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专题 01 集合与常用逻辑用语
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 集合间
的基本关系 2023·全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷
（10年2考）
2024·全国新Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2023·北京
考点2 交集 卷、2023全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022
（10年10 年全国乙卷、2022年全国甲卷、2022全国新Ⅰ
考） 卷、2021年全国乙卷、2021年全国甲卷、2021
一般给两个集合，要求通过解不
年全国甲卷、2021全国新Ⅰ卷 等式求出集合，然后通过集合的
2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、 运算得出答案。
考点3 并集 2020·山东卷、2019·北京卷、2017·浙江卷、
（10年8考） 2017·全国卷、2016·山东卷、2016·全国卷、
2015·全国卷
2024年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023年全
考点4 补集 国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021全
（10年8考） 国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷、2018·浙江卷、
2018·全国卷、2017·北京卷
考点5 充分条 2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、
常以关联的知识点作为命题背
件与必要条件 2023·北京卷、2023·全国甲卷、2023·天津卷
景，考查充分条件与必要条件，
（10年10 、2023·全国新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京
难度随载体而定。
考） 卷、2021·全国甲卷
考点6 全称量 2024·全国新Ⅱ卷、2020·全国新Ⅰ卷、2016·浙 全称量词命题和存在量词命题的
词与存在量词 江卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·湖北 否定及参数求解是高考复习和考
（10年4考） 卷 查的重点。
考点01 集合间的基本关系1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
2．（2020全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
考点02 交集
1．（2024·全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据集合 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足 ，
则 可能的取值为 ，即 ，
于是 .
故选：C
3．（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
5．（2022·全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
6．（2022年全国乙卷·高考真题）集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
7．（2022年全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
8．（2022全国新Ⅰ卷·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D
9．（2021年全国乙卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
10．（2021年全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：B.
11．（2021年全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为 ，所以 ,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
12．（2021全国新Ⅰ卷·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故选：B .
考点03 并集
1．（2024·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得 .
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
3．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .
故选：B.
4．（2020·山东·高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|21}，则A∪B=
A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【分析】根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
6．（2017·浙江·高考真题）已知集合 ，那么
A．（-1,2） B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2）
【答案】A
【详解】利用数轴，取 所有元素，得 ．
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
7．（2017·全国·高考真题）设集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意 ，故选A.
8．（2016·山东·高考真题）设集合 则 =
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－10}∪{x|－1－1}，故选C．
9．（2016·全国·高考真题）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：集合 ，而 ，所以 ，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
10．（2015·全国·高考真题）已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 , ,所以
故选A.
考点04 补集
1．（2024年全国甲卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
2．（2023年全国乙卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 的值，然后计算 即可.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：A.
3．（2023年全国乙卷·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
4．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:5．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
6．（2021全国新Ⅱ卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
7．（2020全国新Ⅰ卷·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用补集概念求解即可.
【详解】 .
故选：C
8．（2018·浙江·高考真题）已知全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ，故选C.
【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
9．（2018·全国·高考真题）已知集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出 的解集，从而求得集合A，之后根据集
合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式 得 ，
所以 ，
所以可以求得 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确
一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
10．（2017·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 或 ，所以 ，故选：C．
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合
就用描述法表示，并注意代表元素是什么．集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借
助数轴或Venn图进行处理．
考点05 充分条件与必要条件
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2024·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，
代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
6．（2023·天津·高考真题）已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
7．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
8．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
9．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
10．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
考点06 全称量词与存在量词
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
2．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A． 且 B． 或
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题可通过 、 、 、 、 得出结果.
【详解】A项：因为 ，所以 且 是假命题，A错误；
B项：根据 、 易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知 ，C错误；
D项： 恒大于等于 ，D正确，
故选：D.
3．（2016·浙江·高考真题）命题“ ，使得 ”的否定形式是
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
【答案】D
【详解】试题分析： 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选D．
4．（2015·浙江·高考真题）命题“ 且 的否定形式是（ ）
A． 且
B． 或
C． 且
D． 或
【答案】D
【详解】由定义，可知命题“ 且 的否定形式是 或
故选D.
考点：命题的否定5．（2015·全国·高考真题）设命题 ，则 为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由定义，命题 的否命题应该为 ，即本题的正确选项为C.
6．（2015·湖北·高考真题）命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】由定义可知，命题的否定为： ，
