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专题 04 数列
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 等差、
等比数列基本 2025北京卷、2024北京卷、2022北京
量运算 卷
在高考的考查体系中，数列板块呈现出相
（5年3考）
对稳定的态势。无论是考查内容、考查频
考点2 数列的
率，还是题型设置与难度把控，都未出现
递推问题 2023北京卷 明显波动。具体而言，等差数列和等比数
（5年1考） 列作为数列的基础知识，通常以选择题和
考点3 数列的 填空题的形式出现，重点考查学生对基本
2024北京卷、2023北京卷、2021北京
实际应用 概念、公式及性质的掌握与运用。而数列
卷
（5年3考） 新定义问题则更具挑战性，往往以解答题
考点4 数列的 的形式呈现，旨在检验学生灵活运用知
性质 2022北京卷、2021北京卷 识、分析问题和解决问题的能力。考生备
（5年2考） 考时需针对不同题型特点，做好针对性复
习。
考点5 数列新
2024北京卷、2023北京卷、2022北京
定义
卷、2021北京卷
（5年4考）
考点01 等差、等比数列基本量运算
1．（2025·北京·高考真题）已知 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列，则
（ ）
A． B． C．16 D．18
2．（2024·北京·高考真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是 .
3．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点02 数列的递推问题
4．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
考点03 数列的实际应用
5．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中
升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直
径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为
．
6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用
来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数
列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所
有项的和为 ．
7．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面
缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对
应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
考点04 数列的性质
8．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
9．（2021·北京·高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的
最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
考点05 数列新定义
10．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
11．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且 的前
n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，
其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．12．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
13．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．1．（2025·北京大兴·三模）已知数列 为无穷等比数列， 为其前 项和，“存在 ，对于任意的
， ”是“存在 ，对于任意的 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职
工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至
六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
1965年1月－4 1965年5月－8 1965年9月－12 1966年1月－4
出生时间 …
月 月 月 月
新方案法
定退休年 60岁 1个月 60岁 2个月 60岁 3个月 60岁 4个月 …
龄
那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61岁 4个月 B．61岁 5个月
C．61岁 6个月 D．61岁 7个月
3．（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，
爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为 ，
其将满月等分成240份， （ 且 ）表示第 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，
第1天月球被太阳照亮部分占满月的 ，即 ；第15天为满月，即 ．已知 的第1项到第
5项是公比为 的等比数列，第5项到第15项是公差为 的等差数列，且 ， 均为正整数，则 （ ）．
A．80 B．96 C．100 D．112
4．（2025·北京·二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达
A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比
值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为
210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm
D．588mm，420mm
5．（2025·北京昌平·二模）在数列 中， ，则（ ）
A．当 时，对于任意的正整数B．当 时，存在正整数 ，当 时，
C．当 时，对于任意的正整数
D．当 时，存在正整数 ，当 时，
6．（2025·北京通州·一模）已知等差数列 满足： ，且 ，则 （ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
7．（2025·北京东城·二模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一
轮训练的模型参数的数量为 ，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量
可以看成一个以 为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·北京海淀·二模）已知 为等差数列， 为等比数列，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·北京朝阳·二模）设无穷数列 的前n项和为 ，定义 ，则
（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，则
D．当 时，
10．（2025·北京东城·二模）设无穷数列 满足 ，则（）
A．存在 ， 为等差数列 B．存在 ， 为等比数列
C．存在 ， 为递减数列 D．存在 ， 为递增数列
11．（2025·北京·三模）已知等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .则 为 ；满
足 的最小的整数 为 .
12．（2025·北京·三模）为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理
的捕捞方案.记 为第n年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n年鱼类的自然繁殖量与
成正比，自然死亡量与 成正比，捕捞量与 成正比，比例系数分别为 ，则 和 的关系式为 ；若 ，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的
为 .
13．（2025·北京丰台·二模）已知数列 满足 ，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数 ，使得 是常数列；
②当 时， 是等比数列；
③若 是递增数列，则 ；
④若对任意的正整数 ，都有 ，则 ．
其中所有正确结论的序号为 ．
14．（2025·北京朝阳·二模）已知等差数列 满足 ，则 ；设
为 的前 项和，则使 的 的最小值为 ．
15．（2025·北京大兴·三模）已知数列 的前 项和为 ， 且 （ ），给出
下列四个结论：
①长度为 ， ，1的三条线段可以围成一个内角为 的三角形；
② ， ；
③ ， ；
④ ．
其中正确结论的序号是 ．
16．（2025·北京海淀·三模）设 是一个项数为 的数列，其中每一项均为集合 中的元素．
定义数列 如下：若 ，则 ，其中，当 时， ，当
时， ， ，其中记 ．
(1) 若数列 ，则 ______；
②若①数列 ，则 ______．
(2)对于给定的正整数 ，若正整数 满足对任意 ，均有数列 与 为同一数列，则称 为“ 阶好
数”．
（ⅰ）求最小的“3阶好数”．
（ⅱ）求使得“ 阶好数”存在的 的所有可能取值．17．（2025·北京·三模）已知整数数列 的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：
① ；
②
记
(1)若m=3，且 ，写出 的值；
(2)记 其中 表示集合A中元素的最大值.
（i）若 ， ，求 的最大值；
（ii）当 时，若 ，求Q的最小值.
18．（2025·北京通州·一模）已知数列 （N是大于3的整数）为有穷数列，定义
为“卷积核”数列 满足：
(1)若数列 ，卷积核 ，求数列B.
(2)设 ，已知 且 ， ，若 .求证：数
列B中最大的项为 ，（ 表示a，b中的最大值）.
(3)已知 且 不全为0，卷积核 ，是否存在数列A，使得数列B的
任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
19．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列 ，满足 .记集合 为
，或 ，或 ， .若数列 ，
则称数列 是 的“恒元”.
(1)已知数列 ，请写出 中所有满足 的数列；
(2)当 时，是否存在数列 满足 ，且 是 的“恒元”?若存在，请写出一个满足条
件的数列 ；若不存在，请说明理由；(3)当数列 是 的“恒元”时，若 是 个连续正整数的一个排列，求数列 的项数 的最
大值.
20．（2025·北京昌平·二模）设 为正整数，数列 是公差不为 的等差数列，若从中去掉
两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 个数都能构成等差数列，则称数列 是
的可分数列．
(1)写出所有 ，使得数列 是 、 的可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 的可分数列；
(3)若数列 是 的可分数列，记所有满足条件的 的个数为 ，求 的值．
