文档内容
专题 04 函数概念与基本初等函数
18 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01 求函数值
2024·新高考Ⅰ卷 2024·上海 2023·北京
2021·浙江
考点02 函数的定义域
2022·北京
知识1 函数及
考点03 函数的值域
其表示
2025·北京 2023·上海 2022·上海
（5年5考）
考点04 函数解析式
2025·北京
考点05 函数的图象
1.函数的周期性单调性与奇偶性的
2025·天津 2024·全国甲卷2023·天津 2022·天津
综合应用是高考的重难点方向，
2022·全国甲卷 2022·全国乙卷 2021·浙江
特别是新高考新题型以后，它们
考点06 判断或证明函数的单调性 与抽象函数的结合将是未来一个
2023·北京 2021·全国甲卷 重要方向
2.函数的综合应用作为压轴题，一
考点07 根据函数的单调性求参数值
般会是同构，构造函数比较大
2024·新高考Ⅰ卷 2023·新课标Ⅰ卷
小，函数的综合性质应用等
2023·全国乙卷 2021·上海
考点08 比较函数值的大小关系
2025·全国一卷 2024·北京 2024·天津2023·天津
知识2 函数的
2023·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅰ卷
基本性质
2022·全国甲卷 2022·天津
（5年5考）
考点09 根据函数的单调性解不等式
2024·上海 2022·上海
考点10 函数的最值
2025·天津 2024·新课标Ⅱ卷 2023·北京
考点11 函数奇偶性的定义与判断2024·天津 2024·上海2023·新课标Ⅰ卷
2023·上海 2021·全国乙卷
2021·新高考全国Ⅱ卷
考点12 由奇偶性求参数
2024·上海 2023·全国甲卷 2023·全国乙卷
2023·新课标Ⅱ卷 2022·上海 2022·全国乙卷
2021·新高考全国Ⅰ卷
考点13 函数奇偶性的应用
2025·全国一卷 2025·全国二卷 2022·新高考全
国Ⅰ卷 2021·全国甲卷 2021·全国甲卷
考点14 函数的周期性
2022·新高考全国Ⅱ卷 2021·新高考全国Ⅱ卷
考点15 函数的对称性
2005·天津 2024·新高考全国Ⅰ卷
2024·新课标Ⅱ卷2023·全国乙卷
2022·全国乙卷 2021·上海
考点16指对数的运算
知识3 指对函 2024·全国甲卷 2022·北京 2022·天津
数的运算及实 2022·浙江
际应用 考点17 对数的实际应用
（5年4考） 2025·北京 2024·北京 2023·新课标Ⅰ卷 2022·
北京
考点18 函数的零点
知识4 函数的 2025·天津2024·新高考全国Ⅰ卷 2024·天津
零点 2024·全国甲卷2024·新课标Ⅱ卷
（5年5考） 2023·新课标Ⅰ卷2023·天津2022·北京
2022·天津 2021·北京
考点 01 求函数值
1．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：12．（2024·上海·高考真题）已知 则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求 .
【详解】因为 故 ，
故答案为： .
3．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】 ，故 ，
故答案为：2.
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.考点 02 函数的定义域
5．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
考点 03 函数的值域
6．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数 的值域为 ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，充分性成立；
取 ， ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，但此时函数 的值域为 ，必要性不成立；
所以“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2022·上海·高考真题）设函数 满足 ，定义域为 ，值域为A，若集合
可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 .
【答案】 ， ，
【分析】由 可得 ，可判断当 时， ；当 时， ；
从而可得 ， ， 时，参数 的最小值为 ，从而求得．
【详解】令 得， 或 （舍去）；当 时， ，故对任意 ，
都存在 ， ， ，故 ，
故 ， ， ，而当 时， ，
故当 ， ， 时，参数 的最小值为 ，
故参数 的取值范围为 ， ，
故答案为： ， ．
8．（2023·上海·高考真题）已知 ，则 的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论 的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知 ，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为： .
考点 04 函数解析式
9．（2025·北京·高考真题）关于定义域为 的函数 ，给出下列四个结论：
①存在在 上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在 上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在 上的增函数 ，满足 ，
则 ，即 ，
故 时， ，故 ，故 即 ，矛盾，故①错误；
对于②，取 ，该函数为 上的减函数且 ，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取 ，
此时 ，由 可得 有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在 ，使得 ，
令 ，则 ，但 ，矛盾，
故满足 的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
考点 05 函数的图象
10．（2025·天津·高考真题）已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由 时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数 和函数 为奇函数，故排除选项AB；
又当 时 ，此时 ，
由图可知当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D
11．（2022·天津·高考真题）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选
项.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，CD选项错误；
又当 时， ，B选项错误.
故选：A.
12．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
13．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【详解】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
15．（2022·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
16．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
考点 06 判断或证明函数的单调性
17．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
18．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
考点 07 根据函数的单调性求参数值
19．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
21．（2023·全国乙卷·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取
值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
22．（2021·上海·高考真题）已知函数 .
（1）若 ，求函数的定义域；
（2）若 ，若 有2个不同实数根，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）解绝对值不等式 即可得答案；
（2）利用 有两个不同的实数根，转化为 有两个根，利用换元法可求实数a的
取值范围；
（3）分 与 两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数 在定义域内具有单调性的 的
取值范围.
【详解】解：（1） ，∴ ，解得 ；
所以函数的定义域为 .
（2）由题知 有2个不同实数根，
所以 ， ，
设 ，∴ 有2个不同实数根，
∴整理得 ， 有2个不同实数根，同时 ，
∴ ；
（3）当 ， ，在 递减，
此时需满足 ，即 时，函数 在 上递减；
当 ， ，在 上递减，∵ ，
∴ ，即当 时，函数 在 上递减；
综上，当 时，函数 在定义域 上连续，且单调递减.
所以 的取值范围是
【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为 ， 有2个不同实数根，进而
求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解.
考点 08 比较函数值的大小关系
23．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
24．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
25．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
26．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足 ，则x，y，z的大小
关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设 ，对 讨论赋值求出 ，即可得出大小关系，利
用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设 ，所以
令 ，则 ，此时 ，A有可能；
令 ，则 ，此时 ，C有可能；
令 ，则 ，此时 ，D有可能；
故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ，故选：B．
27．（2024·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D
28．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
29．（2022·天津·高考真题）设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故选：D.
30．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
考点 09 根据函数的单调性解不等式
31．（2024·上海·高考真题）若 ．
(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数 ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在 使得 成等差数列等价于 在 上有解，利用换
元法结合二次函数的性质可求 的取值范围．
【详解】（1）因为 的图象过 ，故 ，故 即 （负的舍去），
而 在 上为增函数，故 ，
故 即 ，
故 的解集为 .
（2）因为存在 使得 成等差数列，
故 有解，故 ，
因为 ，故 ，故 在 上有解，
由 在 上有解，
令 ，而 在 上的值域为 ，
故 即 .
32．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数 图像向下移 后，图像经过 ，求实数a，m的值.
(2)若 且 ，求解不等式 .
【答案】(1)
(2)答案见解析.【分析】（1）由题知 ，再根据题意得 ，解方程即可得答案；
（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为 的解集，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：函数 的定义域满足 ，即 ，
所以，要使函数的定义域非空，则 ，即 .
若将函数 图像向下移 后得到的解析式为：
， .
所以 在函数 的图像上，即 ，
解得： ，
所以，
（2）解：由题知 ，
,
,
因为函数 在 上单调递增，
所以 等价于 ，展开整理得： ，
所以，不等式的解集为 的解，
所以，当 时，不等式的解为 ；
当 时，不等式的解为 .
综上，当 时，不等式的解为 ；当 时，不等式的解为 .
考点 10 函数的最值
33．（2025·天津·高考真题）若 ，对 ，均有 恒成立，则 的
最小值为
【答案】
【分析】先设 ，根据不等式的形式，为了消 可以取 ，得到 ，验证 时， 是
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设 ，原题转化为求 的最小值，
原不等式可化为对任意的 ， ，
不妨代入 ，得 ，得 ，
当 时，原不等式可化为 ，
即 ，
观察可知，当 时， 对 一定成立，当且仅当 取等号，
此时， ，说明 时， 均可取到，满足题意，
故 的最小值为 .
故答案为：
34．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号
分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得
的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
35．（2023·北京·高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 ，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 的范围；对于④，取 ，结合图像
可知此时 存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，易知当 时，在 ， 且接近于 处，
的距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，
当 时， 且接近于 处， 的距离最小，
此时 ；故③正确；对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 的图像，特别是当 时， 的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
考点 11 函数奇偶性的定义与判断
36．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则，故A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ， ，
，则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，
因为 ，且 不恒为0，
则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
37．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选
项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值点，故D错误.
故选： .
38．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
39．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
40．（2024·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ，定义集合
，在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是增函数 D．存在 在 处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合 与
已知条件矛盾；D选项由集合 的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项： 时， ，
当 时， ， 任意的 ， 恒成立，
若 时偶函数，此时 矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若 函数图像如下：当 时， ， 时， ，当 ， ，
∴存在 在 处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在 时，若函数 严格递增，则集合 的取值不会是 ，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在 在 处取到极小值，则在 在左侧存在 ， ，与集合
定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
考点 12 由奇偶性求参数
41．（2024·上海·高考真题）若函数 是奇函数，则实数 .
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】 是奇函数，则 恒成立，
所以 ，解得
故答案为：0．
42．（2023·全国甲卷·高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
43．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
44．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
45．（2022·上海·高考真题）若函数 ，为奇函数，则参数a的值为 ．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.【详解】当 时， ，
当 时， ，故 ，
而 ，故 即 ，
故答案为：1.
46．（2022·全国乙卷·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义
域内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
47．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数 是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
48．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当 时，是否存在实数c，使得 为奇函数；
(2)若函数 过点 ，且函数 图像与 轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2) 且
【分析】（1）将 代入得 ，先考虑其定义域，再假设 为奇函数，得到方程
无解，从而得以判断；
（2）先半点 代入 求得 ，从而得到 ，再利用二次函数的根的分布得到
关于 的不等式组，解之可得 ，最后再考虑 的情况，从而得到 的取值范围.【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
假设 为奇函数，则 ，
而 ，则 ，此时无实数 满足条件，
所以不存在实数 ，使得函数 为奇函数；
（2） 图像经过点 ，则代入得 ，解得 ，
所以 ，定义域为 ，
令 ，则 的图像与 轴负半轴有两个交点，
所以 ，即 ，解得 ，
若 ，即 是方程 的解，
则代入可得 ，解得 或 .
由题意得 ，所以实数 的取值范团 且 .
考点 13 函数奇偶性的应用
49．（2025·全国一卷·高考真题）设 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为 的范围中求解.
【详解】由题知 对一切 成立，
于是 .
故选：A
50．（2025·全国二卷·高考真题）已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，
则（ ）
A． B．当 时，
C． 当且仅当 D． 是 的极大值点
【答案】ABD【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用 代入求解即可；对C，举反例
即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为 定义在 上奇函数，则 ，故A正确；
对B，当 时， ，则 ，故B正确；
对C， ， 故C错误；
对D，当 时， ，则 ，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
则 是 极大值点，故D正确；
故选：ABD.
51．（2021·全国甲卷·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
52．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．53．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，
若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①
求导，和 ，得 ，
所以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D
错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
考点 14 函数的周期性
54．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
55．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
考点 15 函数的对称性56．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
57．（2021·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是（ ）
A． 为偶函数且关于直线 对称 B． 为偶函数且关于点 对称
C． 为奇函数且关于直线 对称 D． 为奇函数且关于点 对称
【答案】D【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得 ，据
此可判断D的正误.
【详解】对于A，因为 为偶函数，故 ，
而 的图像关于直线 对称，故 ，故 ，
故 为周期函数且周期为2，
而 在 必有最大值，故 必有最大值，故A错误.
对于B，而 的图像关于点 对称，故 ，
故 ，故 ，故
故 为周期函数且周期为4，
而 在 必有最大值，故 必有最大值，故B错误.
对于C，因为 为奇函数，故 ，
而 的图像关于直线 对称，故 ，故 ，
所以 故 为周期函数且周期为4，
而 在 必有最大值，故 必有最大值，故C错误.
对于D，因为 为奇函数，故 ，
而 的图像关于点 对称，故 ，
故 ，设 ，
则 ，故 无最大值，
故选：D
58．（2005·天津·高考真题）设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则
．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得出 的值，根据函数对称性可得出 的值，推导出函数 为周期
函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得 的值.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，
则对任意的 ， ， ，则 ，
所以， ，所以，函数 是周期为 的周期函数，且 ，
因此， .
故答案为： .
59．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
60．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出 后根据 可求 的最小值；
（2）设 为 图象上任意一点，可证 关于 的对称点为 也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断 即 ，再根据 在 上恒成立可求得 .
【详解】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为 ，
设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，
即 的解为 .
综上， .
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范
围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
61．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)存在 满足题意，理由见解析.
(3) .
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 ，然后对函数求导，
利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 ， 和 三中情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）令 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
由一次函数与对数函数的性质可得，当 时，
，
且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以
，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
考点 16 指对数的运算
62．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
63．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，则 ．【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
64．（2022·天津·高考真题）化简 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：C
65．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
考点 17 对数的实际应用
66．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取 个单位、 个单位、 个单位时所需时间分别为 ,
由题意， ，
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
67．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ，消去 即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：D.
68．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声
压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
与声源的距离
声源 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
69．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直
冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
考点 18 函数的零点
70．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，71．（2024·广东江苏·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
72．（2025·天津·高考真题）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知： 在 上单调递减， 在 单调递增，
所以 在定义域上单调递减，
显然 ，
所以根据零点存在性定理可知 的零点位于 .
故选：B
73．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可
得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
74．（2024·天津·高考真题）设 ，函数 .若 恰有一个零点，则 的取
值范围为 ．
【答案】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 与 ，则两函
数图象有唯一交点，分 、 与 进行讨论，当 时，计算函数定义域可得 或 ，计
算可得 时，两函数在 轴左侧有一交点，则只需找到当 时，在 轴右侧无交点的情况即
可得；当 时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 的零点问题转化为函数 与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.75．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结合
导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
76．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
77．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
78．（2022·天津·高考真题）设 ，对任意实数x，用 表示 中的较小者．若函
数 至少有3个零点，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ，求出
的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合可求
得实数 的取值范围.
【详解】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
79．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
