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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 11 数列
数列作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。主要考点：
考点01 数列概念及通项
考点02 等差等比数列应用
考点03 数列求和
考点04 数列情景类问题
考点05 数列新定义问题
考点06 数列与其他知识点交汇及综合问题
考点 01 数列概念及通项
一 选择题
1．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列 满足 ．记数列 的前n项和
为 ，则 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
1．(2022高考北京卷·第15题) 己知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．
给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
考点 02 等差等比数列应用
一 选择题
11．(2020北京高考·第8题)在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
( )．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
2．(2019·全国Ⅰ·理·第 9 题)记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则
( )
A． B． C． D．
3．(2023年天津卷·第6题)已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的
值为 ( )
A．3 B．18 C．54 D．152
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
( )．
A．120 B．85 C． D．
4．(2023 年全国甲卷理科·第 5 题)设等比数列 的各项均为正数，前 n 项和 ，若 ，
，则 ( )
A． B． C．15 D．40
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第8题)已知等比数列 的前3项和为168， ，则
( )
A．14 B．12 C．6 D．3
6．(2019·全国Ⅲ·理·第5题)已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，
则 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
二、填空题
1．(2019·全国Ⅲ·理·第14题) 记 为等差数列{a}的前n项和， ，则
n
___________．
3．(2019·北京·理·第10题) 设等差数列 的前 n项和为 ，若 a=−3，S=−10，则
2 5
a=__________，S 的最小值为__________．
5 n
23．(2023年全国乙卷理科·第15题) 已知 为等比数列， ， ，则 ______．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第14题) 记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
．
5．(2020江苏高考·第11题)设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列．已知数列
的前 项和 ，则 的值是_______．
考点 03 数列求和
一 选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第6题)数列 中， ， ，若
，则 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题) 已知数列{a}满足 ，则S=________．
n 3
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15题) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数
列{a }，则{a }的前n项和为________．
n n
3．(2019·上海·第8题)已知数列 前n项和为 ，且满足 ，则 ______.
三 解答题：
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题) 已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
32．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题) 已知数列 满足 ，
(1)记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前20项和．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第 19 题) 已知数列 和 满足 ， ， ，
．
证明： 是等比数列， 是等差数列；
求 和 的通项公式．
4．(2021年高考全国乙卷理科·第19题) 记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
(1)证明：数列 是等差数列;
(2)求 的通项公式．
45．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第20题) 设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记
分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
6．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第17题) 记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
7．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求使 成立的n的最小值．
58（2023年全国乙卷）1．记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
9．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于 的等比数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
10．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18题) 已知公比大于 的等比数列 满足
．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ．
611 ．(2023年全国甲卷理科·第17题) 设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
12 .(2020天津高考·第19题) 已知 为等差数列， 为等比数列，
．
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)记 的前 项和为 ，求证： ；
(Ⅲ)对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
考点 04 数列情景类题目
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层
中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9
块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且
下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
7A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
2．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁
的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是
举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．
已知 成公差为0．1的等差数列，且直线 的斜率为0．725，则 ( )
( )
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
3．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数
列，对应的宽为 (单位:cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
二、填空题
1．(2023年北京卷·第14题) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列 ，该数列
8的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ___________；数列 所
有项的和为____________．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的
图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规
格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；
如果对折 次，那么 ______ ．
考点 05 数列新定义问题
1 ．(2023年北京卷·第21题) 已知数列 的项数均为m ，且
的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
2．(2019·上海·第21题) 数列 有 项， ，对任意 ，存在 ，
若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 .
(1)若 ，求 可能的值；
(2)若 不为等差数列，求证： 中存在满足性质 ；
(3)若 中恰有三项具有性质 ，这三项和为 ，使用 表示 .
93．(2019·江苏·第20题) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ －数列”.
(1)已知等比数列 满足： ，求证:数列 为“ －数列”；
(2)已知数列{b}满足: ，其中 为数列 的前 项和．
n
①求数列 的通项公式；
②设 为正整数，若存在“ －数列” ，对任意正整数 ，当 时，都有 成
立，求 的最大值．
4．(2019·北京·理·第20题) 已知数列 ，从中选取第 项、第 项、…、第 项( < <…< )，若
，则称新数列 为 的长度为m的递增子列．规定：数列 的任意
一项都是 的长度为1的递增子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
(Ⅱ)已知数列 的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为
．若p＜q，求证： ＜ ；
(Ⅲ)设无穷数列{a}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 的长度为 的递增子列末项的最小
n
值为 ，且长度为 末项为 的递增子列恰有 个( )，求数列 的通项公式．
10考点 06 数列与其他知识点交汇及综合问题
一、选择题
1．(2023年北京卷·第10题)已知数列 满足 ，则( )
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{a }的前n项和S ，公差d≠0， ．记
n n
b =S ，b =S –S ， ，下列等式不可能成立的是 ( )
1 2 n+1 n+2 2n
A．2a =a +a B．2b =b +b C． D．
4 2 6 4 2 6
3．(2022高考北京卷·第6题)设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
.
C充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第11题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 满
足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期．对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是 ( )
A． B． C． D．
5．(2023年全国乙卷理科·第10题)已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 ( )
A．－1 B． C．0 D．
11二 解答题
1．(2023年天津卷·第19题) 已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
(Ⅰ)当 时，求证： ；
(Ⅱ)求 的通项公式及其前 项和．
2．(2022新高考全国I卷·第17题) 记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
123．(2014高考数学课标1理科·第17题) 已知数列 {a } 的前n项和为S ,a =1,a 0,a a S 1,其
n n 1 n n n1 n
中为常数．
(1)证明: a - a =l;
n+2 n
{a }
(2)是否存在,使得 为等差数列?并说明理由．
n
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第20题) 已知数列{a}，{b}，{c}中，
n n n
．
(Ⅰ)若数列{b}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与a 的通项公式；
n n
(Ⅱ)若数列{b}为等差数列，且公差 ，证明： ．
n
135 （2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
6．(2022高考北京卷·第21题) 已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为
连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
147．(2021年高考浙江卷·第20题) 已知数列 前n项和为 ， ，且 ．
的
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的
范围．
8．(2022新高考全国II卷·第17题) 已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
159．(2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n
项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
10．(2021年高考全国甲卷理科·第18题) 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
16
