文档内容
专题 12 数列（解答题）9 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01等差等比数列基本量的计算
2024·上海2023·新课标Ⅰ卷
知识1 等差等
2022·新高考全国Ⅱ卷
比数列基本量
2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·浙江
的计算及证明
考点02等差等比数列的证明
（5年5考）
2022·全国甲卷2022·上海2022·浙江
1.等差等比数列基本量的计算是必
2021·全国甲卷2021·全国乙卷2021·上海
考内容，要求学生熟练掌握数列
考点03含绝对值的数列求和 的通项公式、前n项和公式等基础
2023·全国乙卷 知识，能够运用方程思想，通过
已知条件建立关于首项、公差、
考点04分组求和法
公比等基本量的方程或方程组并
2024·全国甲卷 2023·新课标Ⅱ卷
求解。
知识2 数列求 2021·新高考全国Ⅰ卷
2.数列求和是解答题的重点，分组
和
考点05裂项相消法求和 求和法、裂项相消法、错位相减
（5年5考）
2022·新高考全国Ⅰ卷 法等求和方法频繁考查，要求学
生能够根据数列的通项公式特
考点06错位相减法求和
征，选择合适的求和方法。
2025·全国一卷2025·天津2024·天津
3.数列与其他知识的综合考查愈发
2024·全国甲卷2023·全国甲卷 2021·全国乙卷
常见，这不仅要求学生掌握数列
2021·天津
本身的知识，还需具备良好的知
考点07等差、等比数列的综合 识迁移能力和综合运用能力，能
够从整体上把握数学知识体系。
2023·天津 2022·天津
知识3 数列综
考点08数列与其他知识的综合
合
（5年5考） 2024·新课标Ⅱ卷 2023·上海 2023·新课标Ⅰ卷
考点09数列新定义
2024·新课标Ⅰ卷 2024·北京 2023·北京
2022·北京 2021·北京
考点01等差等比数列基本量的计算1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为
数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
5．（2024·上海·高考真题）若 ．
(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
考点02等差等比数列的证明
6．（2021·全国乙卷·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
7．（2021·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数
列，证明： 是等差数列.
8．（2022·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
9．（2021·全国甲卷·高考真题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2021·上海·高考真题）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项
与 的等差中项
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出公比 ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 ， ，且 ， ，求 的最大
值.
11．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为
．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
12．（2022·上海·高考真题）数列 对任意 ，且 ，均存在正整数 ，满足
.
(1)求 可能值；
(2)命题p：若 成等差数列，则 ，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是
假，说明理由：
(3)若 成立，求数列 的通项公式.
考点03含绝对值的数列求和
13．（2023·全国乙卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
考点04分组求和法
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列
， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
16．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
考点05裂项相消法求和
17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
考点06错位相减法求和
18．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
19．（2025·全国一卷·高考真题）设数列 满足 ，
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，求 ．
20．（2025·天津·高考真题）已知数列 是等差数列， 是等比数列， ．
(1)求 ， 的通项公式；(2) ， ，有 ，
（i）求证：对任意实数 ，均有 ;
（ii）求 所有元素之和．
21．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
22．（2024·天津·高考真题）已知 为公比大于0的等比数列，其前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设数列 满足 ，其中 ．
（ⅰ）求证：当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
23．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
24．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等
比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
考点07等差、等比数列的综合
25．（2023·天津·高考真题）已知 是等差数列， ．(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
26．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
考点08数列与其他知识的综合
27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
28．（2023·上海·高考真题）令 ，取点 过其曲线 作切线交y轴于 ，取
点 过其作切线交y轴于 ，若 则停止，以此类推，得到数列 ．
(1)若正整数 ，证明 ；
(2)若正整数 ，试比较 与 大小；
(3)若正整数 ，是否存在k使得 依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试
说明理由．
29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继
续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮
的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
考点09数列新定义
30．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中
删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
31．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
32．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且 的前
n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，
其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
33．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
34．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
