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第 3 章 整式及其加减（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）
考点一、代数式
n
诸如：16n ，2a+3b ，34 ， 2 ，
(ab)2
等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和
表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
要点归纳：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
考点二、整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
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学科网（北京）股份有限公司要点归纳：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点归纳：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把
一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点归纳：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
考点三、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点归纳：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点归纳：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是
“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内
各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合
并同类项．
考点四、探索与表达规律
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学科网（北京）股份有限公司寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的
结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
考点1：代数式
【例题1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式中，书写格式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24七年级上·山西运城·期末）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展主题为“书香满校园”的
读书活动，现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为8元/本，乙种读本的单价为10
元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）按下面的程序计算．
若输入 ，输出结果是101：若输入 ，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结
果是106，则开始输入的x的值是（ ）
A．1 B．4 C．21 D．4或21
【变式3】（23-24七年级上·广西贵港·期中）按下列程序计算，把答案写在表格内：
→ 平方 → 与 的3倍的和 → 与 的差 → 答案
(1)填写表格：
输入 3 1 ……
答案 3 ……
(2)请将题中计算程序用含 的代数式表示出来，并将该式化简.
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学科网（北京）股份有限公司考点2：整式的有关概念
【例题2】（22-23七年级上·山东济宁·期中）下列说法中，正确的有（ ）
① 的系数是15；② 的次数是2；③多项式 的次数是3；④ 和 都是整式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（21-22七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是 ( )
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·吉林·期中）若多项式 是关于 的二次三项式，则 的值是 ．
【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）若关于 、 的单项式 与单项式 是同类项（ ， 为
有理数且不为0），求这两个单项式的和．
考点3：整式的加减与化简求值
【例题3】（22-23七年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（22-23七年级上·广西防城港·期中）张老师用长 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为 ，则
另一边的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知 ， ，则代数式 的值是 ．
【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）先化简，再求值： ，其中 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司考点4：规律探索
【例题4】（24-25七年级上·四川绵阳）观察下列数列的规律：27，22，18，15，（ ），12，选择括号中应填哪
个选项？（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式1】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）观察下面一列数： 将这列数排成下列形式：
2 4
6 8
10 12 14 16
……
照上述规律排下去，则第9行中左边第1个数是（ ）
A．65 B． C．66 D．
【变式2】（24-25七年级上·河南郑州）观察下面点阵图的规律，根据规律填一填．
（1）按照规律在第四幅图中应该画( )个圆点．
（2）按照这个规律还可以知道第 个图形的点阵中，一共应画( )个圆点．
【变式3】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子：
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学科网（北京）股份有限公司(1)当有5张桌子时，可以坐 人；
(2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？
思想1：整体思想
【例题5】（22-23七年级上·陕西渭南·期中）若 ，则式子 的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式1】（23-24七年级上·江西九江·期中）若 ，则 ．
【变式2】（23-24七年级上·湖南永州·期中）阅读材料；
我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，则
．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与
求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把 看成一个整体，求将 合并的结果；
(2)已知 ，则 ______；
(3)已知 ，求 的值；
【变式3】（23-24七年级上·吉林·期中）根据合并同类项法则，得 ；类似地，如果把
看成一个整体，那么 ；这种解决问题的思想方法被称为
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学科网（北京）股份有限公司“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)把 看成一个整体，合并 的结果是________；
(2)已知 ，求 的值；
(3)已知 ， ， ，求 的值．
思想2：数形结合思想
【例题6】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，数轴上的点 所表示的数为 ，化简 的结果为
（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知 是有理数，它们在数轴上对应点 的位置如图所示，
则化简代数式 的结果为（ ）
A． B． C． D．0
【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·期中）如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A、B、C，化简
．
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学科网（北京）股份有限公司【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）已知a，b，c为数轴上的点．
(1)如图所示，化简： ；
(2)当 取最小值时，化简求值 ．
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·青海·中考真题）计算 的结果是（ ）
A．8x B． C． D．
3．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a⁵的是（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，
第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
5．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构
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学科网（北京）股份有限公司模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种
如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
二、填空题
6．（2023·湖南·中考真题）计算： ．
7．（2022·四川达州·中考真题）计算： ．
8．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，则第20个单项式是 ．
三、解答题
9．（2012·四川乐山·中考真题）化简： ．
10．（2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
一、单选题
1．（23-24七年级上·山西阳泉·期中）已知多项式 是关于x的二次三项式，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）关于多项式 的说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．有三项，次数是 B．每项的系数分别是 ， ，
C．常数项是 D．各项分别是 ， ，
3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在 ， ， ， ， ， 这些代数式中，单项式的个数有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一
个二次三项式，则所捂的多项式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）点 、 、 （ 为正整数）都在数轴上，点 在原点 的左边，且
，点 在点 的右边，且 ，点 在点 的左边，且 ， ．依照上述规律，点 ， 所表
示的数分别为（ ）
A．2024， B． ，2025
C．1012， D．1012，1013
7．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下列关于 的单项式，探究其规律： ， ， ， ， ， ，…
按照上述规律，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司8．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式 的系数是 ，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0
C．单项式 的系数是1，次数是1 D．单项式 的系数是 ，次数是2
9．（22-23七年级上·河南南阳·期末）下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式
B．单项式 与 的乘积可以表示为
C． 是二次三项式
D．把多项式 按x的降幂排列是
10．（24-25七年级上·全国·单元测试）正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，
如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确
的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）如图，点 ， ， ， 在数轴上的位置如图所示， 为原点， ，
，若点 所表示的数为 ，则点 所表示的数为 ．
12．（24-25七年级上·全国·单元测试）若关于x的两个多项式 与 的和为三次三项式，
则m 的值为 ．
13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）设 、 互为相反数，且 ． 的绝对值为8，则
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学科网（北京）股份有限公司的值为 ．
14．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简
15．（2024七年级上·全国·专题练习）去括号 ．
16．（23-24七年级上·四川巴中·期末）已知多项式 是关于 的三次三项式，
则 ．
17．（22-23七年级上·广西贺州·期中）若长方形的一边长是 ，另一边长为 ，则这个长方形的周长为
．
18．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）若 与 是同类项，则 ．
三、解答题
19．（22-23七年级上·河南郑州·期末）先化简再求值：
(1) ，其中 ， ；
(2) ，其中 ．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
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学科网（北京）股份有限公司21．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式．
(1)写出所有系数是2，且只含字母 和 的五次单项式；
(2)系数是 ，含 ， 两个字母，且 的指数是2，单项式的次数是6；
(3)系数是 ，次数是3，含 ， 两个字母，且 的指数是2．
22．（22-23七年级上·山西吕梁·期末）（1）先化简，再求值： ，其中 ，
， ．
（2）已知 ， ，若 中不含一次项和常数项，求 的值．
23．（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式： ，其中 、 为常数，且表示为
系数，然后让同学们给 、 赋予不同的数值进行计算．
(1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为 ，则甲同学给出 、 的值分别是 ， ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)乙同学给出了 ， ，请按照乙同学给出的数值化简整式；
(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
24．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数
(1)图2中点的个数是______；
(2)若按其规律再画下去，如果图形中有81个点，那它是第______个图形；
(3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为______．(用含n的代数式表示)
25．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）现有甲、乙两种边长分别为 和1的正方形卡片若干张，如图所示 ．小
亮用1张甲卡片和2张乙卡片，小颖用2张甲卡片和1张乙卡片，进行拼图（不重叠无缝隙），分别绘出了图1和图2
所示的示意图，并将示意图补全为两个大长方形．图1和图2中的阴影面积分别记为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)用含 的式子分别表示 ， ；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
26．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面等式：
；
；
；
；
(1)猜想填空：
① ；
② ．
(2)根据规律尝试计算： 的值．
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学科网（北京）股份有限公司
