文档内容
专题 14 空间向量与立体几何（解答题）
6 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01平行关系的判定
1.线面关系证明是基础必考题
知识1 线面关 2025·上海 2023·全国乙卷 2022·全国甲卷
平行关系（如线面平行、面面平
系的证明
考点02垂直关系的判定 行）和垂直关系（线面垂直、面
（5年4考）
2023·全国甲卷 2022·全国乙卷 2021·全国甲卷 面垂直）的判定是解答题的 “保
2021·全国乙卷 底” 考点，题目通常以常见几何
体（棱柱、棱锥、棱台等）为载
考点03求异面直线所成的角
体，要求结合几何定义、判定定
2025·全国一卷 2021·上海
理进行逻辑推理，强调对空间线
考点04求直线与平面所成的角 面位置关系的直观感知与严谨论
2025·北京 2024·上海 2023·全国甲卷 2022·上 证能力，难度中等，是得分的关
海 键环节。
2022·浙江 2022·全国甲卷 2022·全国乙卷 2.空间角的计算是高频重难点
知识2 空间角 2022·北京 2021·浙江 空间角（异面直线所成角、直线
（5年5考） 考点05求面面角或二面角 与平面所成角、二面角）的求解
2025·全国二卷2025·天津2024·新课标Ⅰ卷 在近 5 年保持 “5 年 5 考”
2024·新课标Ⅱ卷2024·全国甲卷2024·北京 的高频态势，其中二面角是绝对
核心（几乎每年必考，覆盖全国
2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京
卷、地方卷多个地区），其次是
2023·上海2023·全国乙卷2022·新高考全国Ⅰ卷
直线与平面所成角，异面直线所
2022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全
成角偶有涉及。题目通常需要结
国Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·全国甲卷
合空间向量法（建系、求法向
2021·全国乙卷 2021·天津2021·北京
量）或几何法（作辅助线、找
角）求解，既考查空间想象能
力，也注重运算准确性，是区分
度的重要体现。
知识3 空间距
考点06求点到面的距离 3.空间距离的考查聚焦点到面距离
离
空间距离的考查以 “点到面的距
2024·全国甲卷 2024·天津 2023·天津
（5年2考）
离” 为核心（近 5 年多次出
现），常与体积计算、空间角综
合命题，需要借助等体积法或空
间向量的投影公式求解，体现“空间度量” 的统一性，难度中
等偏上。
考点01平行关系的判定
1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 ．
(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ， ．设点M在线段OC
上，证明：直线 平面PBD．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
3．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面 垂直．(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
考点02垂直关系的判定
4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱 中， 平面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体 中， ，E为AC的
中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，
F分别为 和 的中点， .（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
7．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中
点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
考点03求异面直线所成的角
8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥 中， 平面 ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2) ， ， ， ， 在同一个球面上，设该球面的球心为 ．
（i）证明： 在平面 上；
（ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值．
9．（2021·上海·高考真题）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点， 平
面 .（1）若△ 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为45°，求 与 所成角的大小.
考点04求直线与平面所成的角
10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， 与 均为等腰直角三角形，
，E为BC的中点．
(1)若 分别为 的中点，求证： 平面PAB；
(2)若 平面ABCD， ，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
11．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥 为底面 的中心．
(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
12．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
， 到平面 的距离为1．(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
13．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且
底面ABC，
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.
14．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ，
， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的
中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
15．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
16．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体 中， ，E为
的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
17．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
考点05求面面角或二面角
19．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
20．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．
(1)求证： 平面PAB；(2)求二面角 的大小．
21．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，点
E在AB上， ， ，将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面
与面EFCB所成的二面角为 ．
(1)证明: 平面 ；
(2)求面 与面 所成的二面角的正弦值．
22．（2025·天津·高考真题）正方体 的棱长为4， 分别为 中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
23．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四
边形ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
24．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，
， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
26．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱 中， ， ， ， ，
(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱 体积为36，求二面角 大小.
27．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
28．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
29．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱 中， ，点D、E、F分别为
的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
30．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
31．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
32．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
33．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱
CD的中点．（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
34．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
35．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
36．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点
．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
37．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
38．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
考点06求点到面的距离
39．（2024·全国甲卷·高考真题）如图， ， ，
， , 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
40．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱 中， 平面 ， ，
． 分别为 的中点，
(1)求证： 平面 ；(2)求平面 与平面 夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
41．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台 中， 平面
， 为 中点.，N为AB的中点，
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
