文档内容
2016 年四川省巴中市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
2．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．一种微粒的半径是0.000041米，0.000041这个数用科学记数法表示为（ ）
A．41×10﹣6 B．4.1×10﹣5 C．0.41×10﹣4D．4.1×10﹣4
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2=a2b2 B．a6÷a2=a3
C．（3xy2）2=6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2=﹣m5
5．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S 2=0.4，S
甲 乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
6．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的
比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1
7．不等式组： 的最大整数解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．0 D．﹣1
8．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图
所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
1C．AC=1.2tan10°米 D．AB= 米
9．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，
给出四个结论：
①c＞0；
②若点B（﹣ ，y）、C（﹣ ，y）为函数图象上的两点，则y＜y；
1 2 1 2
③2a﹣b=0；
④ ＜0，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分
11．|﹣0.3|的相反数等于 ．
12．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
13．若a+b=3，ab=2，则（a﹣b）2= ．
14．两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组
新数据的中位数为 ．
15．已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一平面直角坐标系中，直线l：
1
y=x+5与直线l：y=﹣ x﹣1的交点坐标为 ．
2
16．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=55°，则∠A= ．
17．如图， ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是 ．
▱
218．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽
略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为 ．
19．把多项式16m3﹣mn2分解因式的结果是 ．
20．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=
度．
三、解答题：本大题共11个小题，共90分
21．计算：2sin45°﹣3﹣2+（﹣ ）0+| ﹣2|+ ．
22．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及
乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判
断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
23．先化简： ÷（ ﹣ ），然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整
数值代入求值．
324．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE
平分∠BCD．
25．为了解中考考生最喜欢做哪种类型的英语客观题，2015年志愿者奔赴全市中考各考点对
英语客观题的“听力部分、单项选择、完型填空、阅读理解、口语应用”进行了问卷调查，要
求每位考生都自主选择其中一个类型，为此随机调查了各考点部分考生的意向．并将调查结
果绘制成如图的统计图表（问卷回收率为100%，并均为有效问卷）．
被调查考生选择意向统计表
题型 所占百分比
听力部分 a
单项选择 35%
完型填空 b
阅读理解 10%
口语应用 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的考生总人数及a、b、c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）全市参加这次中考的考生共有42000人，试估计全市考生中最喜欢做“单项选择”这类
客观题的考生有多少人？
26．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
4（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△ABC；
1 1 1
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△ABC；
2 2 2
（3）求△ABC 与△ABC 重合部分的面积．
1 1 1 2 2 2
27．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打
药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98
元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴
的正半轴于点N．劣弧 的长为 π，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）
29．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
且与反比例函数y= （n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，若
OB=2OA=3OD=6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两函数图象的另一个交点坐标；
（3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集．
30．如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在
附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，
5AB的距离为250（ +1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库
的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．
31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B
的左侧），该抛物线的对称轴与直线y= x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=
x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6 ，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进
而猜想：对于直线y= x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该
猜想是否正确，并说明理由．
62016 年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形
的是 ，
故选D．
2．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．
故选A．
3．一种微粒的半径是0.000041米，0.000041这个数用科学记数法表示为（ ）
A．41×10﹣6 B．4.1×10﹣5C．0.41×10﹣4D．4.1×10﹣4
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
的0的个数所决定．
【解答】解：0.000041这个数用科学记数法表示为4.1×10﹣5．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2=a2b2B．a6÷a2=a3 C．（3xy2）2=6x2y4D．（﹣m）7÷（﹣m）2=﹣m5
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
7B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法
C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S 2=0.4，S
甲 乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
【考点】列表法与树状图法；全面调查与抽样调查；算术平均数；方差；随机事件．
【分析】由随机事件和必然事件的定义得出A错误，由统计的调查方法得出B错误；由方差的
性质得出C正确，由概率的计算得出D错误；即可得出结论．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，是随
机事件，选项A错误；
B、审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；
C、甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S 2=0.4，S
甲 乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；
D、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 ，不是 ，选
项D错误；
故选：C．
6．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的
比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，证出
△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．
【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
8∴△ADE的面积：△ABC的面积=（ ）2=1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选：B．
7．不等式组： 的最大整数解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．0 D．﹣1
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，在
解集内找到最大整数即可．
【解答】解：解不等式3x﹣1＜x+1，得：x＜1，
解不等式2（2x﹣1）≤5x+1，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
则不等式组的最大整数解为0，
故选：C．
8．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图
所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米 D．AB= 米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．
【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°= ，故B正确；
故选：B．
9．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【解答】解：A、 =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确；
C、 =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
9故选：B．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，
给出四个结论：
①c＞0；
②若点B（﹣ ，y）、C（﹣ ，y）为函数图象上的两点，则y＜y；
1 2 1 2
③2a﹣b=0；
④ ＜0，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据抛物线y轴交点情况可判断；②根据点离对称轴的远近可判断；③根根据抛物
线对称轴可判断；④根据抛物线与x轴交点个数以及不等式的性质可判断．
【解答】解：由抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，故①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴点B（﹣ ，y）距离对称轴较近，
1
∵抛物线开口向下，
∴y＞y，故②错误；
1 2
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，即2a﹣b=0，故③正确；
由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0即4ac﹣b2＜0，
∵a＜0，
∴ ＞0，故④错误；
综上，正确的结论是：①③，
故选：B．
二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分
11．|﹣0.3|的相反数等于 ﹣ 0. 3 ．
【考点】绝对值；相反数．
10【分析】根据绝对值定义得出|﹣0.3|=0.3，再根据相反数的定义：只有符号相反的两个数互
为相反数作答．
【解答】解：∵|﹣0.3|=0.3，
0.3的相反数是﹣0.3，
∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3．
故答案为：﹣0.3．
12．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可解答．
【解答】解：根据题意得：2﹣3x≥0，
解得x≤ ．
故答案为：x≤ ．
13．若a+b=3，ab=2，则（a﹣b）2= 1 ．
【考点】完全平方公式．
【分析】将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a2+b2的值，所求式
子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：将a+b=3平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9，
把ab=2代入得：a2+b2=5，
则（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣4=1．
故答案为：1
14．两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组
新数据的中位数为 7 ．
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】根据平均数的计算公式先求出m、n的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，
∴ ，
解得： ，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为1，4，6，7，8，8，8，
一共7个数，第四个数是7，则这组数据的中位数是7；
故答案为：7．
15．已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一平面直角坐标系中，直线l：
1
y=x+5与直线l：y=﹣ x﹣1的交点坐标为 （﹣ 4 ， 1 ） ．
2
11【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【解答】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
∴直线l：y=x+5与直线l：y=﹣ x﹣1的交点坐标为（﹣4，1），
1 2
故答案为：（﹣4，1）．
16．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=55°，则∠A= 35° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算
即可．
【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=55°，
∴∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°﹣55°﹣55°=70°，
由圆周角定理得，∠A= ∠BOC=35°，
故答案为：35°．
17．如图， ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是 1 ＜ a ＜ 7 ．
▱
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= AC=4，OD= BD=3，
在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．
即1＜a＜7；
故答案为：1＜a＜7．
1218．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽
略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为 1 8 ．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】由正六边形的性质得出 的长=12，由扇形的面积= 弧长×半径，即可得出结果．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴ 的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积= ×12×3=18．
故答案为：18．
19．把多项式16m3﹣mn2分解因式的结果是 m （ 4m+ n ）（ 4m﹣ n ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式=m（16m2﹣n2）
=m（4m+n）（4m﹣n）．
故答案为：m（4m+n）（4m﹣n）．
20．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 1 5
度．
【考点】矩形的性质．
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，
可得∠E度数．
【解答】解：连接AC，
13∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为：15．
三、解答题：本大题共11个小题，共90分
21．计算：2sin45°﹣3﹣2+（﹣ ）0+| ﹣2|+ ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，
以及算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2× ﹣ +1+2﹣ +
=3．
22．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及
乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判
断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
【考点】根的判别式．
【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出
a的取值范围，再由根的判别式得出△=（﹣b）2﹣8a，结合a的取值范围即可得知△的正负，
由此即可得出结论．
【解答】解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．
23．先化简： ÷（ ﹣ ），然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整
数值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
14【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范
围得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．
【解答】解： ÷（ ﹣ ）
= ÷
= ×
= ．
其中 ，即x≠﹣1、0、1．
又∵﹣2＜x≤2且x为整数，
∴x=2．
将x=2代入 中得： = =4．
24．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE
平分∠BCD．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出∠E=∠DCE，由
已知条件得出BE=BC，由等腰三角形的性质得出∠E=∠BCE，得出∠DCE=∠BCE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠E=∠DCE，
∵AE+CD=AD，
∴BE=BC，
∴∠E=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCE，
即CE平分∠BCD．
1525．为了解中考考生最喜欢做哪种类型的英语客观题，2015年志愿者奔赴全市中考各考点对
英语客观题的“听力部分、单项选择、完型填空、阅读理解、口语应用”进行了问卷调查，要
求每位考生都自主选择其中一个类型，为此随机调查了各考点部分考生的意向．并将调查结
果绘制成如图的统计图表（问卷回收率为100%，并均为有效问卷）．
被调查考生选择意向统计表
题型 所占百分比
听力部分 a
单项选择 35%
完型填空 b
阅读理解 10%
口语应用 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的考生总人数及a、b、c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）全市参加这次中考的考生共有42000人，试估计全市考生中最喜欢做“单项选择”这类
客观题的考生有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体．
【分析】（1）由单项填空的人数除以占的百分比，求出总人数，确定出a，b，c的值即可；
（2）求出听力部分与阅读理解的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据单项选择的百分比乘以42000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：280÷35%=800（人），即本次被调查的考生总人数为800人；
完形填空的百分比b=160÷800×100%=20%；口语训练的百分比c=40÷800×100%=5%，则a=1
﹣35%﹣10%﹣20%﹣5%=30%；
（2）根据题意得：听力部分人数为800×30%=240（人）；阅读理解人数为800×10%=80（人），
补全统计图，如图所示：
（3）根据题意得：42000×35%=14700（人）．
则全市考生中最喜欢做“单项选择”这类客观题的考生有14700人．
1626．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△ABC；
1 1 1
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△ABC；
2 2 2
（3）求△ABC 与△ABC 重合部分的面积．
1 1 1 2 2 2
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△ABC．
1 1 1
（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△ABC．
2 2 2
（3）BC 与AB 相交于点E，BA 与AB 相交于点F，如图，求出直线AB，BC，AB，列出方程
2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
组求出点E、F坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△ABC 为所作；
1 1 1
（2）如图，△ABC 为所作；
2 2 2
（3）BC 与AB 相交于点E，BA 与AB 相交于点F，如图，
2 2 1 1 2 2 1 1
∵B（0，1），C（2，3），B（1，0），A（2，5），A（5，0），
2 2 1 1 2
∴直线AB 为y=5x﹣5，
1 1
直线BC 为y=x+1，
2 2
直线AB 为y=﹣ x+1，
2 2
由 解得 ，∴点E（ ， ），
由 解得 ，∴点F（ ， ）．
17∴S = × ﹣ • ﹣ • ﹣ • = ．
△BEF
∴△AB C 与△ABC 重合部分的面积为 ．
1 1 1 2 2 2
27．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打
药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98
元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据
此列出方程求解即可．
【解答】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x=1.7（不合题意舍去），x=0.3=30%．
1 2
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴
的正半轴于点N．劣弧 的长为 π，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）
【考点】切线的判定；一次函数图象上点的坐标特征；弧长的计算；扇形面积的计算．
【分析】（1）作OD⊥AB于D，由弧长公式和已知条件求出半径OM= ，由直线解析式求出点A
和B的坐标，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面积的计算方法求出OD，即
可得出结论；
（2）阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，即可得出结果．
【解答】（1）证明：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵劣弧 的长为 π，
∴ = ，
解得：OM= ，
即⊙O的半径为 ，
18∵直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
∵△AOB的面积= AB•OD= OA•OB，
∴OD= = =半径OM，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积= ×3×4﹣ π×（
）2=6﹣ π．
29．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
且与反比例函数y= （n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，若
OB=2OA=3OD=6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两函数图象的另一个交点坐标；
（3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．
（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．
（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．
【解答】解：（1）∵OB=2OA=3OD=6，
∴OB=6，OA=3，OD=2，
19∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴ = ，
∴ = ，
∴CD=10，
∴点C坐标（﹣2，10），B（0，6），A（3，0），
∴ 解得 ，
∴一次函数为y=﹣2x+6．
∵反比例函数y= 经过点C（﹣2，10），
∴n=﹣20，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ．
（2）由 解得 或 ，
故另一个交点坐标为（5，﹣4）．
（3）由图象可知kx+b≤ 的解集：﹣2≤x＜0或x≥5．
30．如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在
附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，
AB的距离为250（ +1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库
的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（ +1）米，是否受到影响取
决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
20∴AD=CD•cot45°=CD，
BD=CD•cot30°= CD，
∵BD+AD=AB=250（ +1）（米），
即 CD+CD=250（ +1），
∴CD=250，
250米＞200米．
答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响．
31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B
的左侧），该抛物线的对称轴与直线y= x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=
x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6 ，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进
而猜想：对于直线y= x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该
猜想是否正确，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函数图象与x
轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴
为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6 ，于是可求得m的值；
（2）由（1）的可知点A、B的坐标；
（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共
圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．
【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，
∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．
令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，
∵m≠0，
21∴x=﹣5或x=1．
∴A（﹣5，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为为6 ，
∴﹣9m=6 ．
∴m=﹣ ．
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ．
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）．
（3）如图所示：
∵OP的解析式为y= x，
∴∠AOP=30°．
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°．
∴∠DPF+∠FOD=180°．
∴点O、D、P、F共圆．
∴∠PDF=∠PBF．
∴∠PDF=60°．
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