文档内容
专题 01 集合与常用逻辑用语、复数
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考·（10-15）分）
考点一 集合之间的关系与运算
命题点1 集合之间的关系
命题点2 集合的交并补运算
高考猜题
考点二 常用逻辑用语
命题点1 结合其他知识的充要关系的判断
命题点2 含量词的命题的相关问题
高考猜题
考点三 复数
命题点 复数的基本概念与计算
高考猜题
04创新好题·分层训练（ 精选9道最新名校模拟试题+8道易错提升）集合与复数是高考必考题，主要考查集合的交并补运算，复数的基本概念与四则运算，其中量词是高
频考点，主要是与充要条件相结合进行考查.
真题多维细目表
考点 考向 考题
集合 ① 2023全国新高考Ⅱ卷T2，2022全国乙卷(理)T1
2023新高考Ⅰ卷T1，全国乙卷T2，全国甲卷T1
2022全国乙卷文T1，全国甲卷T3，新高考Ι卷T1，新高考Ⅱ卷T1
②
2021乙卷T2，甲卷T1，新高考Ⅰ卷T1 ,新高考Ⅱ卷T2
常用逻辑用语 充要条件的判定 2023全国甲卷T7
2021全国乙卷T3，全国甲卷T7
复数的相关概念及复 2023新高考Ⅰ卷T2，Ⅱ卷T1，乙卷T1，甲卷T2
复数 数基本运算 2022乙卷T2，甲卷T1，新高考Ⅰ卷T2，Ⅱ卷T2
2021乙卷T2，甲卷T3，新课表Ⅰ卷T2，Ⅱ卷T1
考点一 集合之间的关系与运算
命题点1 集合之间的关系
典例01 （2023·全国·统考高考真题）设集合 ， ，若 ，则
（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
典例02 （2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误，故选:
1）空集是任何集合的子集（注意不是真子集）.
{0}不是空集，表示含有元素0的集合
2） ；
{φ} φ φ⊂{φ}
3） 表示有元素是空集的集合. 表示空集即
4）含参数的子集问题应注意集合可能是空集.
命题点2 集合的交并补运算
典例01 （2023·全国·统考高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，所以 ．故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．故选：C．
典例02 （2023·全国·统考高考真题）设全集 ,集合
， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
预计2024年高考仍会从集合之间的关系与基本运算方向进行命制.
1．设全集 ，集合 , ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合 .【详解】因为集合 , ，则 或 ，
又因为全集 ，则 .
故选：A.
2．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，则 或 ，求出 的值，再检验即可.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，则 或 ，
解得 或 或 ，
当 或 时 ，此时集合 不满足集合元素的互异性，故舍去；
当 时 ， ，满足 ，符合题意.
故选：A.
考点二 常用逻辑用语
命题点一 结合其他知识点的充要关系判断
典例01 （2023·全国·统考高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
典例02 (2023年新课标全国Ⅰ卷·第7题)记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；
乙： 为等差数列，则 ( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
解析：方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确．方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．
故选：C
命题点二 含量词的命题的相关问题
∃
典例01 （2020·北京·统考高考真题）已知 ，则“ 使得 ”是“
”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 使得 时，
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，
属于基础题.
对于充分条件，可以看作是小推大，即若 p是q的充分条件（q是p的必要不
充分条件），则即可认为p是q的子集.若是充分不必要条件，可以认为p是q的真子集，即在判定充要条
件的时候只要认准谁是谁的子集即可.
预计2024年高考大概率会出现常见逻辑用语其他知识结合以及充要条件应用问题.
1．设 为等差数列 的前n项和，设甲： ，乙： 是单调递减数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据 ，则 （ ）； （ ），但 不一定小于0，得到答案.
【详解】若 ，则 （ ），所以 是单调递减数列；
若 是单调递减数列，则 （ ），即 （ ），
但 不一定小于0.
所以甲是乙的充分不必要条件，
故选：A.2．已知命题p： ， 是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由命题p的否定“ ， ”为真命题求解．
【详解】解：由题意，命题p的否定“ ， ”为真命题．
当 时， 恒成立；
当 时， ，解得 ．
综上， ．
故选：A．
考点三 复数
命题点 复数基本概念与计算
典例01 (2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知 ，则 ( )
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】：因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
典例02 （2023·全国·全国高考乙卷）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
预计2024年高考必然会出现复数的运算.
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】先化简复数z，再利用复数的模公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故选：A
2．复数 ， 是z的共轭复数，则 =（ ）
A． B． C． D． i
【答案】C
【分析】由复数的除法化简，根据共轭复数的定义及复数减法运算求结果.
【详解】由 ，则 ，
所以 .
故选：C
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1． (2024云南大理第一次质量检测)在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】： 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， ．
故选：D
2．（2023-2024吉林长春外国语高三期中考）已知集合 ， ，
则 中元素的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
解析：由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4．
故选：C．
3．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考.）已知复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部之和
为4，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C【分析】先化简复数求出实部和虚部，再根据实部与虚部之和为4求出参数 ，最后求出 和 ，确定复平
面内对应的点.
【详解】 ，
所以实部和虚部之和等于 ，解得 ，
从而 ，故 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，
故选：C
4．（2023秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考）当 时， （ ）
A．1 B． C．i D．
【答案】D
【分析】先求得 ，然后根据复数运算求得正确答案.
【详解】 ，
故 .
故选：D
5．（2023秋·广东佛山·高三统考）已知复数 与复数 都是纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 （ 且 ），根据 是纯虚数，列出方程，即可求解.
【详解】因为 是纯虚数，故设 （ 且 ），
又因为 是纯虚数，所以 且 ，
解得 ，所以 .
故选：D．
6．（2023秋·重庆巴南·高三重庆市实验中学校考期中）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．3 B．1 C． D．【答案】D
【分析】先求得 ，进而求得 .
【详解】设 ，依题意 ，
， ，
所以 ，解得 ，
则 .
故选：D
7．（2023秋·新疆昌吉·高一校考）已知条件p： ；条件q： ，若q是p
的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求得条件q中x的范围，解一元二次不等式求得条件p中x的范围，再根据q是
p的充分不必要条件列出不等关系，解不等式求出m的取值范围.
【详解】由q： ，得 ，
由p： ，得 或 ，
因为q是p的充分不必要条件，
所以 或 ，
解得 .
故选：B8．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知 ，q：关于x的不等式
的解集为R，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式得到 ，由不等式解集为R，利用根的判别式得到 ，结合两集合的
包含关系，得到p是q的充分不必要条件．
【详解】 ，
由关于x的不等式 的解集为R，可得 ，
解之得 ，
则由 是 的真子集，
可得p是q的充分不必要条件．
故选：A
9．（2023秋·河北邢台·高三校联考期中）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解出集合 ，利用交集运算定义进行运算即可.
【详解】因为 ，
所以 .故选：
B·易错提升
1．（2023·山东·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知 ，分别讨论 和 两种情况，即可得出结果.
【详解】由 ，知 ，因为 ， ，
若 ，则方程 无解，所以 满足题意；
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，则满足题意 ；
故实数 取值的集合为 .
故选：D.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三校考.）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，求对数函数的定义域求出集合B，然后利用集合的交运算即
可求解.
【详解】集合 ，
，
则 .
故选：B.【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法、对数函数的定义域，属于基础题.
3．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）以下四个写法中：① ；② ；③
；④ ，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，空集，交集的概念做出判断.
【详解】对于①， 正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以 正确；对于③，
根据集合的互异性可知 正确；对于④， ，所以 不正确；四个写法
中正确的个数有 个，故选:C.
4．二次函数 在区间 上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为二次函数 在区间 上单调递增，
所以 解得 ．因为只有C是其真子集，故选：C
5．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知两条直线 “ ”
是“直线 与直线 的夹角为 ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据两条直线夹角公式可以求出当两条直线夹角为 时 的值,然后根据充分性、必要性的定义,选出正确答案.
【详解】两条直线 的斜率分别是 .当两条直线的夹角为 时,则有：
或 .因此“ ”是“直线 与直线 的夹角为 ”的充分不必要条
件.
故选B
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,掌握两直线夹角的计算公式是解题的关键.
6．（2023秋·天津河西·高三天津实验中学校考.）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是
“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
| + |>| | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
7．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考）已知 是虚数单位，若 ， ，则
在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】写出 的共轭复数，结合复数的乘法运算求出 ，根据复数的几何意义即可判断.【详解】由 ，得 ，所以 ，故 在复平面内的对应点的坐标
为 ，位于第四象限.
故选：D
【点睛】本题主要考查共轭复数、复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题.
8．（2023·广东·高三统考学业考试）已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平
面内对应的点为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用复数的乘方和复数的除法运算律将复数 表示为一般形式，即可得出复数 在复平面内对应
的点的坐标.
【详解】 ，
所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 .
故选：A.
【点睛】本题考查复数的乘方、复数的除法运算，同时也考查了复数对应的点的坐标的计算，解题的关键
就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
