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专题 02 函数基本概念与基本初等函数
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
2024：指数函数的判定与求值；分段函数的性 1. 函数作
质及应用； 为高中数学内容的一条主线,
考点1 函数基 2023：函数的单调性；具体函数的定义域 对整个高中数学有着重要的意
本概念 2022：对数函数的求值；分段函数性质求参 义,题目分布在选择题和填空
（5年几考） 数； 题居多,以基本初等函数、基
2021：函数单调性的应用；具体函数值域； 本初等函数组成的复合函数以
2020：函数图像的运用； 及抽象函数为载体，以函数内
容和性质为载体，考查函数的
定义域、值域,函数的表示方
法、图象及性质(单调性、奇
偶性、对称性、周期性)。
2. 常与导
数、不等式、方程等必备知
考点2 基本初 识,考查数形结合、分类讨
2020-2024：指数函数与对数函数的互化，指对
等函数 论、转化与化归和函数与方程
性质的运用
（5年几考） 等思想.考查学生运算求解能
力、逻辑思维能力、空间想象
能力和数学建模等关键能力,
尤其加大了对数学建模的考查
力度,根据实际问题,建立函数
模型或用已知模型解决实际问
题。
考点01 函数基本概念
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
4．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2020·北京·高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
6．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：17．（2023·北京·高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 ，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 的范围；对于④，取 ，结合图像
可知此时 存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 ， 且接近于 处， 的
距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 的图像，特别是当 时， 的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
8．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
9．（2020·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件，
时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知
或 ， 解得 .
【详解】解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
考点 02 基本初等函数
11．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ，消去 即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：D.
12．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
1．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，若 ，且 ，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断 ，根据基本不等式判断 ，根据指数的运算判断 .
【详解】由指数函数的单调性可知 在 上单调递增，
又 ，所以 ，故 正确；
因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以上式取不到等号，所以 ，故 正确；
， ，
， ， ，故 错误；
， ，故 正确.
故选：C.
2．（2024·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A，定义域为 ，因为 ，所以此函数为奇函数，所以A错误，
对于B，定义域为 ，因为 ，所以此函数为偶函数，
因为 在 上递增，所以B错误，对于C，定义域为 ，因为 ，所以此函数为偶函数，
因为 在 上有增区间也有减区间，所以C错误，
对于D，定义域为 ，因为 ，所以此函数为偶函数，
当 时， ，因为 在 上递增，所以 在 上递减，所以D正确，
故选：D
3．（2024·北京海淀·二模）设函数 的定义域为 ，对于函数 图象上一点 ，若集合
只有1个元素，则称函数 具有性质 .下列函数中具有性质 的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据性质 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.
【详解】根据题意，要满足性质 ，则 的图象不能在过点 的直线的上方，且这样的直线只有
一条；
对A： 的图象，以及过点 的直线，如下所示：
数形结合可知，过点 的直线有无数条都满足题意，故A错误；
对B： 的图象，以及过点 的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点 的直线，使得 的图象都在该直线的上方，故B错误；
对C： 的图象，以及过点 的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点 的直线，使得 的图象都在该直线的上方，故C错误；
对D： 的图象，以及过点 的直线，如下所示：
数形结合可知，存在唯一的一条过点 的直线 ，即 ，满足题意，故D正确.
故选：D.
4．（2024·北京海淀·二模）函数 是（ ）
A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点
C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.
【详解】当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 是偶函数，由图可知函数 有一个极大值点.
故选：B.5．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无最小值，
根据题意， 存在最小值，
所以 ，即 .
故选：A.
6．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.
【详解】 是奇函数，它在区间 上单调递增，在定义域内不是增函数，
所以选项A是错误的；
是偶函数，所以选项B是错误的；
既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；
满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；
故选：D.
7．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可
得C错误.
【详解】A：因为 ，所以 不是奇函数，故A错误；
B：因为 的定义域为 ，又 ，所以 是奇函数，
又 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，故B正确；
C：由正切函数的定义域可得函数 在 上不连续，
所以 在区间 上不单调，故C错误；
D：因为 ，所以 不是奇函数，故D错误；
故选：B.
8．（2023·上海宝山·一模）函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】根据已知，可得 ，解出不等式即可得到结果.
【详解】要使函数 有意义，则应满足 ，即
该不等式等价于 ，解得 .
所以，函数 的定义域是 .
故答案为： .
9．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数 ，则 .
【答案】7
【分析】根据 解析式代入即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为：7
10．（2024·北京通州·三模）已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】先判断出 在 上单调递增，在 上单调递减，然后作出 与
在 上的图象，求出 在 上的值域，再结合图象可求得结果.
【详解】当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，为 ，
作出 与 在 上的图象如图所示：
当 ， 时， ，此时 ，
此时 ，
因为 的值域为 ，则 时， 必有解，即 ，解得 ，由图知 ,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解
题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．（2024·北京朝阳·二模）设 为正整数，已知函数 ， ， . 当
时，记 ，其中 .
给出下列四个结论：
① ， ；
② ， ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③【分析】依据 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
利用单调性逐项计算可判断每个选项的正确.
【详解】对于①，因为 ，所以 .
又 在 上单调递增，所以 ，
所以
，故①正确；
对于②，当 时， ，
，所以此时 ，故②错误；
对于③，当 时，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且关于直线
对称.
又有 ，且 和 在数轴上关于 对称，所以
， ， .
所以
.
而 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
又有 .
所以 ， .
所以.
这就得到 ， ， ，所以此时 ，故③正确；
对于④，当 时，因为 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 ， .
所以
.
所以此时 ，故④错误.
故答案为：①③.
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，弄清题意与每个函数的单调性是关键，利用单调性比较数的大
小去绝对符号，运算量大，细心是关键.
12．（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得 ,解得
故定义域为 .
故答案为：
13．（2024·北京房山·一模）若对任意 ，函数 满足 ，且当 时，都有
，则函数 的一个解析式是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，可取 ，
函数 是减函数，满足 时，都有 ，
因为 ，
所以函数 满足题意.
故答案为： .（答案不唯一）
14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 ，若实数 满足 ，
则 ； 的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得 ，且 时， 关于
对称，即可得解.
【详解】由 ，故 在 、 上单调递减，
在 上单调递增，且有 ， ， ， ， ， ；
由 ，则 ，
由 时， ，则 关于 对称，故 ，
则 .
故答案为：；.
