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2017 年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2017的相反数是（ ）
1 1
A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．
2017 2017
2．（4分）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差
S 2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S 2=0.035，则（ ）
甲 乙
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定
B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较
4．（4分）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）下列各式正确的是（ ）
1 a2+1
A．（a﹣b）2=﹣（b﹣a）2 B． =x﹣3 C． =a+1 D．x6÷x2=x3
x3 a+1
6．（4分）一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余均相同，其中：8个
白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 10 5 4
7．（4分）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD∥BC
C．∠A=∠B D．对角线互相平分
第1页（共23页）8．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（
）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
9．（4分）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的
个数是（ ）
A．71 B．78 C．85 D．89
1
10．（4分）如图，点A是反比例函数y= （x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作
x
OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比
k
例函数y= 图象上移动，则k的值为（ ）
x
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
二、填空题（每小题3分，共30分）
1
11．（3分）计算：（﹣ ）2= ．
2
12．（3分）人工智能AlphaGo，因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石和我国选手柯洁而
第2页（共23页）声名显赫，它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个近千
年的训练量）此处“两千万”用科学记数法表示为 （精确到百万位）．
{&x+2＞1
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
&2x-1≤8-x
14．（3分）若一组数据3，4，x，6，8的平均数为5，则这组数据的众数是 ．
15．（3分）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则 m的取值范围是
．
16．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD= 度．
17．（3分）函数y=√x-1的自变量x的取值范围是 ．
18．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为 3和6，则该等腰三角形的周长是
．
19．（3分）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点
C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
20．（3分）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有
（填序号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
第3页（共23页）三、（本大题12分）
1
21．（12分）（1）计算：√12+|3﹣√3|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（ ）﹣2
2
2-x 1
（2）解方程： + =1．
x-3 3-x
四、（本大题12分）
22．（12分）如图，已知AB为⊙O直径，D是^BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O
的切线交AD的延长线于F．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．
五、（本大题14分）
23．（14分）今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、
红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对
某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），
请根据统计图解答下列问题：
（1）参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．
第4页（共23页）（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树
状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
六、（本大题14分）
24．（14分）赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟
比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离 y（米）与时间x（分
钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
七、（本大题12分）
25．（12分）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A+cos2A= ，sin2A+cos2A= ，sin2A+cos2A= ；
1 1 2 2 3 3
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
12
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA= ，求cosA．
13
第5页（共23页）八、（本大题16分）
7
26．（16分）如图1，抛物线y=ax2+bx+ ，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D
4
点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
4√3
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S = S ？若存在，请求出点M的坐
△ABM 9 △ABC
标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．
第6页（共23页）2017 年贵州省黔西南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2017•黔西南州）﹣2017的相反数是（ ）
1 1
A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．
2017 2017
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣2017的相反数是2017，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（4分）（2017•黔西南州）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义解答．
【解答】解：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形”，符合这一要求的只有B．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，要知道“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”．
3．（4分）（2017•黔西南州）已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分
钟跳绳成绩的方差S 2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S 2=0.035，则（ ）
甲 乙
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定
B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越
大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S
2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S 2=0.035，
甲 乙
∴S 2＜S 2=0.035，
甲 乙
∴甲的成绩比乙的成绩更稳定．
故选A．
【点评】本题考查方差、算术平均数等知识，解题的关键是理解方差的意义，记住方差越
小稳定性越好．
第7页（共23页）4．（4分）（2017•黔西南州）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何
体的主视图与左视图，即可求解．
【解答】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②球的主视图与左视图都是圆；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④圆柱的主视图和左视图都是长方形；
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表
现在三视图中．
5．（4分）（2017•黔西南州）下列各式正确的是（ ）
1 a2+1
A．（a﹣b）2=﹣（b﹣a）2 B． =x﹣3 C． =a+1 D．x6÷x2=x3
x3 a+1
【考点】4C：完全平方公式；48：同底数幂的除法；66：约分；6F：负整数指数幂．
【分析】根据完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法，即可解答．
【解答】解：A、（a﹣b）2=（b﹣a）2，故错误；
B、正确；
a2+1
C、 不能再化简，故错误；
a+1
D、x6÷x2=x4，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法，解决本题的关键是
熟记完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法的法则．
6．（4分）（2017•黔西南州）一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余
均相同，其中：8个白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概
率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 10 5 4
【考点】X4：概率公式．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：∵20个球中红球有2个，
2 1
∴任意摸出一个球是红球的概率是 = ，
20 10
第8页（共23页）故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
m
可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
7．（4分）（2017•黔西南州）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是
（ ）
A．∠A=∠C B．AD∥BC
C．∠A=∠B D．对角线互相平分
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】由 AB=CD，AB∥CD，推出四边形 ABCD 是平行四边形，推出∠DAB=∠DCB，
AD∥BC，OA=OC，OB=OD，由此即可判断．
【解答】解：如图，∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴选项A、B、D正确，
故选C
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
8．（4分）（2017•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，
OC=5，则CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【考点】M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【解答】解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
第9页（共23页）故选（C）
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基
础题型．
9．（4分）（2017•黔西南州）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第 8
个图形中小正方形的个数是（ ）
A．71 B．78 C．85 D．89
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正
方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有
小正方形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．
【解答】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，
所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．
故选D．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住
随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍
数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
1
10．（4分）（2017•黔西南州）如图，点A是反比例函数y= （x＞0）上的一个动点，连
x
接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，
k
点B也在某一反比例函数y= 图象上移动，则k的值为（ ）
x
第10页（共23页）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
1
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x， ），由条件证得
x
△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：
1
∵点A是反比例函数y= （x＞0）上的一个动点，
x
1
∴可设A（x， ），
x
1
∴OC=x，AC= ，
x
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB=2OA，
AC OC AO 1
∴ = = = ，
OD BD BO 2
2
∴OD=2AC= ，BD=2OC=2x，
x
2
∴B（﹣ ，2x），
x
k
∵点B反比例函数y= 图象上，
x
2
∴k=﹣ •2x=﹣4，
x
故选A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用 A
点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
第11页（共23页）二、填空题（每小题3分，共30分）
1 1
11．（3分）（2017•黔西南州）计算：（﹣ ）2= ．
2 4
【考点】1E：有理数的乘方．
1 1
【分析】本题考查有理数的乘方运算，（﹣ ）2表示2个（﹣ ）的乘积．
2 2
1 1
【解答】解：（﹣ ）2= ．
2 4
1
故答案为： ．
4
【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是
负数，负数的偶数次幂是正数．
12．（3分）（2017•黔西南州）人工智能AlphaGo，因在人机大战中大胜韩国围棋手李世
石和我国选手柯洁而声名显赫，它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训
练（等同于一个近千年的训练量）此处“两千万”用科学记数法表示为 2.0×1 0 7 （精
确到百万位）．
【考点】1L：科学记数法与有效数字．
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：“两千万”精确到百万位，用科学记数法表示为2.0×107，
故答案为：2.0×107．
【点评】本题考查的是科学记数法的应用，掌握科学记数法的计数规律，理解近似数精确
到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是解题的关键．
{&x+2＞1
13．（3分）（2017•黔西南州）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ≤ 3 ．
&2x-1≤8-x
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
{&x+2＞1①
【解答】解： ，
&2x-1≤8-x②
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤3．
故不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到．
14．（3分）（2017•黔西南州）若一组数据3，4，x，6，8的平均数为5，则这组数据的
众数是 4 ．
【考点】W5：众数；W1：算术平均数．
【分析】先根据平均数的计算方法求出x，然后根据众数的定义求解．
【解答】解：根据题意得（3+4+x+6+8）=5×5，
解得x=4，
第12页（共23页）则这组数据为3，4，4，6，8的平均数为5，
所以这组数据的众数是4．
故答案为4．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了平均数的
定义．
15．（3分）（2017•黔西南州）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则m
的取值范围是 m ＜ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出△=4m﹣4＜0，解之即可得出m的取
值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，
∴△=22+4（m﹣2）=4m﹣4＜0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
16．（3分）（2017•黔西南州）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD= 25
度．
【考点】JA：平行线的性质；K7：三角形内角和定理．
【分析】要求∠BCD的度数，只需根据平行线的性质求得∠B的度数．显然根据三角形的内
角和定理就可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=65°，
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣65°=25°．
∵AB∥CD，∠BCD=∠ABC=25°．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，锻炼了学生对所学知识的应用能力．
17．（3分）（2017•黔西南州）函数y=√x-1的自变量x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
18．（3分）（2017•黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三
角形的周长是 1 5 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存
在，再根据三角形的周长公式求值即可．
第13页（共23页）【解答】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角
形的三条边长为解题的关键．
19．（3分）（2017•黔西南州）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在
9
AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
4
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LE：正方形的性质．
【分析】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∵AE=EB=3，EF=FD，设EF=DF=x．则AF=6﹣x，
在RT△AEF中，∵AE2+AF2=EF2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
15
∴x= ，
4
15 9
∴AF=6﹣ = cm，
4 4
9
故答案为 ．
4
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利
用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．
第14页（共23页）20．（3分）（2017•黔西南州）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列
命题中正确的有 ①③④ （填序号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；O1：命题与定理．
【分析】①由抛物线的开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于y轴负半轴，即
可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而可得出abc＞0，①正确；②由抛物线与x轴有两个不同的
交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；③由当x=﹣2时y＞0，可得出4a﹣2b+c
＞0，③正确；④由抛物线对称轴的大致范围，可得出﹣2a＜b＜0，结合a＞0、c＜0可得
出2a+b＞0＞c，④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在 y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴
负半轴，
b
∴a＞0，﹣ ＞0，c＜0，
2a
∴b＜0，abc＞0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；
③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，③正确；
b
④∵0＜﹣ ＜1，
2a
∴﹣2a＜b＜0，
∴2a+b＞0＞c，④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及命题与定理，观察函数图象，逐一分
析四条结论的正误是解题的关键．
三、（本大题12分）
21．（12分）（2017•黔西南州）（1）计算：√12+|3﹣√3|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+
1
（ ）﹣2
2
2-x 1
（2）解方程： + =1．
x-3 3-x
【考点】B3：解分式方程；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特
殊角的三角函数值．
【分析】（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从
左到右依次运算；
（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
第15页（共23页）1
【解答】解：（1）√12+|3﹣√3|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（ ）﹣2
2
1
√3
=2√3+3﹣√3﹣2× +1+ 1
2
2 ( )
2
=2√3+3﹣√3﹣√3+1+4
=8；
2-x 1
（2） + =1
x-3 3-x
2-x 1
整理得 ﹣ =1
x-3 x-3
2-x-1
=1
x-3
1﹣x=x﹣3
解得x=2
经检验：x=2是分式方程的解．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，解题时注意：实数既可以进行加、
减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．解分式方程时，
一定要检验．
四、（本大题12分）
22．（12分）（2017•黔西南州）如图，已知AB为⊙O直径，D是^BC的中点，DE⊥AC交AC
的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可
得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；
（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．
【解答】（1）证明：连接OD，BC，
∵D是弧BC的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC，
第16页（共23页）∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵D是弧BC的中点，
∴^DC=^DB，
∴∠EAD=∠BAD，
∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，
∴DE=DG=4，
∵DO=5，
∴GO=3，
∴AG=8，
8
∴tan∠ADG= =2，
4
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，
∴DG∥BF，
∴tan∠F=tan∠ADG=2．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出 AG，DG的长是
解题关键．
五、（本大题14分）
23．（14分）（2017•黔西南州）今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的
肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 A、B、C、D表示）这四种不同口味
粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统
计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：
（1）参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树
第17页（共23页）状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计
图．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；
（2）根据总人数减去爱吃A、B、D三种粽子的人数可得爱吃C的人数，然后再根据人数计
算出百分比即可；
（3）求出D占的百分比，乘以8000即可得到结果；
（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出他第二个吃到的恰好是 C粽的情况数，即可
求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：180+60+120+240=600（人）；
（2）如图所示；
（3）根据题意得：40%×8000=3200（人）；
（4）如图，
得到所有等可能的情况有12种，其中第二个吃到的恰好是C粽的情况有3种，
3 1
则P（C粽）= = ，
12 4
1
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是 ．
4
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
六、（本大题14分）
24．（14分）（2017•黔西南州）赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端
午节期间进行划龙舟比赛，从起点 A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离 y
（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
第18页（共23页）（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象即可得出起点A与终点B之间的距离；
（2）根据函数图象即可得出甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；
（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，把（25，3000）代入，可得甲龙舟队的y与
x函数关系式；设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，把（5，0），（20，3000）代
入，可得乙龙舟队的y与x函数关系式；
（4）分四种情况进行讨论，根据两支龙舟队相距200米分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）由图可得，起点A与终点B之间相距3000米；
（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；
（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，
把（25，3000）代入，可得3000=25k，
解得k=120，
∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y=120x（0≤x≤25），
设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，
把（5，0），（20，3000）代入，可得
{&0=5a+b
，
&3000=20a+b
{&a=200
解得 ，
&b=-1000
∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x﹣1000（5≤x≤20）；
（4）令120x=200x﹣1000，可得x=12.5，
即当x=12.5时，两龙舟队相遇，
5
当x＜5时，令120x=200，则x= （符合题意）；
3
当5≤x＜12.5时，令120x﹣（200x﹣1000）=200，则x=10（符合题意）；
当12.5＜x≤20时，令200x﹣1000﹣120x=200，则x=15（符合题意）；
70
当20＜x≤25时，令3000﹣120x=200，则x= （符合题意）；
3
5 70
综上所述，甲龙舟队出发 或10或15或 分钟时，两支龙舟队相距200米
3 3
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析
式的方法，解题时注意数形结合思想以及分类思想的运用．
七、（本大题12分）
25．（12分）（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各
题．
第19页（共23页）（1）sin2A+cos2A= 1 ，sin2A+cos2A= 1 ，sin2A+cos2A= 1 ；
1 1 2 2 3 3
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= 1 ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
12
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA= ，求cosA．
13
【考点】T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；
a b a b a2+b2 c2
（3）由sinA= 、cosA= 且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= = =1；
c c c c c2 c2
12
（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（ ）2+cosA2=1，据此可得答案．
13
1 √3 1 3
【解答】解：（1）sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= + =1，
1 1 2 2 4 4
1 1 1 1
sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= + =1，
2 2 √2 √2 2 2
3 4 9 16
sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= + =1，
3 3 5 5 25 25
故答案为：1、1、1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，
故答案为：1；
a b
（3）在图2中，∵sinA= ，cosA= ，且a2+b2=c2，
c c
a b a2 b2 a2+b2 c2
则sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= + = = =1，
c c c2 c2 c2 c2
即sin2A+cos2A=1；
（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∵sin2A+cos2A=1，
12
∴（ ）2+cosA2=1，
13
第20页（共23页）5 5
解得：cosA= 或cosA=﹣ （舍），
13 13
5
∴cosA= ．
13
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关
键．
八、（本大题16分）
7
26．（16分）（2017•黔西南州）如图1，抛物线y=ax2+bx+ ，经过A（1，0）、B（7，
4
0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
4√3
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S = S ？若存在，请求出点M的坐
△ABM 9 △ABC
标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b方程组，解
关于a、b的方程组求得a、b的值即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．依据等边三角形的性质可求得CK=3√3，然后依据三角
1 7
形的面积公式结合已知条件可求得S 的面积，设M（a， a2﹣2a+ ），然后依据三角形
△ABM 4 4
的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点M的坐标；
（3）①首先证明△BEC≌△AFB，依据全等三角形的性质可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后
通过等量代换可得到∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依据三角形的内角和定
理可求得∠APB；
②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得
⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE=BF时，点P在AB的垂直平
分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．
【解答】解：（1）将点 A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：
第21页（共23页）7
{&49a+7b+ =0
4 ，
7
&a+b+ =0
4
1
解得：a= ，b=﹣2．
4
1 7
∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+ ．
4 4
4√3
（2）存在点M，使得S = S ．
△ABM 9 △ABC
理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=30°．
∴CK=3√3．
1 1
∴S = AB•CK= ×6×3=9√3．
△ABC 2 2
4√3
∴S = ×9√3=12．
△ABM 9
1 7
设M（a， a2﹣2a+ ）．
4 4
1 1 1 7
∴ AB•|y|=12，即 ×6×（ a2﹣2a+ ）=12，
2 2 4 4
解得：a=9，a=﹣1．
1 2
∴点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．
（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
{
&BC=AB
∵在△BEC和△AFB中 &∠C=∠ABF，
&CE=BF
∴△BEC≌△AFB．
第22页（共23页）∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°﹣60°=120°．
②当AE≠BF时，由①可知点P在以M为圆心，在以AB为弦的圆上，过点M作MK⊥AB，垂
足为k．
∵∠APB=120°，
∴∠N=60°．
∴∠AMB=120°．
又∵MK⊥AB，垂足为K，
∴AK=BK=3，∠AMK=60°．
∴AK=2√3．
120⋅π×2√3 4√3π
∴点P运动的路径= = ．
180 3
当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路
径=CK的长．
∵AC=6，∠CAK=60°，
∴KC=3√3．
∴点P运动的路径为3√3．
4√3π
综上所述，点P运动的路径为3√3或 ．
3
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次
函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、扇形的弧长公式，判断出
点P运动的轨迹生成的图形的形状是解题的关键．
第23页（共23页）
