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易错 01 集合与常用逻辑用语（3 个易错点错因分析与分类讲
解+10 个易错核心题型强化训练）
易错点错因分析与分类讲解
易错点1 忽视对空集的讨论而致误
【例1】. [湖南师大附中2023第三次月考]已知集合 ， .
若 ，则实数 的取值范围为（）
特别提醒：当两集合的交集为空集时，需考虑其中含参数的集合是否为空集，本题求解的易错之处在于忽
略 ，即 的情况.
【解析】因为 ，当 时， ，则 ，满足 ；当 时，
，则 ，因为 ， ，所以 解得 .
综上，实数 的取值范围为 .故选 .
【变式】.[江西景德镇乐平中学2022月考]设集合
.若 ， 实数 的取值范围为（ ）
特别提醒：要求解的含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集时，应考虑所求集合为空集的特殊情况，
因此本题求解的易错之处在于忽略 的情况.
【 解 析 】 由 得 . 因 为 集 合 ，
.当 时，有 ，解得 ；当 时，有，解得 .综上，实数 的取值范围为 .故选 .
易错点2 忽略集合中元素的互异性而致误
【例 2】. [湖南邵阳二中 2023 第五次月考]已知 ，若 ，则
的值为（）
特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的
互异性.本题的易错之处是忽略检验当 时是否满足集合中元素的互异性.
【解析】由集合相等可知 且 ，则 ，所以 ，所以 解得 或
. 根 据 集 合 中 元 素 的 互 异 性 可 知 应 舍 去 ， 因 此 ， 所 以
.故选 .
【变式】. [福建龙岩一中 2022 月考]已知 ,若集合 ，则
（）
特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的
互异性，本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性.
【解析】因为 ，所以 ，解得 或 ，当 时，不满
足集合中元素的互异性，故 ，即 .故选
易错点3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误
【 例 3 】 . [ 河 南 驻 马 店 二 中 2023 第 二 次 培 优 考 ] 已 知 ，.若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 .
特别提醒：根据充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件求参数，可参考如下结论：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应的集合是 对应的集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应的集合是 对应的集合的真子集；
（3）若 是 的充要条件，则 对应的集合与 对应的集合相等.
此题易错之处在于误认为 是 的真子集.
【解析】由不等式 ，解得 ，设 对应的集合为 ，则 .由不
等式 ，解得 ，设 对应的集合为 ，则
.因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集，则 （不同
时取等号），解得 ，所以实数 的取值范围是 .
【变式】. [湖南名校2022第二次联考]已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则实数的取值范围是（）
特别提醒：根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数，可参考如下结论，（1）若 是 的必要不充
分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充要条件，则 对应集合与 对应集合相等
此题易错之处在于若“ ”是“ ”的充分不必要条件，误认为 .
【解析】设 .若“ ”是“ ”的
充分不必要条件，则 ，则 ，等号不同时成立，解得 ，故选
【易错核心题型强化训练】
一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2024•泸县校级开学）设集合 ， ， ， ， ，0， ， ，2，3，4， ，那
么集合 中满足条件 的元素的个数为
A．60 B．100 C．120 D．130
【分析】从条件“ ”入手，讨论 所有取值的可能性，分别为5个数值
中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况
【解答】解：由于 只能取0或1，且“ ”，
因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
① 中有2个取值为0，另外3个从 ，1中取，共有方法数： ；
② 中有3个取值为0，另外2个从 ，1中取，共有方法数： ；
③ 中有4个取值为0，另外1个从 ，1中取，共有方法数： ．
总共方法数是 ． 即元素个数为130．
故选： ．
【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能
力，属于中档题．
二．集合的确定性、互异性、无序性（共1小题）
2．（2024•扬中市校级开学）设集合 ， ， ，若 ，则
A． 或 或2 B． 或 C． 或2 D． 或2
【分析】分别由 ， ，求出 的值，代入观察即可．
【解答】解：若 ，则 ，
，
，4， ；
若 ，则 或 ，
时， ，， ， ；
时， （舍 ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．
三．集合的包含关系判断及应用（共1小题）
3．（2024•浦东新区校级模拟）函数 ，其中 、 为实数集 的两个非空子集，又规
定 ， ， ， ．给出下列四个判断，其中正确判断有
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数 与 图象来研究，分析可得答案．
【解答】解：由题意知函数 、 的图象如图所示，
设 ， ， ， ，
， ， ，
， ，则 ．
而 ， ，故①错误．
对于②，若 ， ， ，则 ， ， ， ，
则 ，故②错误．设 ， ， ， ，
，则 ．
， ， ， ，
， ，故③错误．
④由③的判断知，当 ，则 是正确的．故④对．
故选： ．
【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉
络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题
常用的一种思路．
四．并集及其运算（共1小题）
4．（2024•浙江学业考试）已知集合 ，1， ，集合 ，2， ，则
A． B． C． ，2， D． ，1，2，
【分析】根据并集的概念求解即可．
【解答】解： 集合 ，1， ，集合 ，2， ，
，1，2， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查并集的概念，属于基础题
五．交集及其运算（共4小题）
5．（2024•沙依巴克区校级模拟）已知集合 ， ，若 ，则 取
值范围是A． B． C． D．
【分析】条件 可转化为 ，即可得不等式组 ，即可解得．
【解答】解： ，
，
，
解得， ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的运算与集合间关系的转化，同时考查了不等式的解法，属于基础题．
6．（2024•北京学业考试）已知集合 ，0， ， ， ，则 等于
A． ，0， B． ， C． D． ，
【分析】要求 ，即求由所有属于集合 且属于集合 的元素所组成的集合．
【解答】解： 集合 ，0， ， ， ，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合交集的概念，是简单的基础题．
7．（2024•让胡路区校级开学）设全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】分别解一元二次不等式、对数不等式，化简 ， ，然后求交集．
【解答】解：解 得 ， ，由 得 ，故 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查不等式的解法，交集的运算，属于基础题．
8．（2024•平江县校级开学）已知集合 ， ， ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）若命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【分析】（1）求出集合 ， 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）当 时， 或 ．
， ， ，
则 ．
（2）若命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件，则 ，
．
对应方程的两个根为 或 ，
①若 ，即 ，此时 ，满足 ，
②若 ，即 ，此时 或 ，
若满足 ，则 或 ，解得 或 （舍去），
此时 ．
③若 ，即 ，此时 或 ，
若满足 ，则 或 （舍 ，解得 ．综上 ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，注意要进行分类讨论．
六．交、并、补集的混合运算（共1小题）
9．（2024•合江县校级开学）设全集 ，2，3，4， ，集合 ，3， ，集合 ， ，则
A． B． C． ， D． ，3，
【分析】先解出 的补集，再求出结果即可
【解答】解：因为全集 ，2，3，4， ，集合 ，3， ，
所以 ， ，
又因为集合 ， ，所以 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
七．充分条件与必要条件（共2小题）
10．（2024•东坡区校级开学）设 ， ，下列说法中错误的是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．“ ， ”是“ ， ”的充要条件
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件，必要条件的概念判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于 ，因为 的解集为 ， ， ，所以“ ”是“ ”的充分不必
要条件，选项 正确；
对于 ，“ ”时，“ ”不一定成立，反之“ ”成立时，“ ”一定成立，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，选项 正确；
对于 ，“ ， ”时，“ ， ”一定成立，反之“ ， ”成立时， ，
不一定成立，如 ， ，所以“ ， ”是“ ， ”的充分不必要条件，选
项 错误；
对于 ，当 ， 时，满足“ ”，但不满足“ ”；当 ， 时，满足“
”，但不满足“ ”，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11．（2024春•顺德区校级月考）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在
正整数 ，当 时， ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
【解答】解：因为数列 是公差不为0的无穷等差数列，当 为递增数列时，公差 ，
令 ，解得 ， 表示取整函数，
所以存在正整数 ，当 时， ，充分性成立；
当 时， ， ，则 ，必要性成立；
是充分必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
八．全称量词和全称命题（共1小题）
12．（2023秋•昆明期末）已知 ， ， ； ， ， ．那么 ， 的取值范围分别为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】根据全称命题与特称命题的定义，分别写出 ， 的取值范围即可．
【解答】解：由 ， ， ；
得 ．
由 ， ， ；
得 ．
， 的取值范围分别为 和 ．
故选： ．
【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，是基础题．
九．存在量词和特称命题（共1小题）
13．（2024•开福区校级模拟）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围为 ，
．
【分析】将问题转化命题“ ， ”是真命题，求解即可．
【解答】解：因为命题“ ， ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ， ，
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
一十．命题的真假判断与应用（共9小题）
14．（2024•红谷滩区校级模拟）已知 ， 表示两条直线， ， ， 表示三个平面，则下列是真命题
的有 个．
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， 相交且都在 ， 外， ， ， ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④ ， ， ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，即可判断；
对于②，可由面面平行的判定定理即可判断；
对于③，可考虑 和交线平行，即可判断；
对于④，可考虑 、 和交线平行，即可判断．
【解答】解：对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，满足条件，但它们不平行，故①
错；
对于②，若 ， 相交且都在 ， 外， ， ， ， ，
由面面平行的判定定理可得，设 ， 相交确定的平面为 ，则有 ， ，
则有 ，故②对；
对于③，若 ， ，则 或 、 相交，由于 可和交线平行，故③错；对于④，若 ， ， ，则 或 、 相交，由于 、 可和交线平行，故④错．
故选： ．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行的判断和性质，以及面面平行的判断和性质，
考查空间想象能力，以及推理能力，属于基础题和易错题．
15．（2024春•宝山区校级月考）函数 ，正确的命题是
A．值域为 B．在 上是增函数
C． 有两个不同零点 D．过 点的切线有两条
【分析】求出函数 的定义域和导数，利用导数判断 的单调性，求出最值，再判断选项中的
命题是否正确．
【解答】解：函数 ，且 ；
则 ，
令 ，解得 ，
所以 时， ， 单调递减；
， 时， ， 单调递增；
所以 时， 取得最小值为 ，
所以 的值域为 ， ，因此 错误；
又 ，所以 在 上单调递增，所以 正确；
又 时， ，所以 ，
所以 在 内没有零点，在 ， 内有1个零点，因此 错误；
又 时 ，所以 是函数 图象上的点，且 时 （1） ，所以过该点的切线方程为 ，只有1条，因此 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，也考查了导数的应用以及函数的极值，零点问题，是综合题．
16．（2024春•普陀区校级月考）对于全集 的子集 ，定义函数 为 的特征函数．
设 ， 为全集 的子集，下列结论中错误的是
A．若 ， B．
C． D．
【分析】根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对 、 、 、 各项中的
运算加以验证，进而求解；
【解答】解： ，可得 则 ， ， ，而
中可能有 的元素，但 中不可能有 的元素， ，故 正确；
：因为 ，综合 的表达式，可得 ，故 正确；
，故 正确；
，故 错误；
故选： ．
【点评】考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；
17．（2024•绥中县校级开学）下列命题中是真命题的有
A．有 ， ， 三种个体按 的比例分层抽样调查，如果抽取的 个体数为9，则样本容量为30
B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间
， 内的频率为0.4
【分析】 中，由分层抽样原理求出样本容量的值；
中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；
中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；
中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可．
【解答】解：对于 ，由分层抽样原理知，样本容量为 ，所以选项 错误；
对于 ，数据1，2，3，3，4，5的平均数为 ，
众数为6，中位数也是3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项 正确；
对于 ，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5；
它的平均数是 ，
方差为 ，
这两组数据中较稳定的是乙，所以选项 错误；
对于 ，由题意知样本容量为10，样本数据落在区间 ， 内的频数是4，
所以频率为0.4，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
18．（2024春•芝罘区校级月考）如图，点 是正方体 的棱 的中点，点 在线段
上运动，则下列结论正确的是A．直线 与直线 始终是异面直线
B．存在点 ，使得
C．四面体 的体积为定值
D．当 时，平面 平面
【分析】当 为 的中点时可知 错误，证明 平面 可知 正确；建立空间坐标系，利用向
量判断 即可．
【解答】解：（1）当 为 的中点时，直线 与直线 是相交直线，交点为 ，故 错误；
（2）以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间坐标系 ，
设正方体棱长为1，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，
，0， ， ，0， ， ， ， ．
，则 ， ， ，
若 ，则 ，即 ，解得 ，
当 为线段 的靠近 的三等分点时， ，故 正确；
（3）连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 也是 的中点，
由中位线定理可知 ，
平面 ，故 ，故 正确；
（4） ， ， ，
平面 ，
， ，故 为二面角 的平面角，
当 时， ， ， ，又 ， ， ，， ， ， ， ， ，
， ，
故平面 平面 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．
19．（2024春•璧山区校级月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管
中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度 随时间 的变化而变化，甲、乙两人服用该
药物后，血管中药物浓度随时间 变化的关系如图所示．则下列结论正确的是
A．在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在 ， 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在 ， 和 ， 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的
斜率，平均变化率是 再结合图象，逐一判断项即可．
【解答】解：选项 ，在 时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项 正确；
选项 ，在 时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的 不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项 错误；
选项 ，由平均变化率公式知，甲、乙两人在
， 内，血管中药物浓度的平均变化率均为 ，即选项 正确；
选项 ，在 ， 和 ， 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 和
显然不相同，即选项 不正确．
故选： ．
【点评】本题考查函数的实际应用，判断的关键是理解两个概念：瞬时变化率和平均变化率，考查逻辑推
理能力，属于基础题．
20．（2024春•沙坪坝区校级月考）设函数 ，已知 在 ， 有且仅有3个零
点，下列结论正确的是
A．在 上存在 ， ，满足
B． 在 有且仅有1个最小值点
C． 在 单调递增
D． 的取值范围是
【分析】由题意根据 在区间 ， 有3个零点画出大致图象，可得区间长度 介于周期 ，
，再用 表示周期，得 的范围．【解答】解：画出函数 大致图象如图所示，
当 时 ；
又 ，所以 时 在 轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
函数在 ， 仅有3个零点时，则 的位置在 之间（包括 ，不包括 ，
令 ，则 得， ，
轴右侧第一个点横坐标为 ，周期 ，
所以 ，
即 ，解得 ，所以 错误；
在区间 ， 上，函数 达到最大值和最小值，
所以存在 ， ，满足 ，所以 正确；
由大致图象得， 在 内有且只有1个最小值点， 正确；
因为 最小值为 ，所以 时， ， ，
所以 时，函数 不单调递增，所以 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出 的范围，再判断命题的真假性，是解
题的关键．
21．（2024春•沙坪坝区校级月考）已知 ，且关于 的方程 无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是
A．若 ，则不等式 对一切 恒成立
B．若 ，则必然存在实数 使不等式 成立
C．关于 的方程 一定没有实数根
D．若 ，则不等式 对一切 恒成立
【分析】函数 为一个复合函数，把 看作为一个未知数 ， 的范围就是 的值域；
由此入手进行判断，能够得到正确答案．
【解答】解：函数 为一个复合函数，可以把方括号里的 看作为一个未知数 ， 的范围就是
的值域；
对于 ， 可以看作 ，而题中 无实根，方括号里的 看作为一个未知数 ，
则外层为一个开口向上的2次函数，且 无实根，且 ，
所以不等式 对一切 都成立， 正确；
对于 ， 时，由 无实根知二次函数 开口向下，且与 轴没有交点，
同理，令 ，则二次函数 也开口向下，且与横轴没有交点，
所以不等式 对一切 都成立， 错误；
对于 ， 看为 ，而题中 无实根，所以方程 无实根，所以 正确；
对于 ，由 知 （1） ，又 无实根，所以 ，
由选项 知不等式 对一切 恒成立， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数的定义与性质的应用问题，考查了分析与运算求解能力，是中档题．
22．（2024•平罗县校级一模）设函数 的图象关于直线 对称，
它的周期是 ，有下列说法：
① 的函数图象过点 ；
② 在 上是减函数；
③ 的一个对称中心是 ；
④将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象．
其中正确的序号是 ①③ ．（正确的序号全填上）
【分析】由题意求出函数 的解析式为 ，再判断题目中的命题是否正确．
【解答】解：因为函数 的周期为 ，所以 ，
又函数 的图象关于直线 对称，
所以由 ，
可知 ，解得 ，
又 ，
所以 时， ；
函数的解析式为： ；
当 时 ， 的图象过点 ，①正确；
， 时， ， ， 是先增后减，②错误；
当 时， ，即函数 的一个对称中心是 ， ，③正确；
由 ， ，将 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，不是函数 的图象，④错误；
综上所述，正确的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性、周期性、对称性以及三角函数解析式的求法应用问题，是基
础题．
