文档内容
2021 年四川省巴中市中考数学试卷
一、选择题
1. 下列各式的值最小的是（ ）
A. 20 B. |﹣2| C. 2﹣1 D. ﹣（﹣2）
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、相反数分别化简得出答案．
【详解】解：20=1，|-2|=2，2-1= ，-（-2）=2，
∵ ＜1＜2，
∴最小的是2-1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、相反数，正确化简各
数是解题关键．
2. 某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关
键．
3. 据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科
学记数法表示337亿正确的是（ ）
A. 337×108 B. 3.37×1010 C. 3.37×1011 D. 0.337×1011【答案】B
【解析】
【分析】科学计数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 1时，n
是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：337亿=33700000000= ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学计数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学计数法的定义．
4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 了解巴河被污染情况
B. 了解巴中市中小学生书面作业总量
C. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
D. 调查一批灯泡的质量
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似判断即可．
【详解】解：A．了解巴河被污染情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解巴中市中小学生书面作业总量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩，适合全面调查，故本选项符合题意；
D．调查一批灯泡的质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征
灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 如图， ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且 ，下列结论正确的是（ ）A. DE：BC＝1：2
的
B. ADE与 ABC 面积比为1：3
C. ADE与 ABC的周长比为1：2
.
D DE BC
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与 ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
6. 关于x的分式方程 3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A. m＝﹣2 B. m≠﹣2 C. m＝2 D. m≠2
【答案】B
【解析】【分析】解分式方程得： 即 ，由题意可知 ，即可得到 .
【详解】解：
方程两边同时乘以 得： ，
∴ ，
∵分式方程有解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的
关键.
7. 小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说
法错误的是（ ）
A. 小风的成绩是220秒
B. 小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C. 小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D. 小风的平均速度是4米/秒
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图像上的数据，求出相应阶段的速度即可得到正确的结论.
【详解】解：A、由函数图像可知，小风到底终点的时间是220秒，故此选项正确；B、由函数图像可知，最后的冲刺时间是220-200=20秒，冲刺距离是1000-900=100米，即可得到冲刺速度
是100÷20=5米/秒，故此选项正确；
C、由函数图像可知一开始阶段20秒跑了100米，所以此时的速度是100÷20=5米/秒，故此选项正确；
D、全程路程为1000米，时间为220秒，所以平均速度是1000÷220≠4米/秒，故此选项错误；
故选D.
【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息，正确地理解函数图像横纵坐标表示的意义是解题的关键.
8. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A. sinB B. sinC
C. tanB D. sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进
而解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴ ， ， ，
，只有A错误．
故选择：A．
【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
9. 如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三
角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.
【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴ ， ,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为 ，
故选C.【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题
的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞
BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持
人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进
入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x）
C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则 ，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴ ，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关
键．
11. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 BCD沿BD
翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到
AE，再利用勾股定理求出DE，利用 求解即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： ，
∴ ，
设 ，则
在直角三角形ADE中： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵∠DEB=90°，
∴ ，
故选D.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解.
12. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣
4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x＝﹣2，x＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
1 2
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，
由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到 a，b，c的值，依
次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点 和点 ，
点 与点 是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线 ，
设二次函数解析式为 ，
代入点 ， 得，
，解得 ，
二次函数的解析式为： ，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程 为 ，
即为 ，
， ，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，
由表格提炼出对称轴 的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
二、填空题
13. 函数y 中自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≤2且x≠−3
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，
解得x≤2且x≠−3．
故答案为：x≤2且x≠−3．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可
取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，
被开方数非负．
14. 关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________．
【答案】x=-2
2
【解析】
【分析】设方程的另一根为x，根据根与系数的关系可得x=-2，解答出即可．
2 2
【详解】解：设方程的另一根为x，
2
∵关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1，
则1×x= =-2，
2
解得x=-2．
2
故答案为：x=-2．
2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根
1 2
时，x+x= ，x•x= ．
1 2 1 2
15. 为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水
稻的亩产量的平均数 （单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行
种植，则应选的品种是_______．
甲 乙
880 880
s2 2160 2500
【答案】甲
【解析】
【分析】由表格可知两者的平均数相同，比较方差的大小即可.
【详解】解：由表格可知甲、乙两种水稻的平均数相同，但是甲的方差小于乙的方差∴甲更稳定，
∴应该选甲，
故答案为：甲.
【点睛】本题主要考查了利用方差作决策，解题的关键在于能够熟练掌握方差的定义.
16. y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围
内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都
有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x） 是奇函数．若f（x）
＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
【答案】5
【解析】
【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）
x+1，
∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，
∴a=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）•（-
x）+1=ax2+（a-5）x+1．
17. 如图，平行于y轴的直线与函数y （x＞0）和y （x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双
1 2
曲线y 于点C，连接CD，若 OCD的面积为2，则k＝_______．
2【答案】8
【解析】
【 分 析 】 设 A （ m ， ） ， 则 B （ m ， ） ， D （ m ， ） ， C （ n ， ） ， 由
得出 ，再根据
求解即可得到答案.
【详解】解：设A（m， ），则B（m， ），D（m， ），C（n， ），
∵ ，
∴ ，
又∵
∴
解得
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数的几何意义，函数图像
上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18. 如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OQ，OP，利用HL证明Rt△OAQ≌Rt△ODQ，得QA=DQ，同理可证：CP=DP，设CP=x，
则BP=3-x，PQ=x+ ，在Rt△BPQ中，利用勾股定理列出方程求出x= ，再利用△AQM∽△BQP可求解．
【详解】解：连接OQ，OP，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OA=OD，∠OAQ=∠ODQ=90°，
在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，
，
∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），
∴QA=DQ，
同理可证：CP=DP，
∵BQ：AQ=3：1，AB=3，
∴BQ= ，AQ= ，设CP=x，则BP=3-x，PQ=x+ ，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
(3-x)2+( )2=(x+ )2，
解得x= ，
∴BP= ，
∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，
∴△AQM∽△BQP，
∴ ，
∴ ，
∴AM= ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等
知识，利用全等证明QA=DQ，CP=DP是解题的关键．
三、解答题
19. （1）计算：2sin60°+| 2|﹣（ ）﹣1 ；
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来；（3）先化简，再求值： （1 ），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值
代入求值．
【答案】（1） （2）−3＜x≤−1；数轴见解析（3） ；当a＝1时，原式＝5
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法可以解答本
题；
（2）先求出每个不等式的解集，然后取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后再在数轴上表示出
来即可；
（3）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从−4，−3，0，1中选一个使得原分式有意义的
值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）2sin60°+| 2|﹣（ ）-1
＝
；
（2） ，
解不等式①，得
x＞−3，
解不等式②，得
x≤−1，
∴原不等式组的解集是−3＜x≤−1，
解集在数轴上表示如下：
；（3） （1 ）
＝
＝
＝ ，
∵a（a＋3）≠0，a＋4≠0，
∴a≠−4，−3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝ ＝5．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法、解一元一次
不等式组、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，认真计算，注意要检查．
20. 如图，四边形ABCD中，AD BC，AB＝AD＝CD BC．分别以B、D为圆心，大于 BD长为半径
画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案；
（2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可
得到答案.
【详解】解：（1）如图所示，连接BD，
由题意可知，AE是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，BE=DE，BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，
在△OAD和△OEB中，
，
∴△OAD≌△OEB（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=AB=BE=ED，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）得AD=AB=BE=ED，
∴∠DBE=∠EDB，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形DEC是等边三角形，
∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°，
∵∠BDE+∠EBD=∠DEC，
∴∠BDE=30°，
∴∠BDC=90°
∴【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等
边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21. 为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为
主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
的
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角 度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：
在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，
若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则
是否合理．
【答案】（1）500，36°（2）见解析（3）不合理；理由见解析
【解析】
【分析】（1）由A等级的学生除以所占的比例求出该校九年级共有的学生，即可解决问题；
（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，再由概率公式求
出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论．
【详解】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°× ＝36°，
故答案为：500，36°；（2）B等级的人数为：500−150−100−50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为 ＝ ，选丙丁的概率为 ＝ ，
∵ ＞ ，
∴此规则不合理．
【点睛】本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和是扇形统计图，解决本题的关键是得到相应的概率，
概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α
为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：
sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50， 1.73．）
的
（1）求灯杆AB 高度；
（2）求CD的长度．
【答案】（1）12m；（2）25.6m
【解析】
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出 AE，根据正切的定义求出CE，再根据
正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【详解】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，
△
∴AE= AC= ×12=6（m），CE=AC•cosα=12× = （m），
在Rt BCE中，∠BCE=60°，
△
∴BE=CE•tan∠BCE= =18（m），
∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；
（2）在Rt BDE中，∠BDE=27°，
△
∴DE= ≈36（m），∴CD=DE-CE= ≈25.6（m）．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
23. 如图，双曲线y 与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已
知点E(1，0)，连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求 ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y 有唯一交点，求n的值．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）将点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)代入直线和双曲线，即可求解；
（2）由图形可得 ABE面积为 ACE和 CBE面积的和，分别求得 ACE和 CBE的面积即可求解；
（3）先求得直线ED解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，
令 ，即可求解．
【详解】解：（1）将A(﹣8，1)、B(2，﹣4)代入直线y＝kx+b得：
，解得
将A(﹣8，1)代入双曲线y 得：，解得
（2）将 代入直线 得， ，即
将 代入直线 得， ，即
∵E(1，0)
∴
，
由图像可得
（3）设直线 解析式为 ，将E(1，0)、 代入，得：
，解得
∴直线 解析式为
直线ED向上平移n（n＞0）个单位，则 ，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线y 有唯一交点
∴
解得
又∵n＞0
∴【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握
相关基本性质是解题的关键．
24. 如图， ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2 ，BC＝6，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；
（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三
角函数求出∠BOC．
【详解】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB=AC， ABC内接于⊙O，
∴AE所在的△直线是 ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE=∠CAE，△
又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，
∴∠BAD+∠BAE= ×180°=90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC，
∴△AOD∽ EOC，
△
∴ ，
由（1）可知 是 的对称轴，
垂直平分 ，
，
设半径为 ，在 中，由勾股定理得，
，
，
解得 （取正值），
经检验 是原方程的解，
即 ，
又 ，
是等边三角形，
， ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积
的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．
25. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当 最大时，求点P的坐标及 的
最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使 BCD是直角三角形，若存在，
请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）将 、 、 代入 即可求解析式；
（2）过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交直线 于点 ，由 ，可得
，则求 的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当 时，过点 作 轴，过点 作 轴， 与 交于
点 ，过点 作 轴， 与 交于点 ，可证明 ，求出 ；当
时，过点 作 轴交于点 ，可证明 ，求出 ；当时，线段 的中点 ，设 ，由 ，可求 或
．
【详解】解：（1）将点 、 、 代入 ，
得 ，
解得 ，
；
（2）如图1，过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交直线 于点 ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
当 时， 有最大值 ，
；
（3） ， 点在 上，
如图2，当 时，
过点 作 轴，过点 作 轴， 与 交于点 ，过点 作 轴， 与交于点 ，
， ，
，
，
，即 ，
，
；
如图3，当 时，
过点 作 轴交于点 ，
， ，
，
，
，即 ，
，
；
如图4，当 时，线段 的中点 ， ，
设 ，
，
，
或 ，
或 ；
综上所述： 是直角三角形时， 点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将 的最大值
问题转化为求 的最大值问题是解题的关键．
