文档文本内容
专题 02 函数与导数
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 函数模
2025北京卷、2024北京卷、2022北京
型及应用
卷
（5年3考）
考点2 基本初
等函数的性
质：单调性、 2025北京卷、2023北京卷、2022北京
奇偶性、周期 卷、2021北京卷
性、对称性
（5年4考）
近五年高考命题显示，本节内容为高考重
考点3 比较大
点。函数单调性、奇偶性、对称性、周期
小问题 2024北京卷
性是必考知识点，尤其周期性、对称性、
（5年1考）
奇偶性常相互结合，并与函数图像、零点
考点4 函数与 及不等式综合考查。导数及其应用在高考
方程的综合问 2023北京卷、2022北京卷、2021北京 中的考查较为稳定，是重点内容。面对高
题 卷 考相关试题，关键在于把握导数是研究函
（5年3考） 数的有力工具，借助图像直观呈现函数单
考点5 函数及 调性、极值、最值等本质问题。无论试题
2023北京卷、2022北京卷、2022北京
其表示 如何变化，最终都要聚焦于函数的单调性
卷
（5年3考） 与最值，它们是导数考查的核心所在，做
考点6 双变量 好具体问题转化即可。
问题 2025北京卷、2022北京卷
（5年2考）
考点7 零点问
题 2024北京卷
（5年1考）
考点8 极最值
问题 2023北京卷、2021北京卷
（5年2考）考点01 函数模型及应用
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【解析】设当N取 个单位、 个单位、 个单位时所需时间分别为 ,
由题意， ，
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：D.
3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
考点 02 基本初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为 的函数 ，给出下列四个结论：
①存在在 上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在 上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】对于①，若存在在 上的增函数 ，满足 ，
则 ，即 ，
故 时， ，故 ，故 即 ，矛盾，故①错误；
对于②，取 ，该函数为 上的减函数且 ，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取 ，
此时 ，由 可得 有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在 ，使得 ，
令 ，则 ，但 ，矛盾，
故满足 的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
6．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
7．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
考点 03 比较大小问题
8．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
考点 04 函数与方程的综合问题
9．（2023·北京·高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，易知当 时，在 ， 且接近于 处，
的距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，
当 时， 且接近于 处， 的距离最小，
此时 ；故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
10．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合
题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
11．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②④
【解析】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
考点 05 函数及其表示
12．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1【解析】函数 ，所以 .
故答案为：1
13．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
【答案】 1
【解析】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
14．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
考点 06 双变量问题
15．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设
是曲线 在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
【解析】（1）设 ， ，
由 可得 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 .
（2）因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
设 ， ，
由（1）可知， 在 上单调递增，而 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，且 ，
而当 时， ，所以总有 ， 单调递增
故 ，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线 ，直线 ，
所以 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
所以
，
由（1）可得当 时， ，
所以 ，
所以 .解法二：由 可设 ，又 ，所以 ，即 ，
因为直线 的方程为 ，易知 ，
所以直线 的方程为 ,
， .
所以
,由（1）知,当 时， ，所以 ,
所以 .
16．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
（3）原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
考点 07 零点问题
17．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
【解析】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2） ，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，
即 ，则 ， ，
令 ，
假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .
（3） 时， .
，设 与 轴交点 为 ，
时，若 ，则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 .所以 ，
则切线 的方程为 ，
令 ，则 .
，则 ，
，记 ，
满足条件的 有几个即 有几个零点.
，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；因为 ，
，
所以由零点存在性定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，在 上必有一个零点，
综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.
考点 08 极最值问题
18．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
19．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解析】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：极大 极小
增 减 增
值 值
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .1．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量
和信噪比及信道带宽的关系，即 其中 是信道容量，单位bps； 为信道带宽，单位
Hz； 代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换
数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
， ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设原始状态信道容量为 ，提升后信道容量为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
同理 ，即 ，解得 ，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍.
故选：B
2．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】已知 的定义域是 ，不是奇函数，所以A错误.
已知 ，定义域为 ，且 ，是奇函数，
，所以 在区间 上单调递增，所以B正确.
已知 ，则 ，在区间 上单调递减，所以C错误.
已知 ，则 ，令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，所以D错误.故选：B.
3．（2025·北京大兴·三模）已知定义在 上的函数 满足如下三个条件：
① ，有 ；
② ，有 ；
③ ， ．
则下列说法正确的是（ ）
A． ，有 ，
B． ，有 ，
C．函数 的递减区间为 ，
D．当 时，
【答案】D
【解析】因 ，则 ，则 ，
即 是 的一个周期；
因 ， ，则 ，
即 关于直线 对称，
对于A，因 等价于 ，
即 关于 中心对称，故A错误；
对于B， 等价于 ，即 为偶函数，故B错误；
对于C， ， ，
则 ，
则 在 上单调递增，
因为 为奇函数，则 在 上单调递增，
因为 关于直线 对称，则 在 上单调递减，因 是 的一个周期，则 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ，故C错误；
对于D，因 ，则 ，结合单调性可知 ，故D正确.
故选：D
4．（2025·北京大兴·三模）已知 ，则 的值为（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
5．（2025·北京海淀·模拟预测）若集合 是函数 的定义域， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ，故 .
故选：C.
6．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，且函数 在 ， 内恰
有2025个零点，则满足条件的有序数对 （ ）
A．有且仅有1对 B．有且仅有2对
C．有且仅有3对 D．有无数对
【答案】C
【解析】 的零点个数等价于方程 实根的个数．
先研究方程 在 内实根的个数．
当 时，方程 在 内实根的个数为1；
当 时，方程 在 内实根的个数为2；当 时，方程 在 内实根的个数为3，其中在 内实根的个数为2．
因为 是周期为 的函数，所以当 时，在 ， ， ， ， 内
方程 实根的个数均为2．
因为 在 内恰有2025个零点，且2025为奇数，所以 不合题
意．
当 时， ；当 时， ．所以满足条件的有序实数对 只有3对．
在 上的图像：
故选：C.
7．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，若函数 恰有2个零点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，要使得 恰有2个零点，即 有两个实数根．
当 时， ，令 ，可得 ；
当 时， ，令 ，可得 ．
在同一坐标系下，作出函数 ， 和 的图象，
如图所示，由函数 ，可得 ，可得 时， ， ，
故函数 在 处的切线方程为 ，
又由函数 ，可得 ，可得 时， ，
故函数 在 的切线方程为 ，
所以函数 与 只有一个公共点，
结合图象得：当 时， 恰有3个零点；
当 时， 恰有2个零点；
当 时， 恰有3个零点，
要使得 恰有2个零点，则满足 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选：C.
8．（2025·北京海淀·三模）已知 ， ，则“ ”是“ 是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， ，定义域为 关于原点对称，
且 ，因此 是奇函数；
如果 是奇函数，则 定义域必须关于原点对称，因此 ，
所以“ ”是“ 是奇函数”的充分必要条件．
故选：C
9．（2025·北京·三模）已知 是函数 的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于AB，取 ，此时 ，故AB错误；对于D，取 ，此时 ，故D错误；
对于C，不妨设 ，则 ，欲证 ，
只需证明 ，即只需证明 ，即只需证明 ，
设 ，只需证明 恒成立即可；
设 ，求导得 ，令 ，
解得 ，
所以 的斜率为1的切线方程为 ，
而 的图象是下凸的，
从而 恒成立，
因为 ，
所以 ，
所以 恒成立，
综上所述， 恒成立，即 恒成立，故C正确.
故选：C.
10．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意， ，所以 .
故选：C
11．（2025·北京大兴·三模）已知函数 .若 的最小值为 ，则 的一个取
值为 ； 的最大值为 ．
【答案】 2（答案不唯一， 即可） 4
【解析】由题意知，原函数中 为最小值，
①当 时，令 ，则 ，函数变为 ，
求导得 ，令 ，则 ，
i）当 ，即 时，最小值在 处，
此时 ，因为 的最小值为 ，
所以有 ，可得 ；
ii）当 ，即 时， 在 上单调递增，
最小值 .
②当 时， ，最小值在 处，
此时 ，因为 的最小值为 ，
所以有 ，可得 ；
综上所述， .
故答案为：2（答案不唯一， 即可）；4
12．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数 ，若 是 上的单调函数，
则 的一个取值为 ；若 有最小值，则 的取值范围是 ．【答案】 0（答案不唯一）
【解析】因为 在 递减， 在 上递减，
若 是 上的单调函数，则 是 上的单调递减函数，
只需 ，
则 的一个取值为0（ 任取即可）；
当 时， 单调递减，所以 ，
当 时， ，
若 ，则当 时， 单调递增，所以 ，则此时函数无最小值；
若 ，则当 时， ， 时， ，函数有最小值为 满足题意；
若 ，则当 时， 单调递减， ， 时，
，要使函数有最小值，则 且 ，解得 ；
综上， 的取值范围是 ，
故答案为：0（答案不唯一）； .
13．（2025·北京海淀·二模）已知函数 ，则 的值域为 ，曲线 的对称
中心为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，
因为 ，则 ，故 ，即函数 的值域为 ，
因为 ，所以， ，
因此，函数 的对称中心为 .
故答案为： ； .
14．（2025·北京通州·一模）设 ，函数 ，若 为单调函数，则a的一个
取值为 ；若 有三个零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】 1（答案不唯一），
【解析】因为 ，则 时， ， 在 上单调递增，
此时
时， ， 在 上单调递增，此时 ，
故要使得 为单调函数即单调递增函数，则需满足 ，
结合 ，则 ，
故a的一个取值可为1；
时， ，令 ，
则 ，解得 或 ；
时， ，令 ，
则 ，解得 ，
当 时， 在 时有一解 ，在 时，有一解 ，不符合题意；
当 时， 在 时有两解 和 ，在 时，有一解 ，符合题意；
故实数a的取值范围是 ，
故答案为：1（答案不唯一），
15．（2025·北京西城·一模）记 表示不超过实数 的最大整数．设函数 ，有以下四个结论：
①函数 为单调函数；
②对于任意的 ， 或 ；
③集合 （ 为常数）中有且仅有一个元素；
④满足 的点 构成的区域的面积为8．其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】 ，且 ，则 ，则
，即 ，
则 在 上单调递增，故①正确；
当 ， 时， ，
故当 时， ，有 ， ，此时
，
当 时， ， ， ，此时 ，
故②正确；
当 时， ，当 时， ，结合 在 上单调递增可知，当
时，方程 无解，故集合为空集，故③错误；
设 ， ，其中 ， ，则 ，因
，则 ，
则 ，
在每个单位正方形 内， 的值从 到 ，但不包括 ，
因此在 的区域内的每个单位正方形内， 的点 构成的区域面积为1，
由于 的区域内的单位正方形有 个 ，因此满足 的点
构成的区域面积为图中 的面积8.
故答案为：①②④
16．（2025·北京·三模）已知函数 ， ， ．
(1)若 在点 处的切线平行于直线 ： ，求 的值；
(2)求 的单调区间；(3)当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
【解析】（1） ，
，
，
切线平行于直线 ： ，
，解得： ；
（2） ，
，
当 时，显然 ，故 在 上单调递增；
令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
由于 ，故当 时， ，
，故 在 上单调递增；
故 在 上单调递增；
当 时，令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递减，
由于 ，故当 时， ，
，故 在 上单调递增；
故函数 的单调递增区间为： ， ，无单调递减区间；
（3）当 时，需要证明： ，恒有 成立，
即 ，
化简得： ，
即证： ，
当 时， ，又 ，
，当 时，记 ，则 ，
记 ，则 ，
， ，
所以当 ， 单调递增，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
综上：对任意 ，恒有 成立．
17．（2025·北京大兴·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 恒成立．
①求实数 的值；
②判断方程 的根的个数，并说明理由．
【解析】（1） ， ．
当 时，对 ， ，
所以 的单调递增区间为 ，无递减区间；
当 时，令 ，得 ．
因为 时， ； 时， ．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）①由（1）知，当 时， 的单调递增区间为 ，
所以当 时，有 ，不符合题意；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 ，
令 （ ）， ，
与 在区间 上的情况如下：－ 0 ＋
↘ 0 ↗
所以
所以 时， ，
时， ，所以 ．
②方程 有两个根，证明如下：
令 （ ）， ，
① 时，令 ， ，
， ， 单调递增，
，
所以 ， ，
．
－ 0 ＋
↘ 0 ↗
， ， ，
所以 在区间 上有一个零点．
② 时， ， ，所以 ，所以 递增，
，
由（i）知 ，所以 在区间 上有一个零点．
③ 时，由①知 ， ，
所以 ，所以 无零点．④ 时，因为 ，
对于函数 ，则 ,
故 在 上递增，
所以 ，
所以 无零点．
综上可知函数 有两个零点．
18．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为
．
(1)求 的值．
(2)求 在 上的零点个数．
(3)证明： 在 上存在两个零点 ，且 ．
【解析】（1） ，定义域为 ．
．由题可得， ，解得 ．
（2）由（1）可得， ．
当 时， ， ，故 ，在 时无零点；
当 时， ， ，故 ，在 时无零点．
当 时， ，所以 在 上单调递增．
而 ， ．
故由零点存在性定理知， 在 上存在唯一零点．
当 时， ， ，故 ，在 时无零点；综上： 在 上的零点个数为1．
（3） ．令 ， ．
令 ，则 ．
当 时， ， ， ，所以 ．所以 在 上单调递增．
， ，所以由零点存在性定理，存在唯一 ，使得 ．
当 变化时， ， 的变化如下表：
0
极小值
又 ， ， ．
所以由零点存在性定理， 分别在 ， 上各恰有一个零点，即 在 上存在两个零
点 ．
不妨设 ．则当 时， ；当 时， ．
而 ， ．
所以 ．故 ．
19．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线的倾斜角；
(2)若 是函数 的极值点，
（i）求实数 的值；
（ii）设函数 ．证明： ．
【解析】（1）由题设 ，则 ，故切线斜率 ，
所以，结合直线倾斜角的范围，易知 在 处的切线的倾斜角为 .（2）（i）由题设 ，则 ，
由 ，则 ，故 且 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 时 ， 在 上单调递增，
时 ， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极值点，故 ；
（ii） ，则 且 ，
当 时， ，此时 ，即证 ，
当 时， ，此时 ，即证 ，
综上，只需证明 在 且 上恒成立，
令 ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，故 得证.
