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专题 03 导数及其应用
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
1. 导数小
题一般以课程学习情境为主,
突出基础性;大题一般以探索
创新情境为主,突出综合性,作
为载体的指数函数、对数函
数、三角函数应引起足够的重
视.
2. 在备考
时应注意以下两点:
2020-2024：5年七考：利用导数研究函数的零 (1)利用导数的几何意义解决与函
考点1 导数及 点或方程根的个数；导数研究函数性质：单调 数的切线有关的问题、利用导数
其应用 性、最值、极值等；求切线方程；利用导数求 研究函数的单调性、极值与最值
（5年几考） 解参数 问题要侧重通性通法,含参的讨论
要准确把握住分类标准,有条不紊
地进行分类讨论;
(2)不等式恒(能)成立问题、利用导
数证明不等式、利用导数研究零
点或方程解的问题,要侧重函数与
方程、数形结合、分类讨论的思
想方法的渗透,加强逻辑思维能
力、运算求解能力、创新能力的
训练,突出理性思维和数学探索的
学科素养的培养.。
考点 导数及其应用
1．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未
达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价
在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如
下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力
比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
二、解答题
3．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）直接代入 ，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程 ，将 代入再设新函数 ，利用导
数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入 得到 ，再设新函数
研究其零点即可.
【详解】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，
即 ，则 ， ，令 ，
假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .
（3） 时， .
，设 与 轴交点 为 ，
时，若 ，则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 .所以 ，
则切线 的方程为 ，
令 ，则 .
，则 ，
，记 ，
满足条件的 有几个即 有几个零点.
，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
因为 ，
，
所以由零点存在性定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，在 上必有一个零点，
综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
4．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义得到 ， ，从而得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）由（1）得 的解析式，从而求得 ，利用数轴穿根法求得 与 的解，由此求
得 的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间 ， ， 与 上
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 的极值点个数.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断 与 的正负情况，充分利用 的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
5．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在[0,+∞）上单调递增，
即得证.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
6．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最
大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
极大
增 减 极小值 增
值所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
7．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最
后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然 ，因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
[方法二]【最优解】：换元加导数法．
因为 为偶函数，不妨设 ， ，
令 ，则 ．
令 ，则面积为 ，只需求出 的最小值．
．
因为 ，所以令 ，得 ．
随着a的变化， 的变化情况如下表：
a
0
减 极小值 增
所以 ．
所以当 ，即 时， ．
因为 为偶函数，当 时， ．
综上，当 时， 的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出 的最小值．
令 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以当 ，即 时， ．
因为 为偶函数，当 时， ．
综上，当 时， 的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；
方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不
等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
1．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我
们所学数学知识，探究函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）
A． 有且只有一个极值点 B． 在 上单调逆增
C．存在实数 ，使得 D． 有最小值
【答案】C
【分析】由条件可得函数 可以看作为函数 与函数 的复合函数，然后求导判断其单调
性与极值，即可得到结果.
【详解】由 得 ，令 ，
则函数 可以看作为函数 与函数 的复合函数，
因为 为增函数，所以 与 单调性、图象变换等基本一致，
，
由 得 ，列表如下：
0
由表知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 时，取得极小值（最小值） ，
所以 在 上单调递增，即B正确；在 时，取得唯一极值（极小值，也是最小值） ，即A、D都正确，C错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是找到已知函数的同构函数 ，由此即可顺利得解.
2．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知 和 共有3个不同的实数根，由 的图象知， 只有一个解为
，从而 与 有两个不同的交点，作出 与 图象，即可得出答案.
【详解】因为函数 ，
其图象如下图，则
因为 ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为关于x的方程 恰有3个不同的实数根，
即 和 共有3个不同的实数根，
由 的图象知， 只有一个解为 ，
所以 有两个不同的解，且根中不含 ，
即 与 有两个不同的交点，与 的图象如下图所示：
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是将题意转化为 和 共有3个不同的实数根，由 的
图象知， 只有一个解为 ，从而 与 有两个不同的交点，作出 与 图
象，即可得出答案.
3．（2024·北京房山·一模）若函数 ，则函数 零点的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
【答案】A
【分析】令 ，则 ，则函数 零点的个数即为函数
图象交点的个数，构造函数 ，利用导数求出函数 的单调区间，作出其大致图象，结合
图象即可得解.
【详解】 ，
令 ，则 ，
则函数 零点的个数即为函数 图象交点的个数，
令 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
又当 时 ，当 时， ，
作出函数 的大致图象如图所示，
由图可知函数 的图象有且仅有一个交点，
所以函数 零点的个数为 个.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
4．（2024·北京海淀·一模）已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线
相切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助分段函数性质计算可得 ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得 .
【详解】令 ，即 时， ，解得 ，
时， ，无解，故 ，
设过点 与曲线 相切的直线的切点为 ，
当 时， ，则有 ，有 ，整理可得 ，即 ，
即当 时，有一条切线，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
故当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
由 ，
，故 在 上没有零点，
又 ，
故 在 上必有唯一零点，
即当 时，亦可有一条切线符合要求，
故 .
故选：B.
5．（2024·北京海淀·一模）函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示， .设 是
的导函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.
【详解】由 ，且 为偶函数，故 ，
由导数性质结合图象可得当 时， ，当 时， ，当 时，即 ，
则由 ，有 ，解得 ，
亦可得 ，或 ，或 ，或 ，
由 可得 或 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 或 （舍去，不在定义域内），
由 ，可得 ，
综上所述，关于x的不等式 的解集为 .
故选：D.
6．（2024·北京朝阳·一模）已知 个大于2的实数 ，对任意 ，存在 满足
，且 ，则使得 成立的最大正整数 为（ ）
A．14 B．16 C．21 D．23
【答案】D
【分析】构造函数 ，结合函数单调性可得 ，则有 ，
即可得解.
【详解】由 ，且 ， ，故 ，即 ，
令 ， ，
故当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，即 ，故 ， ，
又 ，故 ，即 ，
若 ，则有 ，
即 ，由 ，故 .故最大正整数 为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数 的性质，结合其单调性得到 ，从而得
到 ，则有 ，即可得解.
7．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，下面命题正确的是 .
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
【答案】①③
【分析】①函数求导，用 ，令 ， 与 同正负.研究 正负
即可，用 来研究 即可得出答案.；② ，即两点间的斜率正负问题，也就是转化研
究 内的单调性.求导即可.③用三角函数的有界性可解.④借助函数单调性,数形结合可解.
【详解】函数 ，定义域 .
由于 知其为偶函数.
， 令 ， 与 同正负.
.
对于①，当 ， ，则 单调递增，
则 ，故存在 ， ，
即存在 ，使得 .故①正确.
对于②，与①同理，当 ， ，则 单调递减，
则 ，故 ， ，即 ， 单调递减.
任意 ， ，故②错误.
对于③，由于 为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑 即可.令 ，则 ，即 在 上单调递减，
故 ，即 ，故 ，
故存在常数 ，使得 ，故③正确.
对于④，将 代入 ，得 ，由于 为偶函数，根据对称性，我们只需要
考虑 即可.
由①②知， ，单调递减， ，单调递减， ，单调递增.一直往复下去. 图象如下.
则 与 不能有无数个交点，
即 与 不能有无穷多个公共点.故④错误.
综上所得，只有①③正确.
故答案为：①③.
【点睛】本题主要考查函数很多性质，如奇偶性、单调性、零点与方程，有界性等.综合性较强，有一定难
度，关键是借助导数来研究性质，需要冷静分析，认真计算 .
8．（2024·北京海淀·一模）已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 是奇函数；
② ，且 ，关于x的方程 恰有两个不相等的实数根；
③已知 是曲线 上任意一点， ，则 ；
④设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点.若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对 与 分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；
对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.
【详解】对①：令 ，即有 ，即 ，故函数 不是奇函数，故
①错误；
对②： ，即 ，
当 时，有 ，故 是该方程的一个根；
当 ， 时，由 ，故 ，结合定义域可得 ，有 ，即 ，
令 ， ，有 或 （负值舍去），则
，
故 必有一个大于 的正根，即 必有一个大于 的正根；
当 ， 时，由 ，故 ，结合定义域有 ，
有 ，即 ，
令 ， ， 有 或 （正值舍去），
令 ，即 ，则 ，
即 ，故 在定义域内亦必有一根，
综上所述， ，且 ，关于x的方程 恰有两个不相等的实数根，故②正确；
对③：令 ，则有 ， ，
令 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，故 恒成立，即 ，故 ，故③正确；
对④：当 时，由 ， ，故 ，
此时， ，则 ，
当 时，由 与 关于 轴对称，不妨设 ，则有 或
，
当 时，由 ，有 ，故
成立；当 时，即有 ，
由③知，点 与点 在圆 上或圆外，
设点 与点 在圆上且位于x轴两侧，则 ,
故 ；
综上所述， 恒成立，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当 、 都小于
零时， 的情况.
9．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，其中a为常数且 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调区间；
(3)当 时，若过点 的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记
的面积为S，求S的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）先对函数求导后，再求出 ，然后利用点斜式可求出切线方程；
（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分 和 讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）利用导数的几何意义求出切线l的方程，从而可求出A，B两点的坐标，则可表示出 的面积
，构造函数 ，利用导数可求出其最小值.
【详解】（1） ， .
因为 ， ，
所以切线方程为 .
（2）定义域为 ，
，令 ，解得 .
当 时，
， 的减区间为 ；， 的增区间为 .
当 时，
， 的增区间为 ；
， 的减区间为 .
（3）当 时， ， .
切线l： ，
令 ， ；
令 ， .
.
设 ， .
.
， 在 单调递减；
， 在 单调递增.
所以 .
所以当 时，S的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求解函数的单调区间，考查导数的综合应
用，第（3）问解题的关键是求出切线方程后，求出切线与坐标轴的交点，从而可表示出三角形的面积，
再构造函数，利用导数求解，考查计算能力，属于较难题.
10．（2024·北京顺义·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证：函数 存在极小值；
(3)求函数 的零点个数.
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)答案见解析
【分析】（1）求出函数 的导数 ，再利用导数的几何意义求解作答.
（2）讨论函数 在区间 和 上的符号即可推理作答.
（3）在 时，分离参数，构造函数 ，再探讨 在 上的零点情况即
可作答.
【详解】（1）由函数 求导得： ，
所以 ，因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 .
（2）函数 的定义域为 ，由（1）知， ，
因为 ，则当 时， ， ， ，
所以，有 ，函数 在 上递减，
当 时， ， ， ，则有 ，函数 在 上递增，
所以，当 时，函数 取得极小值，
所以，当 时，函数 存在极小值.
（3）函数 的定义域为 ， ，
显然 是函数 的零点，
当 时，函数 的零点即为方程 的解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
， ，所以，有 ， 在 ， 上都递减，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上递增，在 上递减， ，
所以， ，恒有 ，当且仅当 时取“=”，
所以，当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上单调递减， 取值集合为 ，
在 上递减， 取值集合为 ，
所以，当 或 时，方程 有唯一解，
当 或 时，此方程无解，
所以，当 或 时，函数 有一个零点，
当 或 时，函数 有两个零点.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零
点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
11．（16-17高三上·北京海淀·期末）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（其中 ）
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）求出导函数 ，求出不等式 、 的解集即可计算判断作答.
（2）求出函数 在区间 上的最大值即可作答.
【详解】（1）函数 定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，
即 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，所以 的递增区间为 ， ，递减区间为 ，极大值为 ，极小值为 .
（2）由（1）知 ，由 时，得 ，因 ，
当 时，当 时， ，即函数 在 上单调递减，则 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，
当 时，当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在 上递
增，
于是得 在 上的最大值为 或 ，而 ， ，
，即 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，
所以当 时，关于 的不等式 在区间 上无解.
12．（2024·北京海淀·二模）已知函数 .
(1)若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求证：函数 恰有一个零点；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理
即可，
（2）求导后构造函数 ，利用导数判断单调性，可得 的最大值为
，对 分类讨论即可求解.
【详解】（1）当 时， .
① .
所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 .②由①知 ，且 .
当 时，因为 ，所以 ；
当 时，因为 ，所以 .
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
因为 .
所以函数 恰有一个零点.
（2）由 得 .
设 ，则 .
所以 是 上的减函数.
因为 ，
所以存在唯一 .
所以 与 的情况如下：
+ 0 -
极
大
所以 在区间 上的最大值是
.
当 时，因为 ，所以 .
所以 .
所以 ，符合题意.
当 时，因为 ，所以 .
所以 ，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．（2024·北京朝阳·二模）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)若 有两个不同的零点 ，且 ，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求导可得 ，易知当 时不符合题意；当 时，利用导数研究函数
的单调性可得 ，设 ，利用导数研究函数 的性质即
可求解；
（3）易知当 时不符合题意，当 时，易知 不符合题意；若 ，由（2）可知只需
，解之即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
①当 时， ，不符合题意.
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，所以当 时， 取得最小值 ；
若 恒成立，则 ，
设 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减，
所以 ，即 的解为 .
所以 ；
（3）当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以f（x）至多有一个零点，不符合题意；
当 时，因为 ，不妨设 ，
若 ，则 ，不符合题意；
若 ，则 ，
由（2）可知，只需 ，即 ，解得 ，
即a的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒
成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数 的图象在 的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
14．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意 ，不等式 成立，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ；
(3) ．
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把 代入原函数求出 ，最后由点斜式写出直
线方程即可；
（2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；
（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到 ， ， ，解不等式得
到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
所以 ．
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ，定义域为 ，
所以 ．
因为 ，令 ，即 ，
解得 ， ，所以 ．
当x变化时， ， 的变化情况如下表所示．
x 2
0 0
单调递
单调递减 极小值 极大值 单调递减
增
所以 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
（3）在（2）的条件下， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．因为对于任意 ，不等式 成立，
所以 ， ， ．
所以 ，得 ， ，得 ；
，得 ．
因为 ，
所以 ．
所以a的取值范围是 ．
15．（2024·北京房山·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的极大值；
(3)若 ，求函数 的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，分 ， 和 三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令 ，则 ，再分 的正负讨论，当 时，分离参数可得 ，则
函数 零点的个数即为函数 图象交点的个数，构造函数 ，利用
导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，则 ，
则 ，当 时， ，此时函数 无极值；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
而函数 的定义域为 ，
所以此时函数 无极值.
综上所述，当 时，函数 无极大值；
当 时， 的极大值为 ；
（3）令 ，则 ，
当 时， ，
所以 时，函数 无零点；
当 时，由 ，得 ，所以 ，
则 时，函数 零点的个数即为函数 图象交点的个数，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又当 时， 且 ，当 时， ，
如图，作出函数 的大致图象，又 ，由图可知，所以函数 的图象只有 个交点，
即当 时，函数 只有 个零点；
综上所述，若 ，函数 有 个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
16．（2024·北京海淀·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 存在最大值，求 的取值范围.
【答案】(1) 的增区间为 ，减区间为
(2)
【分析】（1）对函数求导，得到 ，再求出 和 对应的 取值，即可求
出结果；
（2）令 ，对 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出 的单调区间，进而得
出 在 上取值范围，从而将问题转化成 成立，构造函数 ，再
利用 的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）易知定义域为 ，因为 ，所以 ，
由 ，得到 ，当 时， ，当 时， ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，则 ，由（1）知，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 在 时取得最大值 ，
所以当 时， ，当 时， ，
即当 时， ，
所以函数 在 存在最大值的充要条件是 ，
即 ，
令 ，则 恒成立，
所以 是增函数，又因为 ，
所以 的充要条件是 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数 ，利用函数单调性得到
时， ，从而将问题转化成 ，构造函数 ，再
利用 的单调性来解决问题.
17．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 无整数解，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再分 三种情况讨论 的单调性；
（2）不等式转化为 ，设函数 ，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，
讨论 的取值，即可求解.
【详解】（1） ，
当 ，得 ，
当 时， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
综上可知， 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
时，函数 的增区间是 ，无减区间.
（2）不等式 ，即 ，
设 ， ，
设 ， ，所以 单调递增，
且 ， ，
所以存在 ，使 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
不等式 无整数解，即 无整数解，
若 时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，
若 时，即 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，所以 无整数解，符合题意，
当 时，因为 ，显然 是 的两个整数解，不符合题意，
综上可知， .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形 ，第二个关键是确定函数的单调性，以及确定 .
