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2017 年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．|﹣2|的值是（ ）
1 1
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2 2
2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b
4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ）
A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． 2 D．4
6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x，x，则 的值为（ ）
1 2
1
A．2 B．﹣1 C．- D．﹣2
27．分式方程 的根为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（
）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著
的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角
形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单
位，则平移后点A的坐标为 ．
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件
使得△ABC≌△DEF．www-2-1-cnjy-com
13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x= ．
14．黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的
蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现
在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产
量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是 kg．【】
15．如图，已知点A，B分别在反比例函数y=﹣ 和y= 的图象上，若点A是线段OB的中点，
1 2
则k的值为 ．
16．把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板
AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB
1
与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B ；第三块三角板的斜边BB 与第二块三角板
1 1 2
的斜边BB 垂直且交x轴于点B；第四块三角板的斜边BB 与第三块三角板的斜边BBC垂直
1 2 2 3 1 2
且交y轴于点B；…按此规律继续下去，则点B 的坐标为 ．
3 2017三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．计算：﹣1﹣2+| ﹣ |+（π﹣3.14）0﹣tan60°+ ．
18．先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中x= +1．
19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组 频数 频率
152≤x＜155 3 0.06
155≤x＜158 7 0.14
158≤x＜161 m 0.28
161≤x＜164 13 n
164≤x＜167 9 0.18
167≤x＜170 3 0.06
170≤x＜173 1 0.02
根据以上统计图表完成下列问题：
（1）统计表中m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内；
（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国
旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．21教育网
21．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．
22．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有
关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD
进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证
教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73，
≈2.24）21cnjy.com
23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分
由乙队单独做需要18天才能完成．
（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？
（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完
成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天
数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．【来源：21·世纪·教
24．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线
l解析式为：y=﹣ x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C
（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否
存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小
值；若不存在，请说明理由．2017 年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值的性质作答．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故选B．
2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】K8：三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：C．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=2a，不符合题意；
B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C、原式=﹣3b，符合题意；
D、原式=a2+ab，不符合题意，
故选C
4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ）A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据主视图是三角形可判断出此几何体为
正三棱柱．
【解答】解：∵左视图和俯视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵主视图是一个三角形，
∴此几何体为正三棱柱．
故选：D．
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．4
【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角
三角形的性质得到CE= OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x，x，则 + 的值为（ ）
1 2A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x+x=2，xx=﹣1，利用通分得到 + = ，然后利
1 2 1 2
用整体代入的方法计算
【解答】解：根据题意得x+x=2，xx=﹣1，
1 2 1 2
所以 + = = =﹣2．
故选D．
7．分式方程 =1﹣ 的根为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
故选C
8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（
）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
【考点】LE：正方形的性质．
【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB= ∠FAB=30°，再证明
△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB= ∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得
到c＞0，则可作判断；
③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著
的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角
形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
【考点】4C：完全平方公式．【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，
故选 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单
位，则平移后点A的坐标为 （ 1 ，﹣ 1 ） ．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：A的横坐标+3，纵坐标﹣2，即可求出平移后的坐标，
∴平移后A的坐标为（1，﹣1）
故答案为：（1，﹣1）
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件
∠ A = ∠ D 使得△ABC≌△DEF．www-2-1-cnjy-com
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理填空．
【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案是：∠A=∠D．13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x= x （ x 2 + 3 ）（ x + ）（ x ﹣ ） ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
【分析】先提取公因式x，再把4写成22的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：原式=x（x4﹣22），
=x（x2+2）（x2﹣2）
=x（x2+2）（x+ ）（x﹣ ），
故答案是：x（x2+3）（x+ ）（x﹣ ）．
14．黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的
蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现
在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产
量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是 56 0 kg．【版权所有：21教
育】
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质蓝莓”产量．
【解答】解：由题意可得，
该果农今年的“优质蓝莓”产量约是：800×0.7=560kg，
故答案为：560．
15．如图，已知点A，B分别在反比例函数y=﹣ 和y= 的图象上，若点A是线段OB的中点，
1 2
则k的值为 ﹣ 8 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．
【解答】解：设A（a，b），则B（2a，2b），
∵点A在反比例函数y=﹣ 的图象上，
1
∴ab=﹣2；∵B点在反比例函数y= 的图象上，
2
∴k=2a•2b=4ab=﹣8．
故答案是：﹣8．
16．把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板
AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB
1
与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B ；第三块三角板的斜边BB 与第二块三角板
1 1 2
的斜边BB 垂直且交x轴于点B；第四块三角板的斜边BB 与第三块三角板的斜边BBC垂直
1 2 2 3 1 2
且交y轴于点B；…按此规律继续下去，则点B 的坐标为 （ 0 ，﹣ ） ．
3 2017
【考点】D2：规律型：点的坐标．
【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 的坐标．
2017
【解答】解：由题意可得，
OB=OA•tan60°=1× = ，
OB=OB•tan60°= =（ ）2=3，
1
OB=OB•tan60°=（ ）3，
2 1
…
∵2017÷4=506…1，
∴点B 的坐标为（0，﹣ ），
2017
故答案为：（0，﹣ ）．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．计算：﹣1﹣2+| ﹣ |+（π﹣3.14）0﹣tan60°+ ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意
义化简，计算即可得到结果．21世纪教育网版权所有
【解答】解：原式=1+（ ）+1﹣
=2
18．先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中x= +1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= • = • =x﹣1，
当x= +1时，原式= ．
19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，
大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．
【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：
20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组 频数 频率
152≤x＜155 3 0.06
155≤x＜158 7 0.14
158≤x＜161 m 0.28
161≤x＜164 13 n
164≤x＜167 9 0.18
167≤x＜170 3 0.06
170≤x＜173 1 0.02
根据以上统计图表完成下列问题：
（1）统计表中m= 1 4 ，n= 0.2 6 ，并将频数分布直方图补充完整；（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 16 1 ≤ x ＜ 16 4 范围内；
（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国
旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．21教育网
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数．
【分析】（1）设总人数为x人，则有 =0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图
即可；2·1·c·n·j·y
（2）根据中位数的定义即可判断；
（3）画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）设总人数为x人，则有 =0.06，解得x=50，
∴m=50×0.28=14，n= =0.26．
故答案为14，0.26．
频数分布直方图：
（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内，故答案为 161≤x＜164．
（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：
所以P = = ．
（两学生来自同一所班级）
21．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PA•PB；
（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得 = ，由此即可解决问题；
（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S =S ﹣S 计算即可；
阴 扇形OAT △AOT
【解答】（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴ = ，
∴PT2=PA•PB．
（2）∵TP=TB= ，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB= = ，
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S =S ﹣S = ﹣ •12= ﹣ ．
阴 扇形OAT △AOT
22．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有
关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD
进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证
教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73，
≈2.24）21cnjy.com【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC
于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．21*cnjy*com
【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作
D′E′⊥AC于点E′，【来源：21cnj*y.co*m】
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD•sin60°=12× =6 米，CE=CD•cos60°=12× =6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6 米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′= ≈ ≈12.8，
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．
23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、
乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分
由乙队单独做需要18天才能完成．
（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？
（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完
成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天
数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问
题；（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则 + =1，解得x=6．由此可得m的范
围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如
期完成，此时费用最小；21*cnjy*com
【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．
由题意 ，解得 ，
经检验 是分式方程组的解，
∴甲、乙两队工作效率分别是 和 ．
（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．
则 + =1，解得x=6．
∴甲工作6天，
∵甲12天完成任务，
∴6≤m≤12．
∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，
∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，
∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．
24．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线
l解析式为：y=﹣ x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C
（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否
存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小
值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得
到抛物线的解析式；
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、
OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；
（3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF= ：2：1．则△PEF的面积= PF2，设点P的坐标为
（x，﹣ x2﹣ x+ ），则F（x，﹣ x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次
函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：
a=﹣ ．
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ．
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．
把x=0代入y=﹣ x+4得：y=4，
∴A（0，4）．将y=0代入得：0=﹣ x+4，解得x=8，
∴B（8，0）．
∴OA=4，OB=8．
∵M（﹣1，2），A（0，4），
∴MG=1，AG=2．
∴tan∠MAG=tan∠ABO= ．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．
∴l是⊙M的切线．
（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE= ．
∴PF：PE：EF= ：2：1．
∴△PEF的面积= PE•EF= × PF• PF= PF2．
∴当PF最小时，△PEF的面积最小．
设点P的坐标为（x，﹣ x2﹣ x+ ），则F（x，﹣ x+4）．
∴PF=（﹣ x+4）﹣（﹣ x2﹣ x+ ）=﹣ x+4+ x2+ x﹣ = x2﹣ x+ = （x﹣ ）
2+ ．
∴当x= 时，PF有最小值，PF的最小值为 ．
∴P（ ， ）．
∴△PEF的面积的最小值为= ×（ ）2= ．
