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专题 04 立体几何
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
1. 立体几
何总体难度有所提升,但仍然
以基础性题目为主,注重考查
数学文化,社会生活实践中的
数学问题,球的切接问题也是
考查的热点和难点,解答题以
常见儿何体为载体,重点考查
空间中点,线、面的位置关系
2020-2024：5年十二考：线面的位置关系；由 的判断与论证,以及空间角的
考点立体几何 已知条件求解长度或距离；外接球与内切球； 求法,从能力上更加注重对空
（5年几考） 三视图求面积或体积；空间向量求角 间想象,逻辑思维和运算求解
能力的考查,题目多为中档的
综合性问题。
2. 立体几
何的题目考查形式多样，且难
度不定,需要学生在平时下功
夫,加强对中低档题目的训练,
打好基础,在平时训练中注意
提高空间想象、逻辑推理和运
算求解能力,。
考点 立体几何
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ，
，该棱锥的高为（ ）.A．1 B．2 C． D．
2．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒
出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面
是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平
面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．
设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京·高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
等
24h降雨量（精确到0.1）
级
…
……
…
小
0.1~9.9
雨
中
10.0~24.9
雨
大
25.0~49.9
雨
暴
50.0~99.9
雨
…
……
…
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
6．（2020·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A． B． C． D．
7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中
升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直
径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为
．
8．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，
且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
9．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
10．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
11．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点
．（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
12．（2020·北京·高考真题）如图，在正方体 中， E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，
三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面
所成的锐二面角依次为 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
2．（2024·北京顺义·三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋
时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的
一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且 ， ，
，当 时，多面体ABCEF的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京朝阳·二模）已知 是两个互相垂直的平面， 是两条直线， ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·北京海淀·一模）设 是两个不同的平面， 是两条直线，且 .则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·北京朝阳·一模）在棱长为 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 .则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
C．直线 与平面 所成角的大小为D．平面 被正方体所截得的截面面积为
6．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 平面
为垂足.给出下列四个结论：
① ；
②线段 的长随线段 的长增大而增大；
③存在点 ，使得 ；
④存在点 ，使得 平面 .
其中所有正确结论的序号是 .
7．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转
90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧 的中点，点H是圆弧 上的动点， ，给出下列四个
结论：
①不存在点H，使得平面 平面CEG；
②存在点H，使得 平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
8．（2024·北京房山·一模）如图，在棱长为1的正方体 中，点P是对角线 上的动点
（点P与点A， 不重合）．给出下列结论：①存在点P，使得平面 平面 ；
②对任意点P，都有 ；
③ 面积的最小值为 ；
④若 是平面 与平面A B C D 的夹角， 是平面 与平面 的夹角，则对任意点P，都有
1 1 1 1
．其中所有正确结论的序号是 ．
9．（2024·北京西城·三模）如图.在四棱锥P-ABCD中. 平面 .底面ABCD为菱形.E.F分别为
AB.PD的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值.
10．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形， ， ，
， .
(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；
(2)若面 面 ；求：（ⅰ）平面 与平面CEF所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面CEF的距离.
11．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥 中， ， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的平面角的正切值.
12．（2024·北京海淀·二模）在三棱锥 中， 为 的中点.
(1)如图1，若 为棱 上一点，且 ，求证：平面 平面 ；
(2)如图2，若 为 延长线上一点，且 平面 ，直线 与平面 所成角为 ，
求直线 与平面 所成角的正弦值.
13．（2024·北京朝阳·二模）如图，六面体 是直四棱柱 被过点 的平面
所截得到的几何体， 底面 ，底面 是边长为2的正方形，(1)求证: ；
(2)求平面. 与平面 的夹角的余弦值；
(3)在线段 DG上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，说明理
由.
14．（2024·北京通州·二模）如图，几何体ABCDE中， ，四边形ABDE是矩形， ，点F
为CE的中点， ， ．
(1)求证： 平面ADF；
(2)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值．
15．（2024·北京房山·一模）如图，在五面体 中，四边形 是矩形，平面 平面 ，
是正三角形， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值．16．（2024·北京海淀·一模）如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 .
(1)求证： ；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
四棱锥 存在且唯一确定.
（i）求证： 平面 ；
（ⅱ）设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
17．（2024·北京朝阳·一模）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， .
(1)求证： ；
(2)已知 ， ， ， 是线段 上一点，当 时，求二面角 的余弦
值.
