文档内容
基本初等函数
学习目标
1.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.了解指数函数模型的实
际背景；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象的性质.
2.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读
材料，理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.
3.了解幂函数的概念.结合函数 ， ， ， ， 的图象，了解它们的变化情况，掌
握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
对数函数 19（54.3%）
基本初等函数 指数函数 山东&海南2020-6 16（45.7%）
幂函数 15（42.9%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试
卷.
高频考点
1.幂函数的图象和性质主要是考查了二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用.
2.幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数.对
数函数的前提，在高考中涉及面比较广.
3.高考中对指数函数的考查，通常以考察指数的运算以及指数函数的图象。性质的的应用为主，多以指
数函数为载体，与函数的性质、方程、不等式等知识综合命题，比较大小、简单的指数方程、指数不等
式都是常考内容.4.对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性.
难点
1.以指数函数为载体，与函数的性质、方程、不等式等知识综合命题，比较大小、简单的指数方程、指
数不等式都是常考内容，考察题型以选择、填空为主，与导数结合在解答题中考查，难度较大.
2.对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大.
1易错点
1.解题时不注意 ( ，且 )这一隐含条件.
2.忽视对数的定义域
一、 幂函数
1. 定义
一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数（我们只讨论 是有理数的情况）．
2. 幂函数的图象
幂函数( )图像
参数 当 时 当 时
图像
3. 幂函数的性质
（1） 时：
①图象都通过点 ， 11 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是增函数．
（2） 时：
①图象都通过点 11 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在 上是减函数；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
（3）任何幂函数的图象与坐标轴至多有一个交点；
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
2（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）幂函数 奇偶性：
①当 为偶数时， 为偶函数；
②当 为奇数， 为奇数时， 为奇函数；
③当 为奇数， 为偶数时， 为非奇非偶函数．
特别地，幂函数 （ ），当 为偶数时， 为偶函数；
当 为奇数时， 为奇函数．
经典例题
1. 根据幂函数的定义，下列函数是幂函数的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察幂函数定义．
（2）本题关键的解题步骤：明确幂函数的形式，进行判断．
（3）本题的易错点：混淆幂函数的定义．
（4）本题需要注意的地方以及难点：注意幂函数的系数为 .
【答案】⑤
【解析】由幂函数的定义可知，只有⑤为幂函数．
【标注】【知识点】幂函数的概念
巩固练习
2. 在函数 ， ， ， 中，幂函数的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： 幂函数的定义是“形如 ， 的函数，叫做幂函数”，
在函数 ， ， ， 中，
只有一个 符合定义，是幂函数；
故选：B．
【标注】【知识点】判定是否为函数；幂函数的概念
经典例题
33. 如图所示，曲线是幂函数 的第一象限的图象，已知 取 、 四个值，则相应的曲线 ，
， ， 的 值依次为（ ）．
A. ， ， ， B. ， ， ， C. ， ， ， D. ， ， ，
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察幂函数图像及单调性等．
（2）本题关键的解题步骤：根据指数幂，判断相应的图像．
（3）本题的易错点：幂函数图像的判断出现错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：此题可用特殊值法进行判断.
【答案】B
【解析】根据幂函数 的性质，
在第一象限内的图象，
当 时， 越大，递增速度越快，
故曲线 的 ，曲线 的 ，
当 时， 越大，曲线越陡峭，
∴曲线 的 ，
曲线 的 ，
故依次填 ， ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数a对幂函数图象的影响
4.
已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察幂函数单调性等．
（2）本题关键的解题步骤：利用幂函数定义，求解参数的值，然后再判断幂函数的单调
4性．
（3）本题的易错点：幂函数图像的判断出现错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：本题涉及到比较大小的综合运用.
【答案】A
【解析】∵ 为幂函数，
∴ ，得 ，
∴ ，得 ，
∴ 且 为偶函数且在 递增， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质；对数函数的图象及性质；指对幂比较大小
巩固练习
5. 下列结论正确的是（ ）．
A. 幂函数的图象都通过 ，
B. 当幂指数 取 ， ， 时，幂函数 是增函数
C. 幂函数的图象可以出现在第四象限
D. 当幂指数 ，幂函数 在定义域上是减函数
【答案】B
【解析】选项 ， 时，不经过 ；
选项 ，由幂函数的性质可知正确；
选项 ，由幂函数的性质可知，图象不可能出现在第四象限，故错误；
选项 ，幂函数 在 ， 是减函数，故错误；
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质
56. 已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，
所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 或 ，
∴当 时， ，图象关于 轴对称，不满足题意．
当 时， ，图象关于原点对称，满足题意，
∴不等式 化为： ，
因为函数 在 上递减，
所以 ，
解这个不等式，得 ，
即实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的概念；利用函数单调性解不等式；已知函数单调性求参数范围
【素养】数学运算；逻辑推理
7. 已知函数 既是二次函数又是幂函数，函数 是 上的奇函数，函数 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 既是二次函数又是幂函数，∴ ，∴ 为偶函数；
函数 是 上的奇函数，
为定义域 上的奇函数；
函数 ，
6∴ ，
∴
．
故选： ．
【标注】【知识点】二次函数的图象及性质；利用定义判断函数奇偶性；函数奇偶性的运算；幂
函数的概念
8.
已知幂函数 的图象经过点 ， ， 是函数图象上的任意不同两点，
给出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的序号是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
【答案】D
【解析】因为 为幂函数，
故可设 ，
又它的图象经过点 ，
可由 得出 ，
所以 ，
设 ，它在 上为递增函数，
若 ，
则有 ，
故①②中只能选择②；
设 ，它在 上为递减函数，
若 ，则有 ，
故③④中只能选择③．
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的概念；指数a对幂函数图象的影响；单调性
74. 知识总结
1.幂函数定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数（我们只讨论 是有理数的情况）．
2.幂函数图像
幂函数( )图像
参数 当 时 当 时
图像
3.幂函数性质
（1） 时：
①图象都通过点 ， ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是增函数．
（2） 时：
①图象都通过点 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在 上是减函数；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
（3）幂函数 奇偶性：
①当 为偶数时， 为偶函数；
②当 为奇数， 为奇数时， 为奇函数；
③当 为奇数， 为偶数时， 为非奇非偶函数．
特别地，幂函数 （ ），当 为偶数时， 为偶函数；
当 为奇数时， 为奇函数．
二、 指数运算
81. n次方根的定义
一般地，如果 ， 就叫 的 次方根．
（1）当 为奇数时，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数．
（2）当 为偶数时，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根．
2. 指数运算
（1） （ ）； （ , ）．
（2） ， ， ．
（3）当 是奇数时， ；
（4）当 时偶数时， ．
（5） ； ．
经典例题
9. 求值：
（ 1 ）已知 ，求 的值
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察指数幂运算的运算法则与公式的结合题型．
（2）本题关键的解题步骤：两项的乘积为定值，将已知条件进行公式转化，求得答案．
（3）本题的易错点：注意答案的正负的取舍及检验．
（4）本题需要注意的地方以及难点：常见公式的复习.
复习韦达定理的相关题型，例如求解
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，可得 ，
∴ ．
（ 2 ）
．
【标注】【知识点】实数指数幂运算；指对化简求值
9巩固练习
10. 计算下列题．
（ 2 ）已知 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）原式
．
（ 2 ） ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故原式 ．
【标注】【知识点】实数指数幂运算；换底公式及其变形运用
11. 化简求值：
（ 2 ）
．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）原式
．
（ 2 ）
原式
．
【标注】【知识点】指对化简求值
经典例题
12. 已知函数 ，则 的值．
10【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数与指数运算综合题目．
（2）本题关键的解题步骤：函数 与 的和为定值，进行求解．
（3）本题的易错点：指数运算容易出错误，最后结果的求解计算容易出错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，数列倒序相加法.
【答案】 ．
【解析】易得 ，
∴ ，
令 ，
则 ，
两式相加得：
，
所以 ．
【标注】【知识点】倒序相加法求和
巩固练习
13. 已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵
∵ 在 上单调递增，
∴ ，
，
∴
11故选 ．
【标注】【知识点】复合函数；判断复合函数单调性；利用单调性求函数最值
14. 设函数 ， ．
（ 1 ）解方程： ．
（ 2 ）令 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由方程 得：
，
即 ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
（ 2 ） ，
，
∴ ．
【标注】【知识点】指数方程和指数不等式；实数指数幂运算
3. 知识总结
1.根式的概念
2.指数运算
（1） （ ）； （ , ）．
（2） ， ， ．
（3）当 是奇数时， ；
（4）当 时偶数时， ．
（5） ； ．
12三、 指数函数
1. 定义
一般地，形如 的函数 且 ， 叫做指数函数．
2. 图象与性质
经典例题——指数不等式
15.
已知不等式： 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察指数函数的单调性应用——解不等式．
（2）本题关键的解题步骤：不等式形式转化，利用指数函数的单调性，数形结合，比较指
数部分的大小关系，恒成立问题的综合求解．
（3）本题的易错点：函数的形式转化，指数函数的单调性转化．
（4）本题需要注意的地方以及难点：恒成立问题转化为最值问题.
【答案】
【解析】根据指数函数的单调性得 ，
即 对任意 恒成立，
所以 ，解得 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
13巩固练习——解指数不等式
16. 已知 （ ，且 ），求 的取值范围．
【答案】当 时， 或 ，
当 时， ．
【解析】分情况讨论：
①当 时，函数 （ ，且 ）在 上是减函数，
∴ ，
∴ ，解得 或 ．
②当 时，函数 （ ，且 ）在 上是增函数，
∴ ，
∴ ，解得 ．
综上所述，当 时， 或 ，
当 时， ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；解指数不等式；指数函数的图象及性质
， ，
17. 设函数 则满足 的 的取值范围是 ．
， ，
【答案】
【解析】当 时，
原不等式化为 ，
因为 ，
所以 ；
当 时，原不等式化为 ，
所以 ；
当 时，原不等式化为 ，
因为 ， ，
所以 在 时恒成立，
所以 ．
综上可知， 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】解对数不等式；解指数不等式
14经典例题——指数函数图象与性质的综合应用
18. 若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察函数奇偶性及指数函数不等式的综合问题．
（2）本题关键的解题步骤：利用函数的性质求解参数的值，然后将指数不等式进行求解．
（3）本题的易错点：指数不等式的求解．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，不同底数的指数不等式的求解差异.
【答案】C
【解析】∵ 为奇函数，
∴ ，代入 ，
则 ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
，
即 ， ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】解指数不等式；利用函数奇偶性求参数
巩固练习——指数函数图象与性质的综合应用
19. 已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 是定义在 上是偶函数，则 ，不等式 等价于
，
又 在区间 上单调递增，故 在区间 上单调递减．
∴ ，即 ，解得： ．
15【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；利用函数单调性解不等式
3. 根据图象比较指数函数底数的大小
曲线 分别是指函数 的图像：
（1）由图象得 ．
（2）当底数大于 时，底数越大图象越靠近 轴，当底数小于 时，底数越小于靠近 轴．
（3）指数函数 与 （ 且 ）的图象关于 轴对称．
（4）函数值的大小比较
①底数相同指数不同
当底数大于 时，指数越大函数值越大．当底数小于 时指数越大函数值越小．
②指数相同底数不同
可采用函数图象法，底数大于 时，指数相同底数越大函数值越大，底数小于 时，指数相同底数越小函
数值越大．
③底数不同指数不同
找中间值（一般为 ），用原来的两个值与中间值比较．
经典例题
20. 已知实数 ， 满足 ，下列 个关系式：
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ．
其中不可能成立的有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察指数函数的图像，数形结合．
（2）本题关键的解题步骤：根据底数的大小，将两个函数图像进行绘制，数形结合进行排
除.
16（3）本题的易错点：记错底数对图像的影响．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，比较底数大小时，画直线 ，纵坐标即底数
大小.
【答案】B
【解析】画出函数 与 的图象，
当 时， 的图象在 的图象下方，
当 时， 的图象在 的图象上方，
当 ， 时， 则 ，
当 时， 成立，当 ， 时， ， ，
故①②⑤可能成立，③④不可能成立，故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
巩固练习
21. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
函数 在 上是增函数， ，
∴ ，故 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】指数函数的图象及性质
【知识点】实数指数幂运算
174. 知识总结
1.指数函数定义：一般地，函数 且 ， 叫做指数函数．
2.指数函数图像和性质：
3.指数函数底数大小比较
曲线 分别是指函数 的图像：
结论：①由图像得 ．
②当底数大于1时，底数越大图像越靠近 轴，当底数小于1时，底数越小越靠近 轴．
③指数函数 与 （ 且 ）的图像关于 轴对称．
四、 对数运算
1. 定义
一般地，对于指数式 ，我们把“以 为底 的对数 ”记作 （ 且 ），其中，数 叫做
18对数底数， 叫做真数．
2. 对数运算
运算法则
（1） ；（对数的和等于积的对数）
推广 ．
（2） ；（商的对数等于对数的差）
（3） ．
（4） ．
换底公式
（ ）．
经典例题
22. 求值：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ；
（ 3 ） ；
（ 4 ） ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数运算法则．
（2）本题关键的解题步骤：利用对数运算法则直接解题．
（3）本题的易错点：形式适当变形，再运用对数运算法则．
（4）本题需要注意的地方以及难点：需要注意直接运用运算法则的情况.
【答案】（ 1 ） ；
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ） ．
【解析】（ 1 ） ；
19（ 2 ） ；
（ 3 ） ；
（ 4 ） ．
【标注】【知识点】利用换底公式求值
23. 已知函数 ，则 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对数运算法则与函数性质的综合题目．
（2）本题关键的解题步骤：挖掘两个数字的关系，为相反数，与函数性质及对数运算相结
合，求解最后结果．
（3）本题的易错点：两个数字的关联能够识别．
（4）本题需要注意的地方以及难点：题目隐含条件的挖掘.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
，
．
【标注】【知识点】对数的概念及其运算
24. 求下列各式的值：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对数运算法则灵活运用．
（2）本题关键的解题步骤：利用对数运算法则，化简表达式．
（3）本题的易错点：根号运算及对数运算法则不熟练．
（4）本题需要注意的地方以及难点：根号运算、底数及真数的指数化简等不常见运算，需
要注意.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）原式
20．
（ 2 ）
原式
．
【标注】【知识点】利用换底公式求值
25. 根据所学知识回答下列问题．
（ 2 ）已知 ， ，用 ， 表示 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数运算法则题目，用两个字母表示对数．
（2）本题关键的解题步骤：换底公式及对数运算的综合运算．
（3）本题的易错点：常规处理思路未掌握，对数运算法则不熟练．
（4）本题需要注意的地方以及难点：本题的底数相同时，需要先转化再进行运算.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）原式
．
故答案为： ．
（ 2 ）由 ， ，
则 ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】换底公式及其变形运用；实数指数幂运算
巩固练习
2126. 当 ， 时，下列说法正确的个数是（ ）．
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】注意真数不能为 ，故只有②正确，应选 ．
【标注】【知识点】对数的概念及其运算
27. 已知函数 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，又 ，所以
，所以 ，故选C．
【标注】【知识点】指对化简求值
28. 设 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由换底公式可知， ，
， 由同底对数加法可知，
， ，
．
【标注】【知识点】利用换底公式求值
29. 完成下列各题．
（ 1 ）已知 ，求 的值．（结果用 表示）
（ 2 ）甲、乙两人同时解关于 的方程： ．甲写错了常数 ，得两根 及 ；乙写
错了常数 ，得两根 及 ，求这个方程真正的根．
22【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴原式 ．
（ 2 ）∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ．
∵甲写错了常数 ，
∴ 正确，即 ，解得 ．
∵乙写错了常数 ，
∴ 正确，即 ，解得 ，
∴方程为 ，即 ，
∴ 或 ，即 或 ．
【标注】【知识点】韦达定理；解对数方程；实数指数幂运算
经典例题
30. 按市场要求，某化工厂生产的一种溶液的杂质含量不能超过 ．若初时含杂质 ，每次过滤可使
杂质含量减少为前一次杂质含量的 ．问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（
， ）
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数运算的实际应用．
（2）本题关键的解题步骤：根据文字叙述，转化为数学语言，再进行运算．
（3）本题的易错点：文字与数学模型转化错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：新高考新题型，需要将实际案例与数学模型相结合.
【答案】至少要过滤 次才能使产品达到市场要求．
【解析】设过滤 次才能使产品达到市场要求．
根据题意，得 ，即 ，
∴ ，
23又∵ ，∴ ，即至少要过滤 次才能使产品达到市场要求．
【标注】【知识点】指数函数模型
31. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为 的星的亮度为 ．已知太阳的星等是 ，天狼星的星
等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数运算的实际应用．
（2）本题关键的解题步骤：根据文字叙述及数学语言，进行运算．
（3）本题的易错点：数学符号对应错误出错．
（4）本题需要注意的地方以及难点：新高考新题型，需要将实际案例与数学模型相结合.
【答案】A
【解析】由题意 ， ．
设太阳的亮度为 ，天狼星的亮度为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数的运算
巩固练习
32. 形如 （ 是非负整数）的数称为费马数，记为 ．数学家费马根据 ， ， ， ， 都是质
数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出 不是质数，那么 的位数是（
）．
（参考数据： ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可得 ，
则 ，
24所以 ，
所以 ，
则 ，
因为 是十位数， 是十一位数，
所以 是十位数．
故选 ．
【标注】【知识点】实数指数幂运算
33. 物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为 ，其中 为分
贝， 为声压标准值 ， 为声压测量值． 分贝是人刚能听到的最微弱的声音，
分贝是较为理想的安静环境，超过 分贝会影响休息和睡眠，超过 分贝会影响学习和工作，
超过 分贝会影响听力，如果突然暴露在高达 分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失
去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为 ，则其约为（参考数据： ，
）（ ）．
A. 分贝 B. 分贝 C. 分贝 D. 分贝
【答案】B
【解析】 ，
由于 ，
即 ，
，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数的运算
3. 知识总结
1.对数定义：一般地，对于指数式 ，我们把“以 为底 的对数 ”记作 （ 且 ），
其中，数 叫做对数底数， 叫做真数．
2.对数运算：
(1)对数运算法则：
① ；（对数的和等于积的对数）
25推广 ．
② ；（商的对数等于对数的差）
③ ．
④ ．
（2）换底公式： （ ）．
（3）关于对数的恒等式：
五、 对数函数
1. 定义
形如 （ 且 ）的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ，值域为
实数集 ．
2. 图象与性质
经典例题
2634. 已知函数 ，若 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数函数的性质．
（2）本题关键的解题步骤：根据数形结合，对数运算，找到 , 的关系，结合基本不等
式，求解最值．
（3）本题的易错点：对数函数的性质未掌握，基本不等式运算出现错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：数形结合以及对数运算、基本不等式综合问题.
【答案】B
【解析】因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 当且仅当 时等号成立．
故选： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
巩固练习
35. 已知函数 若 ， ， ， 是互不相同的正数，且 ，
则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数 的图像如图，
y
2
1
x
O 1 2 3 4 5 6
由图可知，若 ， ， ， 是互不相同的正数，且 ，
则 ，
不妨设 ，
则 ， ， ， ，
由 可知， ，可得 ，
27由抛物线的对称性可知， ，
所以 ， ，
易知 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；求零点和或积的
范围
36. 函数 的零点个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，令 ，即 ，在同一坐标系中作函数 与
的图象，可知两个函数图象有 个交点．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点
综合）
37. 已知函数 若关于 的方程 恰有 个不相等的实数根，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】
由函数 ，
可知，当 时， 开口向下，
对称轴为 ，且 ，
当 时， 在 递增，
且当 时， ，
28故可画数函数 大致图象，
由图可知，要使 有四个根，
即 与 有四个交点，
∴点 在直线 下方，且直线应与 有两个交点，
当直线 与 相切时设切点，
横坐标为 ，由 ，
即 即 ，
此时 ，
∴ ，又 ，
∴ ．
【标注】【知识点】二次函数的图象及性质；函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范
围；对数函数的图象及性质；已知零点或根情况求参数范围；导数的几何意义
经典例题——解对数不等式
38. 设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数函数与分段函数的不等式的综合问题．
（2）本题关键的解题步骤：对参数进行分类讨论，求解对数不等式．
（3）本题的易错点：参数分类讨论出现错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：底数不同时，对数不等式的解法差异.
【答案】C
【解析】若 ，则 可化为： ，
即 ，
解得： ，
29若 ，则 可化为： ，
即 ，
解得： ，
综上实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【素养】逻辑推理
【知识点】分段函数
【知识点】对数的概念及其运算
【知识点】解对数不等式
【思想】分类讨论思想
巩固练习——解对数不等式
39. 解不等式： ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】原不等式化为：
∴ ，
或 ．
又∵原不等式必须满足 ，
故 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】解对数不等式
40. 不等式 的解集为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可得 ，
解得 ．
30故选 ．
【标注】【知识点】解对数不等式
经典例题——对数函数图象与性质的综合应用
41. 已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察函数性质以及对数函数不等式的综合问题．
（2）本题关键的解题步骤：对函数进行挖掘，将函数以及不等式进行转化为对数函数不等
式问题进行求解．
（3）本题的易错点：函数及不等式的转化出现错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：底数不同时，对数不等式的解法差异.
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
∵ ，
∴ 为奇函数，
又 ，
则由复合函数的单调性和单调性的运算，
可知 在 上单调递增，
∴由 ，可知 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 ，
故选： ．
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质；利用定义判断函数奇偶性；判断复合函数单调性；
利用函数单调性解不等式
巩固练习——对数函数图象与性质的综合应用
42. 已知偶函数 在区间 上单调递增，若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）．
31A. B. C. D.
【答案】A
【解析】偶函数 在区间 上单调递增，且函数的图象关于 轴对称，
∴ 在区间 上单调递减，
∵ ， ，且 ，
，
则 ， ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小；指数函数的图象及性质；对数函数的图象及性质；用单调
性比较大小；函数单调性与奇偶性综合问题
3. 根据图象比较对数函数底数的大小
曲线 分别是对数函数 的图象：
（1）由图象得 ．
（2）当底数大于 时，底数越大图象越靠近 轴，当底数 小于 时，底数越小于靠近 轴．
（3）函数值的大小比较
①底数相同真数不同
当底数大于 时，真数越大函数值越大．当底数小于 时真数越大函数值越小．
②指数相同真数不同
可采用函数图象法，底数大于 时，真数相同底数越大函数值越小，底数小于 时，真数相同底数越小函
数值越小．
32③底数不同真数不同
找中间值（一般为 ），用原来的两个值与中间值比较．
经典例题
43. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察对数函数的比较大小题型．
（2）本题关键的解题步骤：利用对数运算法则及对数函数的性质进行综合求解．
（3）本题的易错点：利用对数运算法则将数值进行转化出现错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：底数不同时，大小比较的技巧.
【答案】D
【解析】 ， ， ，则只要比较 ，
， 的大小即可，在同一坐标系中作出函数 ， ， 的图象(图略)，
由三个图象的相对位置关系，可知 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】对数比大小
巩固练习
44. 若 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：设 ，
则： ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
33方法二：由 知： ，
而 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小
4. 知识总结
1.对数函数定义：函数 （ 且 ）叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是
，值域为实数集 ．
2.对数函数图像和性质:
3.对数函数底数大小比较：
曲线 分别是指函数 的图像：
34结论：①由图像得 ．
②当底数大于1时，底数越大图像越靠近 轴，当底数小于1时，底数越小越靠近 轴．
导图总结
【备注】
出门测
（1）出门测目的是检测学生本讲学习效果；
（2）时间控制在15分钟以内．
45. 已知幂函数 的图象与 轴、 轴都无交点，且关于 轴对称，则 ．
【答案】 或 或
【标注】【知识点】用利用函数性质法求解析式；幂函数的图象及性质
3546. 若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
， ，
．
47. 设 、 、 为正数，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：由题意， ， ， 为正数，
且 ，
取底数为 的对数，得 ，
即 ， ，
因为 ，
所以 ，
同理， ，
综上所述， ．
故选 ．
方法二：∵ 、 、 为正数，且 ，
设 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
36，
∴ ，
∴ ，
故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小
48. 若函数 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
．
故选 ．
【标注】【知识点】对数的概念及其运算
49. 若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ，
∴ ，
设 ， ， ，
作出 个函数的图象，如图所示：
37由图可知： ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小；对数函数的图象及性质
50. 已知 ，若 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的
值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数
，
可设 ， ，
，
则 为奇函数，可得 在 的最大值和最小值之和为 ，
即有 的最值之和为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算；利用定义判断函数奇偶性；实数指数幂运算
38
