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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 11 数列
数列作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。主要考点：
考点01 数列概念及通项
考点02 等差等比数列应用
考点03 数列求和
考点04 数列情景类问题
考点05 数列新定义问题
考点06 数列与其他知识点交汇及综合问题
考点 01 数列概念及通项
一 选择题
1．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列 满足 ．记数列 的前n项和为
，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
1，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ．
故选A．
二、填空题
1．(2022高考北京卷·第15题) 己知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．
给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不 是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意 ， ，则 ，
的
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对．
故答案为：①③④．
2考点 02 等差等比数列应用
一 选择题
1．(2020北京高考·第8题)在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
( )．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， ．故数列 中存在最大项，且最大项
为 ．故选：B．
2．(2019·全国Ⅰ·理·第9题)记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则 (
)
A． B． C． D．
【答案】A
解析： ，
所以 ，故选A．
3．(2023年天津卷·第6题)已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值
为 ( )
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
解析：由题意可得：当 时， ，即 ， ①
当 时， ，即 ， ②
联立①②可得 ，则 ．
3故选：C．
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 (
)．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
解析：方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．故选：C．
4．(2023 年全国甲卷理科·第 5 题)设等比数列 的各项均为正数，前 n 项和 ，若 ，
，则 ( )
A． B． C．15 D．40
【答案】C解析：由题知 ,
即 ,即 ,即 ．
4由题知 ,所以 ．
所以 ．
故选:C．
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第8题)已知等比数列 的前3项和为168， ，则 (
)
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D解析：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，则 ，解得 ，
所以 ．故选：D．
6．(2019·全国Ⅲ·理·第5题)已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
( )
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
，故选C．另解：数感好的话由 ，立即会想到数列： ，检验是否
满足 ，可以迅速得出 ．
二、填空题
1．(2019·全国Ⅲ·理·第14题) 记 为等差数列{a}的前n项和， ，则 ___________．
n
【 答 案 】 4 ． 【 解 析 】 因 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
2．(2019·江苏·第8题) 已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，则
的值是 .
5【答案】16【解析】由 ，得 ，从而 ，即 ，解得
，所以 .
3．(2019·北京·理·第10题) 设等差数列 的前 n项和为 ，若 a=−3，S=−10，则
2 5
a=__________，S 的最小值为__________．
5 n
【答案】 (1) 0； (2) -10．
【解析】等差数列 中， ，得 ，则公差 ，
∴ ，
由等差数列 的性质得 时， ，当 时， 大于0，所以 的最小值为 或 ，
值为 ．
3．(2023年全国乙卷理科·第15题) 已知 为等比数列， ， ，则 ______．
【答案】
解析：设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： ．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第 14 题) 记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
．
【答案】 解析：由 ，得 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
．
5．(2020江苏高考·第11题)设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列．已知数列
的前 项和 ，则 的值是_______．
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 ．
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
6依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 ．故答案为：
考点 03 数列求和
一 选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第6题)数列 中， ， ，若
，则 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
解析：在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能
力，属于中等题．
二、填空题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题) 已知数列{a}满足 ，则S=________．
n 3
【答案】10
解析：因为 ，所以 ．
即 ．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15题) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数
列{a}，则{a}的前n项和为________．
n n
7【答案】
解析：因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： ．
3．(2019·上海·第8题)已知数列 前n项和为 ，且满足 ，则 ______.
【答案】
【解析】由 得： ( )
【点评】本题主要考查数列求和， 的递推式．
∴ 为等比数列，且 ， ，∴ .
三 解答题：
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题) 已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
解析：(1)
设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
8所以数列 的通项公式是 ．
(2)
方法1：由(1)知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， ．
方法2：由(1)知， ， ，
当 为偶数时，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， ．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题) 已知数列 满足 ，
(1)记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前20项和．
9【答案】 ； ．
【解析】(1)由题设可得
又 ， ，故 即 即
所以 为等差数列，故 ．
(2)设 的前 项和为 ，则 ，
因为 ，
所以
．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第 19 题) 已知数列 和 满足 ， ， ，
．
证明： 是等比数列， 是等差数列；
求 和 的通项公式．
【答案】 见解析； ， .
【官方解析】
由题设得 ，即 ．
又因为 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．
由题设得 ，即 ．
又因为 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列．
由 知， ， ．
所以 ，
．
【分析】 可通过题意中的 以及 对两式进行相加和相减即可推导
出数列 是等比数列以及数列 是等差数列；
可通过 中的结果推导出数列 以及数列 的通项公式，然后利用数列 以及
10数列 的通项公式即可得出结果.
【解析】 由题意可知4a 3a b 4，4b 3b a 4，a +b =1，a b 1，
n1 n n n1 n n 1 1 1 1
所以 ，即 ，
4a +4b =3a -b +4+3b - a - 4=2a +2b
n+1 n+1 n n n n n n
1
所以数列a b 是首项为 、公比为 的等比数列，a +b =( 1)n-1，
n n 1 2 n n 2
因为4a - 4b =3a -b +4-(3b - a - 4) =4a - 4b +8，
n+1 n+1 n n n n n n
所以a
n+1
-b
n+1
=a
n
-b
n
+2，数列 a
n
b
n
是首项1、公差为2 的等差数列，a
n
-b
n
=2n-1.
由 可知， ， ，
a -b =2n-1
n n
所以 ， .
4．(2021年高考全国乙卷理科·第19题) 记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
(1)证明：数列 是等差数列;
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
解析：(1)由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
11所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ ．
5．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第20题) 设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记
分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
解析：(1) ， ，解得 ，
，
12又 ，
，
即 ，解得 或 (舍去)，
．
(2) 为等差数列，
，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 (舍去)
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 ．
综上， ．
6．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第17题) 记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2) ．
【解析】(1)解：因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
13所以 是以 为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
7．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求使 成立的n的最小值．
【答案】【解析】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，数列的通项公式为： ．
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，解得： 或 ，又 为正整数，
故 的最小值为 ．
8（2023年全国乙卷）1．记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
14由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
9．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于 的等比数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) ．
解析：(1)由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为 ，依题意有 ，
解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 ．
(2)由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
15对应的区间分别为： ，则 ，即有 个
．
所以 ．
10．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18题) 已知公比大于 的等比数列 满足
．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ．
【答案】(1) ；(2)
解析：(1) 设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： ．
(2)由于： ，故：
．
11 ．(2023年全国甲卷理科·第17题) 设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为 ，
16当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
(2)因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
12 .(2020天津高考·第19题) 已知 为等差数列， 为等比数列，
．
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)记 的前 项和为 ，求证： ；
(Ⅲ)对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) ．
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．由 ， ，可得 ．
从而 的通项公式为 ．由 ，又 ，可得 ，解得 ，
从而 的通项公式为 ．
17(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，所以 ．
(Ⅲ)当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
对任意的正整数 ，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： ．
因此， ．所以，数列 的前 项和为 ．
考点 04 数列情景类题目
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中
心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层
比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
18( )
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
解析：设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 ．
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
2．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知 成公差为0．1的等差数列，且直线 的
斜率为0．725，则 ( )
19(
)
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
【答案】D
解析：设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ． 故选 D．
3．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面
缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差
数列，对应的宽为 (单位:cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，
则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
解析：由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 ．
故选：C．
二、填空题
1．(2023年北京卷·第14题) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列 ，该数列
的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ___________；数列
20所有项的和为____________．
【答案】①． 48 ②． 384
解析：方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，
所以 ．
故答案为：48；384．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把
纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格
的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种
数为______；如果对折 次，那么 ______ ．
【答案】 5
【解析】(1)对折 次可得到如下规格： ， ， ， ，
，共 种；
21(2)由题意可得 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
两式作差得
，
因此， ,故答案为 ； ．
考点 05 数列新定义问题
1 ．(2023年北京卷·第21题) 已知数列 的项数均为m ，且
的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
(3)证明见详解
解析：(1)由题意可知： ，
当 时，则 ，故 ；
当 时，则 ，故 ；
当 时，则 故 ；
当 时，则 ，故 ；
综上所述： ， ， ， ．
22(2)由题意可知： ，且 ，
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
又因为 ，则 ，即 ，
可得 ，
反证：假设满足 的最小正整数为 ，
当 时，则 ；当 时，则 ，
则 ，
又因为 ，则 ，
假设不成立，故 ，
即数列 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以 ．
(3)
(ⅰ)若 ，构建 ，由题意可得： ，且 为整数，
反证，假设存在正整数 ，使得 ，
则 ，可得 ，
.
这与 相矛盾，故对任意 ，均有
①若存在正整数 ，使得 ，即 ，
可取 ，使得 ；
②若不存在正整数 ，使得 ，
因为 ，且 ，
所以必存在 ，使得 ，
即 ，可得 ，
可取 ，使得 ；
(ⅱ)若 ，构建 ，由题意可得： ，且 为整数，
反证，假设存在正整数 ，使得 ，
则 ，可得 ，
这与 相矛盾，故对任意 ，均有 ．
23①若存在正整数 ，使得 ，即 ，
可取 ，使得 ；
②若不存在正整数 ，使得 ，
因为 ，且 ，
所以必存在 ，使得 ，
即 ，可得 ，
可取 ，使得 ；
综上所述：存在 使得 ．
2．(2019·上海·第21题) 数列 有 项， ，对任意 ，存在 ，
若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 .
(1)若 ，求 可能的值；
(2)若 不为等差数列，求证： 中存在满足性质 ；
(3)若 中恰有三项具有性质 ，这三项和为 ，使用 表示 .
【答案】(1)3,5,7；(2);(3)
【解析】(1)由题意，
①若 具有性质 ，则
②若 具有性质 而 不具有性质 ，则 即
；
③若 不具有性质 ，则必有 即 ；
此时若 具有性质 ，则 ；若 不具有性质 ，则
综上所述， 可能的值为3、5、7
（2）假设 中不存在满足性质 的项，即对任意 均有 ；
下面数学归纳法证明， 是等差数列；
①当 时， 成立；
②设当 且 时， ；
则当 时，因为 不具有性质 ，故
而又存在 故， ，即 ；
24综上所述，当 中不存在满足性质 的项时， 时等差数列成立；
故其逆否命题：当 不是等差数列时， 中存在满足性质 的项成立.
（3）由题意，不妨设这三项为 ，其中 ;且
故数列 为等差数列； 为等差数列；
为等差数列， 为等差数列；
若存在 或 或 的情况
则去掉相应的 、 、 每组等差
数列的公差均为 ；
且 、 、
故当数列去掉 这三项后，构成首项为 ，公差为 ，项数97项的等差数列；
故这97项的和 ；
故这100个数的和
3．(2019·江苏·第20题) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ －数列”.
(1)已知等比数列 满足： ，求证:数列 为“ －数列”；
(2)已知数列{b}满足: ，其中 为数列 的前 项和．
n
①求数列 的通项公式；
②设 为正整数，若存在“ －数列” ，对任意正整数 ，当 时，都有 成
立，求 的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列 的公比为 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.
(2)①因为 ，所以
由 得 ，则
由 ，得
25当 时，由 ，得
整理得 ．
所以数列 是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列 的通项公式为 .
②由①知， ， .
因为数列 为“ –数列”，设公比为 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，其中 .
当 时，有 ；
当 时，有 ．
设f(x)= ，则 ．
令 ，得 .列表如下：
x (1，e) e (e，+∞)
+ 0 –
f(x) 极大值
因为 ，所以 ．
取 ，当 时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求 的最大值不小于5．
若 ，分别取 ，得 ，且 ，从而 ，且 ，
所以 不存在.因此所求 的最大值小于6.
4．(2019·北京·理·第20题) 已知数列 ，从中选取第 项、第 项、…、第 项( < <…< )，若
，则称新数列 为 的长度为m的递增子列．规定：数列 的任意
一项都是 的长度为1的递增子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
(Ⅱ)已知数列 的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为
．若p＜q，求证： ＜ ；
26(Ⅲ)设无穷数列{a}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 的长度为 的递增子列末项的最小
n
值为 ，且长度为 末项为 的递增子列恰有 个( )，求数列 的通项公式．
【答案】【解析】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1，3，5，6．
(Ⅱ)对于每一个长度为 的递增子列 ，都能从其中找到若干个长度为 的递增子列
，此时 ，
设所有长度为 的子列的末项分别为： ，
所有长度为 的子列的末项分别为： ，则 ，
注意到长度为 的子列可能无法进一步找到长度为 的子列，故 ，
据此可得： ．
(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是 ，
下面说明此数列满足题意．
很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等．
长度为 的递增子列末项的最小值为 ，
下面用数学归纳法证明长度为 末项为 的递增子列恰有 个 ：
当 时命题显然成立，
假设当 时命题成立，即长度为 末项为 的递增子列恰有 个，
则当 时，对于 时得到的每一个子列 ，
可构造： 和 两个满足题意的递增
子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有 个，
综上可得，数列 是一个满足题意的数列的通项公式．
注：当 时，所有满足题意的数列为： ，
当 时，数列 对应的两个递增子列为： 和 ．
考点 06 数列与其他知识点交汇及综合问题
27一、选择题
1．(2023年北京卷·第10题)已知数列 满足 ，则 (
)
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
解析：法1：因为 ，故 ，
对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立，
由数学归纳法可得 成立．
而 ，
， ，故 ，故 ，
故 为减数列，注意
故 ，结合 ，
所以 ，故 ，故 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立，
故A不成立．
28对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立．
而 ，
， ，故 ，故 ，故 为增数列，
若 ，则 恒成立，故B正确．
对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立．
而 ，故 ，故 为减数列，
又 ，结合 可得： ，所
以 ，
若 ，若存在常数 ，使得 恒成立，
则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C错误．
对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
29则 ，故 成立
由数学归纳法可得 成立．
而 ，故 ，故 为增数列，
又 ，结合 可得：
，所以 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，这与n的个数有限矛盾，故D错误．
故选：B．
法2：因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 或 或
，
注意到 ， ，
所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ，
对于A，因为 ，则 ，
30当 时， ， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，即 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 ，
假设存 在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为 ，
当 时， ， ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
31又当 时， ，即 ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
此时，取 ，满足题意，故B正确；
对于C，因为 ，则 ，
注意到当 时， ， ，
猜想当 时， ，
当 与 时， 与 满足 ，
假设当 时， ，
当 时，所以 ，
综上： ，
易知 ，则 ，故 ，
所以 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
32假设存在常数 ，使得 恒成立，
记 ，取 ，其中 ，
则 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 不恒成立，故C错误；
对于D，因为 ，
当 时， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
33则 ，与 恒成立矛盾，故D错误．
故选：B．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{a}的前n项和S，公差d≠0， ．记b=S，
n n 1 2
b =S –S ， ，下列等式不可能成立的是 ( )
n+1 n+2 2n
A．2a=a+a B．2b=b+b C． D．
4 2 6 4 2 6
【答案】D
解析：对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得，
，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
根据等差数列的下标和性质，由 可得
，B正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
.
故选：D
3．(2022高考北京卷·第6题)设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
.
C充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
34【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数．
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列．
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”．
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件．
故选,C．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第11题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满
足 的最小正整数 为这个序列的周期．对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于选项A，
，不满足；
35对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算
能力，是一道中档题．
5．(2023年全国乙卷理科·第10题)已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 ( )
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
解析：依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为 3，而 ，即 最多 3 个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， ．
故选：B
二 解答题
1．(2023年天津卷·第19题) 已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
(Ⅰ)当 时，求证： ；
(Ⅱ)求 的通项公式及其前 项和．
36【答案】(1) ， ；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 ．
解析：(1)由题意可得 ，解得 ，
则数列 的通项公式为 ，
求和得
．
(2)(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，
据此可得 ，
综上可得： ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
据此猜测 ，
否则，若数列的公比 ，则 ，
注意到 ，则 不恒成立，即 不恒成立，
此时无法保证 ，
若数列的公比 ，则 ，
注意到 ，则 不恒成立，即 不恒成立，
此时无法保证 ，
综上，数列的公比为 ，则数列的通项公式为 ，
37其前 项和为： ．
2．(2022新高考全国I卷·第17题) 记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
解析：(1)∵ ，∴ ,∴ ,又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,∴当 时， ，
∴ ,整理得： ,
即 ,∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
(2)
∴
3．(2014高考数学课标1理科·第17题) 已知数列 {a } 的前n项和为S ,a =1,a 0,a a S 1,其
n n 1 n n n1 n
中为常数．
(1)证明: a - a =l;
n+2 n
38{a }
(2)是否存在,使得 为等差数列?并说明理由．
n
【答案】【解析】(1)由题设
a a =lS -1
,
a a =lS -1
,两式相减
n n+1 n n+1 n+2 n+1
a (a - a ) =la ,由于a � 0,所以a - a =l．
n+1 n+2 n n+1 n n+2 n
(2) 由题设 a =1 , aa =lS -1 ,可得 a =l -1 ,由(1)知 a =l+1
1 1 2 1 2 1 3
假设 {a } 为等差数列,则 a ,a ,a 成等差数列,∴ a +a =2a ,解得l =4;
n 1 2 3 1 3 2
证明l =4时, {a } 为等差数列:由 a - a =4 知
n n+2 n
数列奇数项构成的数列 {a } 是首项为1,公差为4的等差数列a =4m-3
2m-1 2m-1
n+1
令 则m= ,∴
n=2m-1, 2 a =2n-1 (n=2m-1)
n
数列偶数项构成的数列 {a } 是首项为3,公差为4的等差数列a =4m-1
2m 2m
n
令 则m= ,∴
n=2m, 2 a =2n-1 (n=2m)
n
∴ a =2n-1 (n� N*), a - a =2
n n+1 n
因此,存在存在l =4,使得 {a } 为等差数列．
n
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第20题) 已知数列{a}，{b}，{c}中，
n n n
．
(Ⅰ)若数列{b}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与a 的通项公式；
n n
(Ⅱ)若数列{b}为等差数列，且公差 ，证明： ．
n
【答案】(I) ；(II)证明见解析．
解析：(I)依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所
以 ．
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
．
所以 ( )．
所以
39(II)依题意设 ，由于 ，
所以 ，
故
．
所以
．
由于 ，所以 ，所以 ．
即 ， ．
5 （2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
40（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
6．(2022高考北京卷·第21题) 已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为
连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
【答案】【解析】(1) ， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；
41易知，不存在 使得 ，所以 不是 连续可表数列．
(2)若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；
当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
(3) ，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，
若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数(恰 21个)，这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同,设那个负数
为 ，
则所有数之和 ， ，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
(仅一种方式)，
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 (有2种结果相同，方式矛盾)，
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 (有2种结果相同，矛盾)， 同理不行，
，则 (有2种结果相同，矛盾)，从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上
7．(2021年高考浙江卷·第20题) 已知数列 前n项和为 ， ，且 ．
的
(1)求数列 的通项；
42(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的
范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)当 时， ， ，
当 时，由 ①，得 ②，① ②得
，又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
(2)由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 ．
8．(2022新高考全国II卷·第17题) 已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
43．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
解析：(1)设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由(1)知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为
9．(2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n
项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】【解析】(1)因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
(2)因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
44，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
10．(2021年高考全国甲卷理科·第18题) 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
解析：选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
45因为 ，
所以 是等差数列．
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差
数列；
当 时， ， 不合题意，舍去．
综上可知 为等差数列．
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等
差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．
46
