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专题 05 立体几何
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 空间几 回顾近五年北京卷高考命题情况，立体几
何体面积、体 2025北京卷、2024北京卷、2023北京 何无疑是高考的重点内容，属于必考范
积、棱长、高 卷、2022北京卷、2021北京卷 畴。其考查方向较为明确且集中，主要聚
（5年5考） 焦于两大关键方面。其一，空间几何体相
关计算是重要考点，涉及体积、面积以及
考点2 三视图
2021北京卷 高等具体数值的求解，这要求考生熟练掌
（5年1考）
握各类空间几何体的特征与计算公式，能
够准确运用公式进行计算。其二，空间角
考点3 线面角
2025北京卷、2022北京卷 的问题求解是考查的重中之重，涵盖线线
（5年2考）
角、线面角以及二面角。考生需具备清晰
的空间想象能力，掌握相应的求解方法与
考点4 二面角 2024北京卷、2023北京卷、2021北京 技巧，如通过建系利用向量法求解等。备
（5年3考） 卷 考时，考生应针对这些重点内容加强练
习，提升解题能力。
考点01 空间几何体面积、体积、棱长、高
1．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF是一个平面多边形，平面 平面ABC，平面 平面ABC，
， .若 ，
则该多面体的体积为 ．
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ，
，该棱锥的高为（ ）.A．1 B．2 C． D．
3．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒
出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面
是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平
面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集
合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平
面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
考点02 三视图
6．（2021·北京·高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点03 线面角
7．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， 与 均为等腰直角三角形，
，E为BC的中点．
(1)若 分别为 的中点，求证： 平面PAB；
(2)若 平面ABCD， ，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．8．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
考点04 二面角
9．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．10．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
11．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点
．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．1．（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥 ， ，底面
是等腰直角三角形，且 ，顶点P到底面 的距离为6，则点B到平面 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五
面体．如图，在羡除 中，底面 是正方形， ∥平面 ， ，其余棱长都为 ，
则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京·三模）已知平面 ，直线 ，则下面结论正确的是（ ）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则 ；·
C．若 ，则 ；
D．若 ，则 ；
4．（2025·北京丰台·二模）如图，在棱台 中，底面 和 为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面 的夹角均为 ，则该棱台的表面积为（ ）
A．18 B． C． D．34
5．（2025·北京·二模）设正方体 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线
的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·北京朝阳·二模）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如
图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，
可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子
距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设 ，则E到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·北京昌平·二模）庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面
是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若 ， 且四个
侧面与底面的夹角的大小均相等，则 （ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·北京通州·一模）经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正
四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为
正四面体 ，O为正四面体的中心，如图2所示，则角 的余弦值为（ ）A． B． C． D．
9．（2025·北京房山·一模）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体 ，
为棱 上一点，则下列四个结论中错误的是（ ）
A． 平面
B．八面体 的体积为
C． 的最小值为
D．点 到平面 的距离为
10．（2025·北京东城·一模）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有
垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12
根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱
和两根金柱 形成的几何体 （图2）中， 米， ，则平面
与平面 所成角的正切值约为（ ）A． B． C． D．
11．（2025·北京海淀·三模）已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为 的等腰直角三角形，则此圆锥的
表面积为 ．
12．（2025·北京·三模）如图，已知棱长为2的正方体 中，动点M ， N， P ， Q分别
在棱 ， ， ， 上， 且满足 ， ， 设. 给出下列四个
结论：
①当 时， 则四面体 的表面积为8:
② 存在m、n，使得四面体 的表面积为9；
③当 时，四面体 的体积为
④ 四面体. 的体积与m、n无关.
其中所有正确结论的序号为 .
13．（2025·北京·二模）一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部
分，那么该模具的体积为 ．
14．（2025·北京东城·二模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑
的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱 的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中
与平面 所成的角均为 ， ， 米， 米， 米，则需要挖土
立方米.15．（2025·北京海淀·二模）如图，在正方体 中， ， 、 为上底面A B C D （包
1 1 1 1
含边界）内的两个动点，且满足 ， ．给出下面四个结论：
①当 与 重合时，五面体 的体积为 ；
②记直线 分别与平面 和平面 所成角为 、 ，则 的值不变；
③存在 、 ，使得 ；
④存在 、 ，使得五面体 中， 所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼
此相等．
其中，所有正确结论的序号为 ．
16．（2025·北京·三模）如图，在棱长为2的正方体 中，M、E分别是 、 的中点，
点F在线段 上， 平面 .
(1)证明：F是 的中点；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，且．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①：平面 平面 ；
条件②：三棱柱 的体积为 ；
条件③：三棱锥 是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18．（2025·北京海淀·三模）如图，在直角 中， ，点 、 分别在线段 、 上，
且 ，将 沿 折起到 的位置，使得二面角 的大小为 ．
(1)设平面 与平面 的交线为 ，请直接写出 与直线 的位置关系．
(2)若点 为线段 的靠近 点的三等分点
（ⅰ）求证： 平面 ；
（ⅱ）求 与平面 所成角 的正弦值．
19．（2025·北京·三模）如图，在四棱柱 中， 侧面 和底面 均为菱形， 且为 的中点， 与平面 交于点 ，
(1) 求证: 为 的中点；
(2) 若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
