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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 02 函数概念与基本初等函数
函数概念与基本初等函数常考题型一般为选择题，中等难度，属于送分题。一般的出题类型为选择，填空。
对于函数周期与奇偶性以及综合应用一般难度比较大，技巧比较强。
考点 01 函数概念与单调性
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
3．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
4．（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
5．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
考点 02 函数周期性与奇偶性应用
1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
2．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质
可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而
得到结果.
【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性
质和复合函数“同增异减”性得到结论.
3．（2019·全国·高考真题）设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】 是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
7．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
8．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
9．（2020·山东·统考高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二、填空题
10．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ________．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
11．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
考点 03 函数图像应用
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
3．（2020·全国·统考高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周
期为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数
图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即
可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
4．（2019·全国·高考真题）函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又
．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，
利用数形结合思想解题．
5．（2019·全国·统考高考真题）函数 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原
点成中心对称，排除选项C．又 排除选项D； ，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，
注重了基础知识、基本计算能力的考查．
考点 04 函数性质综合应用
一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.3．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分
类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
4．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
5．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
7．（2020·山东·统考高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
8．（2019·全国·高考真题）设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临
界点位置，精准运算得到解决．
【详解】 时， ， ， ，即 右移1个单位，图像变
为原来的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得：
， （舍）， 时， 成立，即
， ，故选B．
