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1990年数学（一）真题解析
一、填空题
（1） 【答案】x — 3y — z + 4 = 0.
【解】 显然所求平面的法向量为n = {-1,3,1},
所求平面为一（乂 — l） + 3（y — 2） + （z + l） = 0,即 X — 3y — z + 4 = 0.
（2） 【答案】e2a.
'r a =lim「(1----2a
【解】lim
x — a x*°o- |_\ 工
（3）【答案】1.
1, | 产（工）IW 1,
【解】兀2）］=
0, | |> 1.
因为丨八工）$ 1,所以兀/（工）］=i.
【解】改变积分次序得
pdjr p e-^ dy = ■2 _ 2 =f、2 _ 2 1 2
e » dy dj~ ye '
0 J o J (0 0
（5）【答案】2.
【解】A = （af,a；,a；,cd）=
因为r（A） = 2,所以该向量组的秩为2.
二、选择题
⑴【答案】(A).
【解】F'Q) =/(亍)(「’)'一/(工) =-e~V(e_J) -/(j:),应选(A).
(2) 【答案】(A).
【解】 由f'Cjc) =[/(x)]2得
f (x ) = 2f(.x )/，(x ) = 2\_f (x )]3 ,
f^(.x ) = 2 X 3[/(x )]2// (x ) = 3 !
由归纳法得 广">(工)=n\ [/(x)]n+1，应选(A).
(3) 【答案】(C).
【解】因为 sin na w —且^ o 2 o ~收敛，所以 oo 叫巴绝对收敛
n2 n
X n = 1 n=1
因为工发散，所以£ （巴in na 1
发散，应选（C）.
n2 4n
n = 1 "V Z7 n = 1
（4）【答案】（D）.
【解】因为lim , - =2,所以由极限保号性，存在S>0,当0< |工|<§时，亍 - >0.
X—0 1 ——COS X —COS JC
因为1 —cosz >0,所以于Q） >0 = /（0）,故z = 0为极小值点，应选（D）.（5）【答案】（B）.
【解】 令 Qai + k2{a x — a2） = 0,即（紅 + 怡2巾1 — k2a2 = 0,
因为a j .a2线性无关，所以kx + k2 = 0, — k2 = 0,或& i = 0,k2 = 0,即a} ,a t — a2线性无关，
又因为5.5—a2为齐次线性方程组AX = 0的解，所以a, .a, -a2为齐次线性方程组AX = 0的基础
解系；
0] +0? 01 +0?
而 工为非齐次线性方程组AX = b的解，故k}ax+k^a} -«2）+ o 为AX = b的通解，应选（B）.
（1） 【解】「罗+ ：九=「ln（l + z）d（亠-）
Jo （2 —工）2 Jo \2 — X /
=ln（l+z） I1 f> _______1_______
2 —z | o Jo （工一2）Q + 1）
= ln2 + Tln|til|o = ln2_Tln2 = Tln 2-
（2） 【解】= 2/i + /cos x • f；、
ox
d2 z
亍p = 2（— ft + sin x • ） + cos z • ff2 + >cos x （— + sin x •危）
djc dy
=一 2/n + （2sin x — j/cos jc ）・ f^2 + cos jc • ff2 y sin x cos x ・ f；2 ・
（3） 【解】 特征方程为A2 + 4A + 4 = 0,特征根为A !=入2 = — 2.
yf + \yf + = 0 的通解为，=（C】 + C2 J： ）e~2j ;
令 yr，+ 4j/ + 4y = e~2x 的特解为 y0） = ax2 e~2x，代入得 a =
故j/‘+ 4j/+ 4y = e~力的通解为
y = （G +C2Z）e% +y^2e-2x（C1,C2 为任意常数）.
四、【解】 由恤|也| = 1得幕级数的收敛半径R = l,
oo | an |
当工=±1 时，（2z? + l） （土 1）" f°°（x f°°）,即 jc = + 1 时，幕级数发散，
故幕级数的收敛域为（一1,1）・
令 SQ）=刀（2” + 1）才，
n = 0
则 S （工）=2x 丫 nx "T + 工 jcn =2x（刀工"）'+ -—-—
n = 1 n = 0 n = 1 "
=2乂（宀），+亠=丄片
'1—无丿 1 — T （1— H）
五、【解】方法一
令 50 ：z = 0（工 2 +j/ W 4）,取下侧，
I = yzdzAjc + 2dr dy —JJ yzdzdx + 2dx dy ,
*0 工0
yzdzAx + 2djc dj^ = j*zjdj?7 =J 2 d°J r
而㉛ ,』 -3sin 爭cos （pdr
0
工+工0
7 . 2
=2tc sin 卩 cos r3 dr = 4兀
0 oJJwdNchz + 2djr dy =『2吐 dy = — 2
jj dz d;y = — 8k ,
2+/<4
故 / = 12tt.
方法二
I = jj Wdzdx + 2d«z djy = jj yzdz Ax + 2jJ dx dy ,
令曲面丫位于hOn平面右侧的部分为X】，由对称性得
jj yz dz dx = 2jJdz dx = 2 jj z J0 —工 $ — J dz da:
" 工 1 D“
=2 d0 r2 sin 0 • V4： — r2 dr = 4 r2 a/4 — r2 dr
J o . o - o
r = 2sin t
—4 2 4sin2^ • 4cos2zdz = 64 2 (sin21 —sin4Z)dz
o « o
(1 , 7T 3 1 7T )=4兀
=64
\ 2 2 4 '2 ''2
2jjdz dy = 2 JJ dxdy = 2 X 4兀=8tt ,
2 %
故/ = JJwdNdz + 2d;r dy = 12兀・
六、【证明】 因为不恒为常数，且f(a)= fz所以存在c e a,b),使得/(c) h/(q),
不妨设y(c)> g,由拉格朗日中值定理，存在w e(q,c)u a,b),使得
/，◎ = “)-空 >0.
c — a
七、【解】 由 A(E -CTB)TCT = E 得 ACC(E -C_1B)]t = E,即 A(C — B)T = E,解得
A =[(C —B)t 〕 t ,
1 2 3 4' 1 0 0 O'
() 1 2 3 2 1 0 0
而c —B = (C--B)T = 9
0 0 1 2 3 2 1 0
0 0 0 b 、4 3 2 L
1 0 0 0 1 0 0 o' 0 0 0 1 0 0 0、
2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -2 1 0 0
III ，得
3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0
4 3 2 1 0 0 0 L 0 0 0 1 0 1 -2 1
■ 1 0 0 0
-2 1 0 0
A =
1 -2 1 0
0 1 — 2 1
八、【解】 ，则 f = XtAX,
A — 1 2 -2
由 I AE - A | = 2 A -4 4 =入2(入一9) = 0,得入 1 =入2 = 0,入 3 = 9,
-2 4 A -41 _2 2
由 0E-A 0 0 o］得入1 = A 2 = 0对应的线性无关的特征向量为
0 0 0
丄
/1
2
由9E 得入3 = 9对应的特征向量为«3 = I — 2 I
0
' 2 '
0 0
令趴
（力
，0】）
_2_
T ，所求的正交变换为X = QY,
2_
X = QY
则 f = xtax 9易
九、【解】 设点P的坐标为（乂，$） ,OP = {x ,y}, | F | = y/x2 y2
因为F的方向垂直于OP且与y轴正向的夹角小于今,
所”+— “F。
y，乂 {—夕，无},
W = J (— + 无 dy =
(—y ) d«z + 工 dp + _ (— y ) dr + 工 dy 9
AB
L+BA
(—+ xdy = 2『山 dy = 2 X *兀(血 )'=2兀,
而y
L+BA D
AB：y =工+1(起点工=1,终点工=3),则
J — (-jOdz + jr dj/ = —(x + 1) dj? + x dx = — 2 ,
故 w = 2（tt- 1）.
十、填空题
工V 0,
（1）【答案】
1 - Te •r $ 0.
【解】FQ) = P{X 0}=1 fx 1
当hVO 时,F(jr ) = — ex dx = —ex ;
L J —oo L
fo & 112 1
当工$0 时，F(«z)= /(jc )dj： + /'(•z)dz=〒 +牙 e x dx = 1----—e
J --8 •) 0 2 2 J 0 2
故 F(z ) = 5
]1----^-e_T , z M 0.
(2) 【答案】0.3.
【解】 由 P(A) = 0. 4,P(B) = 0. 3,P(A + B) = 0. 6 得
P(AB) = P(A) + P(B) — P(A +B) = 0. 1,
故 P(AB) = P(A) — P(AB) = 0.4-0. 1 = 0.3.
(3) 【答案】4.
【解】 因为X服从参数为2的泊松分布，所以E(X) = 2,
于是 E(Z) = 3E(X) — 2 = 6 —2 = 4.
十一、【解】 区域D的面积S = 1,则(X,Y)的联合概率密度为
(1, Q ,y ) € D ,
f(x,y)=
【0, Q ) @ D.
f+°°
/x(H)=匚/(H，y)dy ,
当zWO或工$1时Jx (无)=0;
当 0 V 工 V 1 时,f x(工)=[ldy = 2jc ,
(2工，0 V 无 V 1,
则随机变量X的边缘概率密度为fx(z)= 卄小
Io, 其他.
由 E(X) = [ xf x (j: )dj： = |" 2r2 Ax = ,
J o J o 3
fi fi 1 14 1
E(X2 ) = t2 f x )djr = 2x3 Ajc =百，得 D(X)= --------=—,
J o Jo Z Z 9 lo
2
故 D(Z) = D(2X + 1) = 4D(X)=百.
