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2017 年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2017的绝对值是（ ）
1 1
A．2017 B．﹣2017 C． D．﹣
2017 2017
2．（4分）一组数据1，3，4，2，2的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）单项式2xy3的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（4分）如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120°D．61°
5．（4分）世界文化遗产长城总长约670000米，将数670000用科学记数法可
表示为（ ）
A．6.7×104B．6.7×105C．6.7×106D．67×104
6．（4分）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意
一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S ，S ，则下列关系正确的是（ ）
1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S =S D．S =2S
1 2 1 2 1 2 1 2
7．（4 分）一个多边形的每个内角都等于 144°，则这个多边形的边数是
（ ）
第1页（共22页）A．8 B．9 C．10 D．11
{&2x+3＞1
8．（4分）把不等式组 的解集表示在数轴上如下图，正确的是（
&3x+4≥5x
）
A． B．
C． D．
k
9．（4分）如图，已知点A在反比例函数y= 上，AC⊥x轴，垂足为点C，且
x
△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（ ）
4 2 8 8
A．y= B．y= C．y= D．y=﹣
x x x x
10．（4分）观察下列关于自然数的式子：
4×12﹣12①
4×22﹣32②
4×32﹣52③
…
根据上述规律，则第2017个式子的值是（ ）
A．8064 B．8065 C．8066 D．8067
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）5的相反数是 ．
12．（4分）一组数据2，3，2，5，4的中位数是 ．
1 2
13．（4分）方程 ﹣ =0的解为x= ．
x-1 x
14．（4 分）已知一元二次方程 x2﹣3x+k=0 有两个相等的实数根，则 k=
第2页（共22页）．
15．（4分）已知菱形的两条对角线的长分别是 5cm，6cm，则菱形的面积是
cm2．
16．（4分）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在 B
处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 AB=2 米，BC=18
米，则旗杆CD的高度是 米．
17．（4分）从﹣1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为点的坐标，
则该点在第一象限的概率为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC
1
于点E．设∠A=α，且tanα= ，则tan2α= ．
3
三、解答题
1
19．（10分）（1）计算：（ ）﹣1﹣4sin60°﹣（√3﹣1.732）0+√12
2
2x+6 x-1
（2）先化简，再求值： • ，其中x=2．
x2-2x+1 x+3
20．（10分）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
第3页（共22页）21．（10分）某校为了了解九年级九年级学生体育测试情况，随机抽查了部分
学生的体育测试成绩的样本，按 A，B，C（A 等：成绩大于或等于 80 分；B
等：成绩大于或等于 60分且小于80分；C等：成绩小于60分）三个等级进行
统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给的信息解答下列
问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中A等所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）若九年级有1000名学生，请你用此样本估计体育测试众60分以上（包括
60分）的学生人数．
22．（10分）如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线
上的两点，连接AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．
第4页（共22页）四、解答题
23．（12分）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段
时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如
图所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
五、解答题
24．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC
交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
AD 1
（1）若 = ，求sinC；
AB 3
第5页（共22页）（2）求证：DE是⊙O的切线．
六、解答题
25．（14分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于
点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在抛物线上找出两点P ，P ，使得△MP P 与△MCB全等，并求出点P ，P 的坐标；
1 2 1 2 1 2
（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保
留作图痕迹），并求出点Q的坐标．
第6页（共22页）2017 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2017•铜仁市）﹣2017的绝对值是（ ）
1 1
A．2017 B．﹣2017 C． D．﹣
2017 2017
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣2017的绝对值是2007．
故选：A．
【点评】此题考查了绝对值，解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对
值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）（2017•铜仁市）一组数据1，3，4，2，2的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】W5：众数．
【分析】根据众数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵在数据1，3，4，2，2中，
2出现的次数最多，
∴这组数据1，3，4，2，2的众数是2，
故选B．
【点评】本题考查了众数的定义，熟记众数的定义是解题的关键．
3．（4分）（2017•铜仁市）单项式2xy3的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】42：单项式．
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案．
【解答】解：单项式2xy3的次数是1+3=4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式次数的计算方法．
4．（4分）（2017•铜仁市）如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1=60°，则∠2的
度数是（ ）
第7页（共22页）A．30° B．60° C．120°D．61°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由直线a∥b，c∥b，得出a∥c，∠1=60°，根据两直线平行，同位角相
等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，c∥b，
∴a∥c，
∵∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°．
故选B
【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位
角相等定理的应用．
5．（4分）（2017•铜仁市）世界文化遗产长城总长约 670000米，将数670000
用科学记数法可表示为（ ）
A．6.7×104B．6.7×105C．6.7×106D．67×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜
10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：670000=6.7×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其
中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
6．（4分）（2017•铜仁市）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P
是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S ，S ，则下列关系正
1 2
确的是（ ）
A．S ＞S B．S ＜S C．S =S D．S =2S
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】Q2：平移的性质；JC：平行线之间的距离．
【分析】根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等
高的三角形面积相等即可得到答案．
【解答】解：
∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AA′∥BC′，
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC，△PB′C′的高相等，
∴S =S ，
1 2
故选C．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过
第8页（共22页）平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
7．（4分）（2017•铜仁市）一个多边形的每个内角都等于 144°，则这个多边
形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°=36°，
360°÷36°=10，
则这个多边形的边数是10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数
是关键．
{&2x+3＞1
8．（4分）（2017•铜仁市）把不等式组 的解集表示在数轴上如下
&3x+4≥5x
图，正确的是（ ）
A． B． C ．
D．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大
小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+3＞1，得：x＞﹣1，
解不等式3x+4≥5x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基
础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则
是解答此题的关键
k
9．（4分）（2017•铜仁市）如图，已知点A在反比例函数y= 上，AC⊥x轴，
x
垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（ ）
4 2 8 8
A．y= B．y= C．y= D．y=﹣
x x x x
第9页（共22页）【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G5：反比例函数系数k的几何
意义．
1 k
【分析】由S = xy=4，设反比例函数的解析式y= ，则k=xy=8．
△AOC
2 x
【解答】解：∵S =4，
△AOC
∴k=2S =8；
△AOC
8
∴y= ；
x
故选：C．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数 k的几
何意义．属于基础题，难度不大．
10．（4分）（2017•铜仁市）观察下列关于自然数的式子：
4×12﹣12①
4×22﹣32②
4×32﹣52③
…
根据上述规律，则第2017个式子的值是（ ）
A．8064 B．8065 C．8066 D．8067
【考点】37：规律型：数字的变化类；1G：有理数的混合运算．
【分析】由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是
从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
【解答】解：4×12﹣12①
4×22﹣32②
4×32﹣52③
…
4n2﹣（2n﹣1）2=4n﹣1，
所以第2017个式子的值是：4×2017﹣1=8067．
故选：D．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决
问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）（2017•铜仁市）5的相反数是 ﹣ 5 ．
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数
是0．
12．（4分）（2017•铜仁市）一组数据2，3，2，5，4的中位数是 3 ．
【考点】W4：中位数．
第10页（共22页）【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：数据2，3，2，5，4的中位数是3；
故答案为：3
【点评】此题考查中位数问题，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位
数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中
位数．
1 2
13．（4分）（2017•铜仁市）方程 ﹣ =0的解为x= 2 ．
x-1 x
【考点】B3：解分式方程．
【分析】利用：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解出方
程．
1 2
【解答】解： ﹣ =0
x-1 x
方程两边同乘x（x﹣1），得x﹣2（x﹣1）=0
x﹣2x+2=0，
解得，x=2，
检验：当x=2时，x（x﹣1）≠0，
则x=2是分式方程的解，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求
出整式方程的解；③检验；④得出结论．
14．（4分）（2017•铜仁市）已知一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数
9
根，则k= ．
4
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4k=9﹣4k=0，
9
解得：k= ．
4
9
故答案为： ．
4
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数
根”是解题的关键．
15．（4分）（2017•铜仁市）已知菱形的两条对角线的长分别是 5cm，6cm，
则菱形的面积是 1 5 cm2．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
第11页（共22页）1 1
根据S= ab= ×5cm×6cm=15cm2，
2 2
故答案为 15．
【点评】本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，记住菱形的面积等于
对角线乘积的一半是解题的关键．
16．（4分）（2017•铜仁市）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的
高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得
AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 1 8 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】根据相似三角形的判定推出△ABE∽△ACD，得出比例式，代入求出即
可．
【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
BE AB
∴ = ，
CD AC
1.8 2
∴ = ，
CD 2+18
解得：CD=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能根据相似三角形的判
定定理推出两三角形相似是解此题的关键．
17．（4分）（2017•铜仁市）从﹣1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数
1
作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为 ．
6
【考点】X6：列表法与树状图法；D1：点的坐标．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果
与点P落在抛物线y=﹣x2+x+2上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
第12页（共22页）∵共有12种等可能的结果，点P落在第一象限的可能是（1，2），（2，1）两
种情形，
2 1
∴则该点在第一象限的概率为 = ．
12 6
1
故答案为 ．
6
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可
以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适
合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（4分）（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中
1 3
点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα= ，则tan2α= ．
3 4
【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得 tan2α的值，本题得以解
决．
【解答】解：连接BE，
∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，
∴ED是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠EBA=∠A=α，
∴∠BEC=2α，
1
∵tanα= ，设DE=x，
3
∴AD=3a，AE=√10a，
∴AB=6a，
3a√10 9a√10
∴BC= ，AC=
5 5
9a√10 4a√10
∴CE= -√10a= ，
5 5
3a√10 3a√10
BC 5 BC 5 3
∴tan2α= = = = = ，
CE 9a√10 CE 4a√10 4
√10a-
5 5
第13页（共22页）3
故答案为： ．
4
【点评】本题考查解直角三角形、线段垂直平分线，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．
三、解答题
1
19．（10分）（2017•铜仁市）（1）计算：（ ）﹣1﹣4sin60°﹣（√3﹣1.732）
2
0+√12
2x+6 x-1
（2）先化简，再求值： • ，其中x=2．
x2-2x+1 x+3
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数
指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂意义，立方根的意义，绝对值的意义即可求出答
案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
√3
【解答】解：（1）原式=2﹣4× ﹣1+2√3
2
=1
（2）当x=2时，
2(x+3) x-1
原式= •
(x-1) 2 x+3
2
=
x-1
=2
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属
于基础题型．
20．（10分）（2017•铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，
AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
【考点】S8：相似三角形的判定．
第14页（共22页）AB AC
【分析】先证得 = ，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
AE AD
【解答】证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
AB 20.4 AC 48
∴ = =1.2， = =1.2，
AE 17 AD 40
AB AC
∴ = ，
AE AD
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题重点考查了相似三角形的判定定理，本题比较简单，注要找准相
似的两个三角形就可以了．
21．（10 分）（2017•铜仁市）某校为了了解九年级九年级学生体育测试情
况，随机抽查了部分学生的体育测试成绩的样本，按 A，B，C（A等：成绩大
于或等于80分；B等：成绩大于或等于60分且小于80分；C等：成绩小于60
分）三个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所
给的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中A等所在的扇形的圆心角等于 10 8 度；
（3）若九年级有1000名学生，请你用此样本估计体育测试众60分以上（包括
60分）的学生人数．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
所占人数
【分析】（1）根据百分比= ，计算即可解决问题；
总人数
（2）求出A组人数即可解决问题；
（3）用样本估计作图的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）抽查了部分学生的总人数为25÷50%=50（人），
A组人数=50﹣25﹣10=15（人），
条形图如图所示：
第15页（共22页）（2）扇形统计图中 A 等所在的扇形的圆心角为 360°×（1﹣20%﹣50%）
=108°，
故答案为108．
40
（3）1000× =800（人），
50
答：估计体育测试众60分以上（包括60分）的学生人数有800人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2017•铜仁市）如图，已知点 E，F分别是平行四边形 ABCD对
角线 BD 所在直线上的两点，连接 AE，CF，请你添加一个条件，使得
△ABE≌△CDF，并证明．
【考点】L5：平行四边形的性质；KB：全等三角形的判定．
【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出∠EBA=∠FDC，根据
SAS证两三角形全等即可．
【解答】解：添加的条件是DE=BF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠EBA=∠FDC，
∵DE=BF，
∴BE=DF，
∵在△ABE和△CDF中
{
&AB=CD
&∠EBA=∠FDC，
&BE=DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
第16页（共22页）【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此
题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，
题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一
四、解答题
23．（12分）（2017•铜仁市）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调
查发现，在一段时间内，销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一
次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）当 20≤x≤80 时，利用待定系数法即可得到 y与x的函数表达
式；
（2）根据销售利润达到800元，可得方程（x﹣20）（﹣x+80）=800，解方程
即可得到销售单价．
【解答】解：（1）当0＜x＜20时，y=60；
当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y=kx+b，
把（20，60），（80，0）代入，可得
{&60=20k+b
，
&0=80k+b
{&k=-1
解得 ，
&b=80
∴y=﹣x+80，
{&60(0＜x＜20)
∴y与x的函数表达式为y= ；
&-x+80(20≤x≤80)
（2）若销售利润达到800元，则
第17页（共22页）（x﹣20）（﹣x+80）=800，
解得x =40，x =60，
1 2
∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解
决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列
方程的解，检验和作答．
五、解答题
24．（12分）（2017•铜仁市）如图，已知在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB
为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
AD 1
（1）若 = ，求sinC；
AB 3
（2）求证：DE是⊙O的切线．
【考点】MD：切线的判定；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再利用同角的余角相等证明
∠C=∠ABD，进而可得答案．
（2）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线
性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根
据切线的判定推出即可．
【解答】（1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABD，
AD 1
∵ = ，
AB 3
1
∴sin∠ABD= ，
3
1
∴sinC= ；
3
（2）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
第18页（共22页）∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用和三
角函数，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线．
六、解答题
25．（14分）（2017•铜仁市）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B
（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点 M，
B，C三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在抛物线上找出两点P ，P ，使得△MP P 与△MCB全等，并求出点P ，
1 2 1 2 1
P 的坐标；
2
（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺
规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）分两种情况：
①当△P MP ≌△CMB时，取对称点可得点P ，P 的坐标；
1 2 1 2
②当△BMC≌△P
2
P
1
M时，构建 ▱P
2
MBC可得点P
1
，P
2
的坐标；
（3）如图3，先根据直径所对的圆周角是直角，以 BC为直径画圆，与对称轴
第19页（共22页）的交点即为点 Q，这样的点 Q 有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明
△BDQ ∽△Q EC，列比例式，可得点Q的坐标．
1 1
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
{&1-b+c=0
，
&c=-2
{&b=-1
解得： ，
&c=-2
∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）如图1，P 与A重合，P 与B关于l对称，
1 2
∴MB=P M，P M=CM，P P =BC，
2 1 1 2
∴△P MP ≌△CMB，
1 2
1 9
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣ ）2﹣ ，
2 4
此时P （﹣1，0），
1
1
∵B（0，﹣2），对称轴：直线x= ，
2
∴P （1，﹣2）；
2
如图2，MP ∥BC，且MP =BC，
2 2
此时，P 与C重合，
1
∵MP =BC，MC=MC，∠P MC=∠BP M，
2 2 1
∴△BMC≌△P P M，
2 1
∴P （2，0），
1
1 1
由点B向右平移 个单位到M，可知：点C向右平移 个单位到P ，
2 2 2
5 5 1 9 7
当x= 时，y=（ ﹣ ）2﹣ = ，
2 2 2 4 4
5 7
∴P （ ， ）；
2 2 4
（3）如图3，存在，
作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q 、Q ，
1 2
则∠BQ C=∠BQ C=90°；
1 2
过Q 作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E，
1
1
设Q （ ，y）（y＞0），
1 2
易得△BDQ ∽△Q EC，
1 1
BD DQ
∴ = 1，
Q E EC
1
2+ y 1
∴ 1=2，
2-
2 y
3
y2+2y﹣ =0，
4
第20页（共22页）-2-√7 -2+√7
解得：y = （舍），y = ，
1 2 2 2
1 -2+√7
∴Q （ ， ），
1 2 2
1 -2-√7
同理可得：Q （ ， ）；
2 2 2
1 -2+√7 1 -2-√7
综上所述，点Q的坐标是：（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
第21页（共22页）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特
征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键
是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决
三角形全等问题；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题
目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键．
第22页（共22页）
