文档内容
第 01 讲 集合与逻辑（14 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年秋考第1题 补集
2024春考第21题 充要条件与函数综合
2023秋考第13题 元素与集合关系的判断
2023春考第1题 集合相等
2022年秋考13题、16题 集合的交集、集合与直线和圆综合
2022年春考2题 集合的交集
2021年秋考2题 集合的交集
2021年春考14题 集合的基本运算
2020年秋考1题
集合的交集
2020年春考1题
集合的包含关系
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是上海高考卷的必考内容，考查形式多样。填空题1题设题稳定，难度较低，分
值为4分，选择题考查比较综合，分值为5分。
【备考策略】
1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.掌握集合与其他知识综合应用及集合新定义问题
4.掌握逻辑用语与其他知识综合应用
【命题预测】集合仍会从集合之间的关系与基本运算方向进行命制.大概率会出现其他知识结合以及充要
条件应用问题.知识讲解
1.集合的有关概念
（1）集合元素的三大特性： 、 、
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 .
（3）集合的三种表示方法： 、 、
（4）五个特定的集合
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N
＋
2.集合间的基本关系
文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素都相同
集合间的 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
基本关系 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中
真子集
至少有一个元素不是集合A中的元素
空集 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集合A的
符号表示 A∪B A∩B
补集为
图形表示
集合表示
4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( )＝ ，A∪( )＝U， ；
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
② 是任何集合的子集（即∅⊆A）；
是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅ A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有 个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4） （5）
6.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q ⇏ p
⇒
p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q p
⇒
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p
⇔
7.充分、必要条件与集合的关系
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A B，p是q的充分不必要条件⇔A B；
（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；
（3）p是q的充要条件⇔A⊆ ＝B．
考点一.元素与集合关系的判断
1．（2024•杨浦区校级三模）已知集合 ， ， ， ， 或 ，则
A． B． C． D． ，2，
2．（2024•宝山区二模）已知集合 ， ， ，且 ，则实数 的值为 ．
3．（2023•徐汇区三模）对任意数集 ， ， ，满足表达式为 且值域为 的函数
个数为 ．记所有可能的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 ．4．（2023•徐汇区校级三模）已知集合 ，其中 且 ，记 ，且对
任意 ，都有 ，则 的值是 ．
考点二．集合的表示法
5．（2024•杨浦区校级三模）已知非空集合 ， 满足以下两个条件：
（ⅰ） ，2，3，4，5， ， ；
（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，则有序集合对 的个数为
A．10 B．12 C．14 D．16
6．（2024•静安区二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ．
7．（2023秋•奉贤区期末）用描述法表示所有偶数组成的集合 ．
8．（2023秋•宝山区校级期末）已知集合 ， ， ．
（1）若 只有一个元素，试求实数 的值，并用列举法表示集合 ；
（2）若 至少有两个子集，试求实数 的取值范围．
考点三．集合的相等
9．（2023秋•普陀区校级期末）下列表示同一集合的是
A． ， ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
10．（2023秋•浦东新区校级期末）若集合 ，2， ， ， ，则 ．11．（2023秋•宝山区校级月考）已知集合 ， ， ， ，且 ，则 的值为 ．
12．（2023秋•闵行区校级期中） 是有理数集，集合 ，在下列集合中：
① ；② ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
与集合 相等的集合序号是 ．
考点四．集合的包含关系判断及应用
13．（2024•长宁区二模）已知集合 ， ， ，3， ，若 ，则 ．
14．（2024•宝山区校级四模）已知集合 ， 且 ，则实数 的取值范围是
．
考点五．子集与真子集
15．（2024•黄浦区校级三模）已知 ，集合 ，若集合 恰有8个子集，
则 的可能值有几个
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2024•宝山区校级四模）考虑 ， 的非空子集 ，满足 中的元素个数等于 中的
最小元素，例如， ，6，8， 就满足此条件．则这样的子集 共有 个．
17．（2024•嘉定区二模）若规定集合 ，1，2， ， 的子集 ， ， ， ， 为 的第
个子集，其中 ，则 的第211个子集是 ．
18．（2024•徐汇区校级模拟）已知 ，集合 ，若集合 恰有8个子集，则
的可能值的集合为 ．
考点六．集合中元素个数的最值19．（2023秋•普陀区校级期末）集合 ，且 ，则 的个数是
A．6 B．7 C．8 D．9
20．（2024春•徐汇区校级月考）设集合 ， ，且 ， ，则集合 中元素
个数为 ．
21．（2023 秋•浦东新区校级月考）已知集合 为非空数集，定义： ， ， ，
， ， ．
（1）若集合 ， ，直接写出集合 ， （无需写计算过程）；
（2）若集合 ， ， ， ， ，且 ，求证： ；
（3）若集合 ， ， ，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值．
考点七．集合关系中的参数取值问题
22．（2023秋•青浦区校级月考）设集合 ， ，若 ，则 的取
值范围是 ．
23．（2023 秋•青浦区校级月考）设集合 ， ，且满足（1） ；（2）若 ，则．
（1） 能否为单元集，为什么？
（2）求出只含两个元素的集合 ．
（3）满足题设条件的集合 共有几个？为什么？能否列举出来．
考点八．并集及其运算
24．（2024•青浦区校级模拟）若集合 ， ， ，则实数 ．
25．（2024•黄浦区二模）集合 ， ， ，则 ．
26．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ， ，则 ．
27．（2024•宝山区三模）若集合 ，2， ， ，2， ，则 ．
考点九．交集及其运算
28．（2024•松江区校级模拟）已知集合 ， ，则
．
29．（2024•浦东新区校级三模）集合 ，集合 ，则 ．
30．（2024•闵行区校级模拟）已知集合 ，3， ， ， ，若 ，则 ．31．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ， ， ，则
．
考点十．交、并、补集的混合运算
32．（2023春•徐汇区校级期末）已知集合 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ．
33．（2022秋•上海期末）已知全集 ，集合 ， ．求 ， ．
34．（2023秋•浦东新区校级期中）定义一种集合运算 为： 或 ，设全集为
，给定集合 与 ，则仅使用 运算和 、 、 ，可以表示下列集合中的 （填序号）
① ；
② ；
③ ．
35．（2023秋•静安区校级月考）设非空集合 ， ，定义集合． 且 ，则集合
是
A． B． C． D．
考点十一．子集与交集、并集运算的转换36．（2023秋•杨浦区校级期中）设 为全集，对集合 、 ，定义运算“ ”， ．对
于集合 ，2，3，4，5，6，7， ， ，2， ， ，4， ， ，4， ，则
．
37 ． （ 2023 秋 • 静 安 区 校 级 期 中 ） 用 （ A ） 表 示 非 空 集 合 中 元 素 的 个 数 ， 设
，若 （A） ，则实数 的取值范围 ．
38 ． （ 2023 秋 • 杨 浦 区 校 级 期 中 ） 用 （ A ） 表 示 非 空 集 合 中 元 素 的 个 数 ， 定 义
，若 ， ， ，且 ，设实数
的所有可能取值构成集合 ，则 ．
39．（2023秋•徐汇区校级月考）对于集合 、 ，定义集合运算 且 ，给出下列三
个结论：
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，则 ．
则其中所有正确结论的序号是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
考点十二．Venn图表达集合的关系及运算
40．（2023秋•青浦区校级月考）如图， 表示全集， ， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是
A． B． C． D．
41．（2023秋•宝山区校级月考）如图， 为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A． B． C． D．
42．（2023秋•浦东新区校级月考）设全集 ，集合 ，1，3，5，7， ， ，2，4，5，
，则图中阴影部分表示的集合是 ．
43．（2023秋•闵行区校级月考）对班级40名学生调查对 、 两事件的态度，有如下结果：赞成 的人
数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 的比赞成 的多3人，其余的不赞成，另外，对 、 都不
赞成的学生数比对 、 都赞成的学生数的三分之一多1人，问对 、 都赞成的学生有 人．
考点十三．充分条件与必要条件
44．（2024•闵行区二模）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
45．（2024•黄浦区校级三模）设 且 ，则“函数 在 上是减函数”是“函数
在 上是增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
46．（2024•浦东新区三模）“ ”，是“ ”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要47．（2024•长宁区校级三模）已知角 ， 是 的内角，则“ ”是“ ”的
条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
48．（2024•嘉定区校级模拟）“ ”是“ ”的 条件．
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要
49．（2024•宝山区三模）已知数列 为无穷项等比数列， 为其前 项的和，“ ，且 ”是
“ ，总有 ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件
考点十四．命题的真假判断与应用
50．（2024•浦东新区校级模拟）设正数 ， ， 不全相等， ，函数 ．
关于说法①对任意 ， ， ， 都为偶函数，②对任意 ， ， ， 在 ， 上严格单调增，
以下判断正确的是
A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误
51．（2024•松江区二模）设 为数列 的前 项和，有以下两个命题：①若 是公差不为零的等差
数列且 ， ，则 是 的必要非充分条件；②若 是等比数列且
， ，则 的充要条件是 ．那么
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，①是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
52．（2024•虹口区模拟）以下四个命题：
①函数 最小值为3；
②方程 没有整数解；
③若 ，则 ；
④不等式 的解集为 ．
其中真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．453．（2024•浦东新区校级模拟）若非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，则记△ ．
下列命题中正确的是
A．已知 ， ， ， ，且△ △ ，则
B．已知 ， ， ，若△ ，则对任意 ， ，都有
C．已知 ， ， ， 则存在实数 ，使得△
D．已知 ， ， ， ，则对任意的实数 ，总存在实数 ，使得△
54．（2024•浦东新区校级模拟）能够使得命题“曲线 上存在四个点 ， ， ， 满足
四边形 是正方形”为真命题的一个实数 的值为 ．
一．选择题（共9小题）
1．（2023•徐汇区二模）设 ，则 是 为纯虚数的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2024•宝山区校级四模）设无穷等比数列 的公比为 ，则“ ， ”是“ 为严格增数
列”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2023•虹口区校级三模）若 、 为实数，则“ ”是“直线 与直线 平
行”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4 ． （ 2023• 浦 东 新 区 校 级 模 拟 ） 设 点 满 足 ， 则 “ ” 是 “
为定值”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023•嘉定区校级三模）已知函数 ， 的导数是 ，那么“函数 在 上
严格递增”是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（2023•长宁区校级三模）已知 是两个非零向量，那么“ ”是“存在 ，使得
”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
7．（2024•黄浦区校级三模）在区间 上， 是函数 在该区间严格增的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
8．（2023•虹口区校级三模）设 是两个非零向量 的夹角，若对任意实数 ， 的最小值为1．命
题 ：若 确定，则 唯一确定；命题 ：若 确定，则 唯一确定．下列说法正确的是
A．命题 是真命题，命题 是假命题
B．命题 是假命题，命题 是真命题
C．命题 和命题 都是真命题
D．命题 和命题 都是假命题
9．（2023•徐汇区三模）已知不等式 有实数解．命题①：设 ， 是 的两个解，
则 和 ；命题②：设 是 的一个解，若 也成立，则 ，下列说法
正确的是
A．命题①、②都成立 B．命题①、②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立
二．填空题（共13小题）
10．（2023•虹口区校级模拟）已知集合 ， ，若 ，则实数 ．
11．（2023•松江区校级模拟）已知集合 ，1， ， ，3， ，则 ．
12．（2024•黄浦区校级三模）已知集合 ，2，3， ， ，则 ．
13．（2023•徐汇区校级模拟）已知集合 ，集合 ，0，1， ，则 ．
14．（2024•杨浦区校级三模）已知集合 ， ，则 ．
15．（2024•闵行区二模）集合 ， ， ， ，则 ．
16．（2023•宝山区校级模拟）设集合 ，则集合 ．
17．（2023•杨浦区二模）集合 ， ， ，则 ．18．（2023•浦东新区校级模拟）已知全集 ， ，集合 ，则 ．
19．（2023•黄浦区校级三模）若全集为 ，集合 ， ，则 ．
20．（2023•嘉定区校级三模）设集合 ， ，则 ．
21．（2023•徐汇区校级三模）已知全集 ，集合 ，0，1， ， ，则
．
22．（2023•徐汇区校级三模）设全集为 ， ，则 ．
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•金山区期末）设集合 ，2， ， ， 、 均为 的非空子集（允许 ． 中
的最大元素与 中的最小元素分别记为 、 ，则满足 的有序集合对 的个数为
A． B．
C． D．
2．（2023•浦东新区校级三模）对于两个实数 ， ，设 则“ ”是“函数
， 的图象关于直线 对称”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022•闵行区二模）已知 、 、 是平面内不共线的三点，点 满足 为实常
数，现有下述两个命题：（1）当 时，满足条件的点 存在且是唯一的；（2）当 时，满足条
件的点 不存在．则说法正确的一项是
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
4．（2023•闵行区校级一模）已知 是等差数列， ，且存在正整数 ，使得对任意的正整数
都有 ．若集合 ， 中只含有4个元素，则 的取值不可能是
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2020•浦东新区二模）设集合 ，2，3， ， ，设集合 是集合 的非空子集， 中的最
大元素和最小元素之差称为集合 的直径．那么集合 所有直径为71的子集的元素个数之和为A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
6．（2024春•宝山区校级期中）已知全集 ， ，集合 ， 为 的子集，则有序集合 一共有
组．
7．（2022•杨浦区模拟）已知 ， ，则 ．
8．（2023秋•普陀区校级期末）已知全集 ，2，3，4， ，集合 ，3， ，则 ．
9．（2023•徐汇区三模）
对任意数集 ， ， ，满足表达式为 且值域为 的函数个数为 ．记所有可能
的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 ．
三．解答题（共1小题）
10．（2021•黄浦区三模）集合 ， ； ， ，2， ，集合 ，
，若集合 中元素个数为 ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 为“好
集合”．
（1）判断集合 ，2， 、 ，2，3， 是否为“好集合”；
（2）若集合 ，3，5， 是“好集合”，求 的值；
（3）“好集合” 的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．一．选择题
1．（2022•上海）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}
2．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x R}，则下列关系中，正确的是（
）
∈ ∈
A．A B B． A B C．A∩B＝ D．A∪B＝R
R R
3．（2020•上海）命题p：存在a R且a≠0，对于任意的x R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；
⊆ ∁ ⊆∁ ∅
命题q ：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；
1 ∈ ∈
命题q ：f（x）单调递增，存在x ＜0使得f（x ）＝0，
2 0 0
则下列说法正确的是（ ）
A．只有q 是p的充分条件
1
B．只有q 是p的充分条件
2
C．q ，q 都是p的充分条件
1 2
D．q ，q 都不是p的充分条件
1 2
二．填空题
4．（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝ （ 1 ， 2 ） ．
5．（2021•上海）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝ { ﹣ 1 ， 0 } ．
6．（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝ { 2 ， 4 } ．
7．（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A B，则a＝ 3 ．
8．（2023•上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝ 2 ．
⊆
9.【2024上海】 设全集 U={1,2,3,4,5} ,集合 A={2,4} ,求 A´ =
三、解答题
10.（2024•上海）记 （a） （a）， ， （a） （a）， ．
（1）若 ，求 （1）和 （1）；
（2）若 ，求证：对于任意 ，都有 （a） ， ，且存在 ，使得
（a）．
（3）已知定义在 上 有最小值，求证“ 是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
（c）”．
