次一次不等式
求出 的取值范围，再根据题意求出 与 的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关
键．
【小问1详解】
解：设 款文创产品每件的进价 元，则 文创产品每件的进价是 元，
根据题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程 解，
∴
答： 款文创产品每件的进价 元，则 文创产品每件的进价是 元；
【小问2详解】
解：设购进 款文创产品 件，则购进 款文创产品 件，总利润为 ，
根据题意得， ，
解得 ，
又由题意得， ，
， 随 的增大而增大，
当 时，利润最大，
∴购进 款文创产品 件，购进 款文创产品 件，获得的利润最大， ，
答：购进 款文创产品 件，购进 款文创产品 件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是
元．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
， ，与 轴， 轴分别交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，当 周长最小时，请直接写出点 的坐标；（3）将直线 向下平移 个单位长度后与 轴， 轴分别交于 ， 两点，当 时，求 的
值．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为
（2）点 的坐标为
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的
解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得 ，得到反比例函数的表达式为 ，求得 ，解方程组即可
得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接 交y轴于P，则此时， 的周长最小，根据轴对称
的性质得到 ，得到直线 的解析式为 ，当 时， ，于是得到点P的坐标
为 ；
（3）将直线 向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线EF的解析式为
，解方程得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解： 一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ，
，
，
反比例函数的表达式为 ，
把 代入 得，
，
，
，
把 ， 代入 得，
，解得 ，
一次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，
此时， 的周长最小，
点 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ；
【小问3详解】
解：将直线 向下平移 个单位长度后与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
解得 或 ．
25. 综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中
心 处，并绕点 旋转，探究直角三角板与正方形 重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点 处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正
方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为 ，重叠部分的面积为 ，在旋转过程中 与 的关系为______．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点 重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方
形两边于 ， 两点，小宇经过多次实验得到结论 ，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中 角的顶点与点 重合，在旋转过程
中，当三角板的直角边交 于点 ，斜边交 于点 ，且 时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）4；4；（2） ；类比探究：见解析；拓展延伸：
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知
识点，正确作辅助线证明全等是解题的关键．
操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为 （对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积
即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形 是正方形，求解面积即可；
（2）如图，过点 作 于点 ， 于点 ．证明 ，从而证明
，即可求得结论；
类比探究： 先证明 ，从而证明 ，即可证明结论；
拓展延伸：过点 作 于点 ， 于点 ．先证明 ，即可证明
， ，从而证明 ，根据 ，即可求得
，由重叠部分的面积 ，即可求得结
果．
【详解】解：操作发现：（1） 四边形 是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分 面积为 ；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，，
四边形 是矩形，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
四边形 是正方形，
，
四边形 的面积是4，
故答案为：4，4；
（2）如图，过点 作 于点 ， 于点 ．
是正方形 的中心，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，，
．
故答案为： ；
类比探究：
证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
拓展延伸：
过点 作 于点 ， 于点 ．
同（2）可知四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
由（1）可知 ， ，，
，
，
重叠部分的面积
．
26. 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，点 在抛物线
上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点 在第二象限内，且 的面积为3时，求点 的坐标；
（3）在直线 上是否存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2） 的坐标为 或
（3） 的坐标为 或 或 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过 作 轴交 于 ，求出直线 解析式，根据 列式求
解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线 解析式，过 作 轴于 ，过 作 轴于
，分以下情况分别讨论即可：① 与 重合， 与 重合时；②当 在第一象限， 在第四象限时；③
当 在第四象限， 在第三象限时；④当 在第四象限， 在第一象限时．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 得：，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：过 作 轴交 于 ，如图：
由 ， 得直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
的面积为3，
，即 ，
解得 或 ，
的坐标为 或 ；
【小问3详解】
解：在直线 上存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
， ，
由 ， 得直线 解析式为 ，
设 ， ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
① ，
当 与 重合， 与 重合时， 是等腰直角三角形，如图：此时 ；
②当 在第一象限， 在第四象限时，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
解得 （ 小于0，舍去）或 ，
，
坐标为 ；
③当 在第四象限， 在第三象限时，如图：是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
同理可得 ，
解得 或 （大于0，舍去），
，
的坐标为 ；
④当 在第四象限， 在第一象限，如图：
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，，
， ，
，
解得 （舍去）或 ，
，
的坐标为 ；
综上所述， 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三
角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关
键．
