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专题 07 数列
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
1. 数列问
题特别突出对学生的数学思维
能力的考查,所以问题的设计
要始终贯穿观察、分析、归
纳、类比、递推、运算、概
括、猜想、证明、应用等能力
的培养.既通过归纳、类比、
递推等方法的应用突出数学探
2020-2024：5年十三考：求数列通项；由递推
究、理性思维的培养,又通过
公式总结数列性质；等差、等比数列的前n项
考点 数列 通项公式、递推公式、前n项
和；数列中最大（小）项；数列的单调性；基
（5年几考） 和公式等内容进行大量技能训
本量的计算；等差、等比中项；数列新定义；
练,培养逻辑思维、运算求解
数列中的归纳问题
能力。
2. 从近几
年的高考题可以看出、数列部
分主要以考查基础知识为主，
同时锻炼学生的运算求解能
力、逻辑思维能力等.重点考
查学生对数列基础知识的掌握
程度及灵活应用,同时也要重
视对通性通法的培养。
考点 数列
1．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·北京·高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的
最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
5．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中
升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直
径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高为
．
6．（2024·北京·高考真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
7．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用
来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数
列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所
有项的和为 ．8．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
9．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
10．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且 的前
n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，
其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
11．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．12．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
13．（2020·北京·高考真题）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，
三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面
所成的锐二面角依次为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列 ，定义 （ ），则“ 为递增数列”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（21-22高三上·北京顺义·期末）在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·一模）记等差数列 的前n项和为 .若 ， ，则 （ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
5．（2024·北京海淀·二模）设 是公比为 的无穷等比数列， 为其前 项和， .则“
”是“ 存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·北京海淀·二模）设数列 的各项均为非零的整数，其前 项和为 .若 为正偶数，
均有 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
7．（2024·北京朝阳·二模）设等差数列的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．60 B．80 C．90 D．100
8．（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一
般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有
个小球，第三层有 个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由
“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长
方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·北京通州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024·北京房山·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有
一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达
目的地．”则该人第三天走的路程为（ ）
A．12里 B．24里 C．48里 D．96里
11．（2024·北京海淀·一模）已知 为等差数列， 为其前n项和.若 ，公差 ，则m
的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发
现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度
约为 ），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于
是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直
线繁殖到 ，然后分叉向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在
直线对称， ….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养
皿的半径r（ ，单位： ）至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
14．（17-18高二·海南省直辖县级单位·课后作业）设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则
.
15．（2024·北京顺义·三模）命题：若 是等比数列，则前n项和 不存在最大值和最小值.写出一组说
明此命题为假命题的首项 和公比
16．（2024·北京通州·三模）若数列 、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使
得 ，则称数列 为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列结论中正
确的是 ．①存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
②存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
③存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
④存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
17．（2024·北京通州·二模）已知数列 为等比数列， ， ，则 ；数列
的前4项和为 ．
18．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）若无穷数列 的各项均为整数．且对于 ， ，都存
在 ，使得 ，则称数列 满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① ， ，2，3，…；
② ， ，2，3，…．
(2)若数列 满足性质P，且 ，求证：集合 为无限集；
(3)若周期数列 满足性质P，求数列 的通项公式．
19．（2024·北京通州·三模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（ ）除得的商正
好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为 ， ， ， ，（ ）．
(1)当 时，是否存在 ， ，…， 构⋯成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若
不存在请说明理由；
(2)当 时，若 ， ， 构成等比数列，求正整数a．
(3)当 时，若 ， ，…， 是⋯a的所有正约数的一个排列，那么 ， ， ， ，
是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． ⋯
20．（2024·北京海淀·二模）设正整数 ， ， ，这里
. 若 ，且 ，则称 具有性质 .
(1)当 时，若 具有性质 ，且 ， ， ，令 ，写出 的所有可能值；
(2)若 具有性质 ：
①求证： ；②求 的值.
21．（2024·北京通州·二模）从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项（ ），若数
列 ， ， ， 是递增数列或递减数列（规定 时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称 ，
， ， 为数列 的长度为m的单调子列.已知有穷数列A： ， ， ， （ ），任意两项
均不相同，现以A的每一项 为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有 项，则 ， ， ，
构成一个新数列B.
(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有 （ ）项，求证：A必存在一个长度为 的单调子列.
22．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
．若对于集合A中的元素k，数列 中存在不相同的项 ，使
得 ，则称数列 具有性质 ，记集合 数列 具有性质 ．
(1)若数列 的通项公式为 写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当 时，证
明： ；
(3)若 满足 ，证明： ．
23．（2024·北京海淀·一模）已知： 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，
且当 时，均有 .设 ，对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最小的数.
(1)若 ，写出 的值；
(2)若存在 满足： ，求 的最小值；
(3)当 时，证明：对所有 .24．（2024·北京朝阳·一模）若有穷自然数数列 ： 满足如下两个性质，则称 为 数
列：
① ，其中， 表示 ，这 个数
中最大的数；
② ，其中， 表示 ，这 个
数中最小的数.
(1)判断 ：2，4，6，7，10是否为 数列，说明理由；
(2)若 ： 是 数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
(3)证明：对任意 数列 ： ，存在实数 ，使得 .（ 表示不超
过 的最大整数）
