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1995年数学(一)真题解析
一、填空题
(1) 【答案】e6.
2 ] 6工
【解】lim(l + 3x)^ =lim CC1 + 3J；)57]
x*0- x-»0
(2) 【答案】 一[cost'd/ — 2j:2cos j;4 .
J 0
px2
【解】 COS 厂 & ) = —J cos t2 At — 2x2 cos jc4.
(3)【答案】4.
【解】[(a + b)X(b +c)]<> (c + a) = (a X b + a Xc + bXc) • (c + a)
=(a X b)・ c + (b X c) • a = 2(a X &) • c = 4.
(4) 【答案】罷.
【解】 由lim I —I = lim "十】•卄】]；：卄1 — ~~得收敛半径R = 43・
”f°° | a „ I ”一8 n Z 十(一3) o
/3 0 0
(5) 【答案】 0 2 0
'o 0 1
【解】 由A 1 BA = 6A+BA得B4 = 6A2 + ABA，然后右乘人一】得B = 6A +AB,
解得〃 =6(E -A)_1A = 6[AT(jE—A)]—】=6(A_1 - EK1 ,
丄
I 0 0
$ 0 °\ 3 0 0
丄
由AT —E = 3 0 ，得(AT — E)T 0 I 0 ，故B = 0 2 0
'o 6，
0 0 0 1
1
0 0
6
二、选择题
(1)【答案】 (C).
【解】 直线L的方向向量为£ = {1,3,2} X {2, —1, —10} = {—28,14,—7}
=—7{4, — 2,1},
因为平面7T的法向量平行于L的方向向量，所以L丄7T,选(C)・
(2)【答案】(E).
【解】 由拉格朗日中值定理得/(1)-/(0) = /(c),其中0 Vc V 1,
由f"3 > 0得fO 单调递增，再由0 V c V 1得/(I) > /(c) > /(0),应选(E).
(3)【答案】(A).
F(h) — F (0) /(x ) (1 — sin x )—f (0)
【解】FL (0) lim -------------------- = lim ------------------------------------
x->0_ XX x—O' X
了(h )—于(0) _ fQ). sin JC
=lim
J—C x
x->0~~
F(h)—F(0) /(x ) (1 + sin x )—/(0)
F； (0) = lim --------------------=lim --------------------------------------
■T f 0十 工 —o+ X=lim「心)一/(O)
丄卡L 工 + /*(£)・ =/(0) + /(0),
FQ)在z = 0处可导的充分必要条件是(0) — /(0) = y'(0) + f (0),即/(0) = 0,
即/(0) = 0是F(z)在工=0处可导的充分必要条件，应选(A).
(4) 【答案】(C).
【解】 由单调递减且l*)imln(l+ = 0得”"”收敛，
/ 1 \ 1 °° I 8
由山=ln2 1 + — ~ —且工丄发散得工山发散，应选(C).
\ Vt? ' n ” = j n ” =]
(5) 【答案】(C).
【解】 将A的第1行加到第3行，再将第1行与第2行对调得B,即
/° 1 °\ Z1 0 °\
B = 0 ° 1 0 A = PxP2A,应选(C)
'o J
0 0
三、
(1)【解】 U = >z)两边对X 求导得
dy +几伴
d7
ax
。(工2,e，,z) = 0两边对x求导得
2工认+ ?； •卍•警+甲；• £ = 0,
又y = sin无,竺= 伽帀 dz (p\ 9； sinx
cos x，解得丁 = — lx —------e cos x ,
ax dz 卩3 卩3
故^ = f\ +/； .cosx-/； 01 丄 ^2 sinj \
ex — H----e cos x j ・
卩3 卩3 7
(2)【解】方法一令FQ) = /(nd^F(l) = A,则
0
■i = Jo/(z)clrJ _/(y)d_y =[/'(无)[F(1) — F(h )]dz
da: I /(j; )/(j/ )dj/
o J工 J 0
A I f(x )dj?— f (j：)F(j: )djc = A2
1F(x)dF(^：)
J o . 0 0
A2 - *严(乂) i 十.
o
方法二
•1 fl fl f fCy)dy,
I /Xz )f(y )dy =L
J 0 0
又][ f(y)dy = [ dy [ /"(z "(y )dz = 0(lr [ f(y)f(x)dy
J o0 J X Jo0 Jo 0
=)dz [ y(y)dy ,
0
于是 2〔djJ /(z)y(y )dy = [/"(乂)dz [ /'(y)dy+[/(z)d_r [/(y)dy
0 0 0
= Jo/(x)djr | ■1f(y)dy - f(x )dz] 2
=
0
故]。山]f(T)f(.y)dy = -yA2.四、
(1)【解】1 ：z = Vx2 + y2，其中 x2 + y2 W 2无，
dz JC dz y
dx Vx2 +y2， dy Vx2 + y2
zdS = JJ J工? +)2 • 1+厶+注»"』
则 V JC2 + 2 • \[2 dz dy
/+/W2工
=施］\ dfr =善血 Ji 曲加& = yV2 ［TCOS30d^ = ¥ 施.
o 9
(2)【解】 将/(工)进行偶延拓再进行周期延拓，则
2 '2
/(j： )dj?= (z — l)dj? = 0
Go
0 o
a f(x )cos— 72 7 - T — J7 Ajc = (z - l)cos Y 宁 i 7r jrdz
o 2 o 2
=f (z - 1 )d(sin mtjc 2 . 八.nnx 2 . nitx
=—— 1; sin —-— sin ―-—dje
nn r7erJ o \ ~2~ rm 2 o 2
8
苕 4 cos m 〒 ix 2 =~T 4 ~7[(— 1)" _ 叮= n " I~ 7：2 n = 1,3,5 ,…9
0 n 7T
0, n = 2,4,6,…，
b„ 0 1,2,3,…，则
8/1 tzjc . 1 3兀工.1 5兀攵. \ *亠 / 一门
x — 1 -----J cos — + 尹 cos —^― + 尹 a ~Y~ -------)，其中 0 W 工 W 2.
7t 52
五、【解】 设M (hq)为L上的任意一点，L上M处的切线方程为
Y — y = j/(X —工儿
令 X = 0 得 Y = y — xyr，即 A (0 ,夕一xyf) 9
| MA | = jc 丿]+ j/? I OA \ = y — xyr,
由 \ = \oa i,有
y — xyf | = a/(j: — 0)2 + (j/—+ xyfY ,
化简后得 — 3/ +工2 =0.
h 人 2 /口 dz z
再令z = y，得-------=—X ,
QJC X
解得
e险
z dr +C X (— H + C) 9
即 x2 + Cjc ・
由于所求曲线在第一象限内，知y > 0,故
y = \/ Cjc — x2
将已知条件y*)( = *代入上式 ，得C = 3,于是曲线方程为
y = J玉工 _ 无2 (0 V z V 3).
六、【解】由［戶皿+QCz,y)旳与路径无关得薯=2乂，则Q(")=工+ 3,
(z,l) Odx +[ [_t2 + (y)dy =t2 +1 (t) = 2t — 1,
J o
故 Q（z,y） — jc2 2y — 1.
七、【证明】（1）（反证法）设存在c E（a,b）,使得g（c） = 0,
由罗尔定理，存在 5 e （a,c）,$2 e （c,6）,使得 g'（5）= g'（W2）= o,
再由罗尔定理，存在e e （a,b）,使得g"（g） = 0,矛盾，故在（a,b）内g（z）工0.
（2）令卩（z ） = /（jOg'Q） — /'（■r）g（z）,
则卩（a）=卩（6） = 0,由罗尔定理知，存在f G （a,6）,使卩'（$） = 0,即
y（£）g"（w）— 厂（w）g（w）= o,
因 g（e）h o,g"（£）工 o,故得
y（e）= f'® e
E (a,b).
g（F）— g〃（c'
八、［解】 设§ =（G ,工2 ,Z3）T为入2 A3 = 1对应的特征向量，
由=0得r2 + X3 =0,则入2 a3 = 1对应的线性无关的特征向量为
/° 1 0 \ r1 0 °\
令p = 1 0 1 ,由 P'AP = ° 1 0得
\ 0 J
s o - r 0
厂1 0 0\ /I 0 0
A = P 0 1 O PT= O 0 _ 1
' o o r 'o -1 0
九、【解】 方法一 由 AAr = E 得 I A I • I AT I = 1, BP I A I 2 = 1,
再由 | A | < 0 得 |a| = — 1.
于是 \a+e\= I a + aat | = |a| - |e+at| = -|(e+a)t| = -|e + a|,
故 | e + a\ = o.
方法二 令 AX = AX(XH0),
由AX = XX得XtAt = AXt,两边右乘AX得
XtAt • AX = AXr • AX,艮卩 XTX = A2XtX,或(人'一 1)XTX = 0,
由 XTX = II X II 2 > 0 得 A2 - 1 = 0,即入=士 1,
因为| A | V 0,所以A至少有一个特征值为一1,从而A + E的特征值至少有一个为0,
故 | A + E | = 0.
十、填空题
（1）【答案】1&4.
【解】 显然X - 5(10,0.4),
由 E(X) — np = 4, D(X) = ”p(l — p) = 10X0.4X0. 6 = 2.4,得
E(X2) = D(X) + [E(X)]2 = 2. 4 + 16 = 1& 4.5
⑵【答案】
4 2
【解】 令 A = {X $ 0},B = {YN 0}, fllj P(A) - P(B) = y ,P(AB) = y
于是 P{max(X,Y) 0} = 1 — P{max(X,Y) < 0} = Y-P{X < 0,Y< 0}
=1 - P(A • B) = 1-P(A +B) = P(A+B)
5
=P(A) + P(B) - PCAB)=
十一、【解】Fy(y) = P{Y^y} = P{ex ^y},
当 j- < 1 时,Fy(y) = 0；
fin y | In y
当;yMl 时，Fy (夕)=P{X^：\ny} = e_J Ajc = — e~x
Jo I 0 y
F， 夕 v i,
即FyO)= 1 故Y=eX的概率密度为
1----------，夕 M 1，
夕V 1，
/y（y）=
』$ 1・
